книги / Экспериментальные методы в биомеханике

(см. рис. 7.35, а). Аналогично были определены компоненты тензора М для анизотропной пористой структуры.

(см. рис. 7.35, б).

Из полученных результатов видно, что тензор M для изотропной структуры имеет диагональный вид, для анизотропной – недиагональный. Если определить расположение главных осей тензора М, построенного для анизотропной структуры, то можно заметить совпадение этих осей с направлением преимущественного распределения материала в модельной структуре. Геометрические образы построенных тензоров анизотропии (эллипсы структуры), показанные в наложении на соответствующие модельные структуры, также позволяют судить об анизотропии представленных образцов. А именно, окружность свидетельствует об изотропии образца, эллипс показывает преимущественное распределение материала в анизотропном образце (см. рис. 7.35, б) [24].

Рис. 7.35. Тестовые (а) изотропная и (б) анизотропная модельные пористые микроструктуры с наложенными геометрическими образами тензора анизотропии М [24]

301

Также тензор структуры был построен для микрофотографий, демонстрирующих различные образцы губчатой костной ткани. Так на рис. 7.37 показаны обработанные микрофотографии трабекулярной костной ткани, взятые из работы [70], с наложенными геометрическими образами тензора анизотропии М. Полученные результаты не противоречат природной действительности и соответствуют результатам, полученным в [70].

Рис. 7.36. Тестовые анизотропные модельные пористые микроструктуры с наложенными геометрическими образами тензора анизотропии М

Было проведено исследование фотографии шлифа губчатой кости, высеченного из головки бедренной кости человека [1] (рис. 7.38). Для выявления структуры костной ткани образцы подвергались прокаливанию в муфельной печи при температуре 600 °C в течение 4 часов. Обработка изображения и последующие необхо-

302

димые стереометрические измерения проводились согласно вышеописанной методике. Для квадратного образца со стороной 33 мм был построен тензор структуры и его геометрический образ (рис. 7.39). Результаты измерений также представлены в табл. 7.5. Полученные данные позволяют утверждать, что данный образец практически изотропен [24], что соответствует литературным дан-

ным [70, 72].

Рис. 7.37. Обработанные фотографии структур губчатой кости с наложенными геометрическими образами тензора анизотропии М (обозначения см. на рис. 7.10)

303

Таблица 7.5

Тензор структуры губчатой ткани шейки бедренной кости человека

Рассмотрим возможность использования тензора структуры для описания внутренней архитектуры нижней челюсти человека. В работе [62] была исследована организация ветви нижней челюсти во всех возрастных периодах (рис. 7.40). Особый практический и теоретический интерес представляло изучение возрастных особенностей губчатого вещества восходящей ветви нижней челюсти (распределение костных балок), которое необходимо для диагностики и учета разнообразных изменений кости, в том числе в процессах ее регенерации или ортодонтической перестройки. Данное исследование показало, что характеристика его строения – как мел- ко-петлистого, средне-петлистого и крупно-петлистого – является недостаточной, необходимо учитывать типы губчатых структур каждого возрастного периода по зонам кости, которые разнятся по своей функциональной нагрузке, отношению к местам прикреп-

304

ления мышц и т.п. Таким образом, необходимо иметь способ количественного описания формирующейся под воздействием изменяющегося биомеханического давления структуры костной ткани различных отделов зубочелюстной системы, что возможно сделать с помощью тензора структуры. Траектории ветви нижней челюсти [5] показаны на рис. 7.41.

305

ца для одного стереометрического исследования. Серия исследуемых областей показана на рис. 7.42. Обработка изображения и последующие необходимые стереометрические измерения проводились согласно вышеописанной процедуре (рис. 7.43).

Рис. 7.43. Область трабекулярной костной ткани в ветви нижней челюсти с наложенными геометрическими образами тензора анизотропии М

В результате для каждой исследуемой области были получены геометрические образы (эллипсы структуры) связанного с тензором структуры тензора анизотропии. На рис. 7.44 показаны направления большой главной полуоси эллипса структуры (без учета степени анизотропии). Можно заметить совпадение этих полуосей с направлением преимущественного распре-

306

Более того, сравнение полученных результатов со схемой распределения губчатого вещества в нижней челюсти [5] (см. рис. 7.44) – выявляет значительное совпадение полученных полуосей с траекториями ветви нижней челюсти. Некоторое несовпадение с траекториями объясняется не очень хорошим качеством данного снимка.

Таким образом, тензор структуры отражает закономерности формирования костной ткани различных отделов скелета человека

иможет быть применен для описания отклика зубочелюстной системы на изменяющееся биомеханическое давление. Полученные результаты в дальнейшее планируется использовать для описания напряженно-деформированного состояния в нижней челюсти человека и процессов перестройки костной ткани, например эволюции

иинволюции тела челюсти под воздействием нагрузок или при онтоногенезе организма.

Также интерес представляет моделирование поведения костной ткани в районе вживления имплантата, например, при синдроме Попова– Годона (рис. 7.45) [42] или какой-либо функциональной травме [13] с последующим замещением дефектов зубного ряда. Одной из важнейших проблем современной стоматологии является атрофия челюстных костей при частичной или полной вторичной адентии. Преждевременная потеря постоянных зубов и отсутствие своевременного восстановительного лечения являются основными этиологическими факторами развития «патологического» типа атрофии альвеолярного отростка. Таким образом, целью дальнейшего исследования будет изучение структурных изменений в альвеолярном отростке при «патологическом» типе атрофии челюстных костей. Для этого требуется сформулировать кинетическое уравнение для тензора Н.

Вданной главе рассмотрены основные классические теории, позволяющие описывать поведение костной ткани под нагрузкой, как в историческом плане, так и на современном этапе развития. Также были рассмотрены методы, используемые для количественной оценки перестройки кости, необходимые для последующего математического моделирования как инструмента для более глубокого изучения того, как осуществляется перестройка и как она влияет на структуру кости. Отметим, что здесь большой интерес

307

представляет моделирование поведения костной ткани в районе вживления имплантатов, например при замещении дефектов зубного ряда.

Рис. 7.45. а – нормальная структура губчатого вещества нижней челюсти (препарат) мужчины 25 лет; б – структура губчатого вещества нижней челюсти (препарат) мужчины соответственного возраста при феномене Годона [42]

В конечном счете полученные модели могут привести нас к более ясному пониманию скелетной биологии и механики и взаимоотношений между ними. Вам предоставлена возможность изучать этот предмет в период его становления, и мы должны рассматривать математические исследования скорее как «работу в процессе», а не как вывод из различного рода окончательных математических результатов. Когда Ньютона спросили, как он достиг проникновения в мир физики, он сказал: «Путем вдумывания в него», а Эйнштейн на этот же вопрос ответил: «Я нащупал». В этой главе мы используем математические модели, чтобы продумать наш путь к перестройке кости. В то же время не стоит забывать, что «математика – это форма, в которой мы выражаем наше понимание природы, но не ее содержание» [3]. Будет неправильно

308

пытаться втиснуть реалии современной жизни во вчерашние теоретические конструкции. Только такая теория, которая творчески отражает сегодняшний день и помогает осознать мир в соответствии с его объективными законами, может перейти в сферу практической деятельности.

7.8.Контрольные вопросы

1.Какова одна из основных целей изучения современной биомеханики скелета человека?

2.Чем кортикальная костная ткань отличается от губчатой костной ткани?

3.Сформулируйте закон Вольфа для живой костной ткани.

4.Изложите три основные концепции XIX века, оказавшие влияние на современный закон Вольфа.

5.С чем сравнил К. Кульман архитектуру губчатой костной ткани в проксимальном отделе бедренной кости человека?

6.Что такое стереология?

7.Каким образом можно определить долю объёма костной ткани в исследуемом костном образце?

8.Сформулируйте принцип Делесса.

9.Какие сетки использовались при стереологических исследованиях костной ткани в работах W.J. Whitehouse?

10.Что такое среднее расстояние между порами (согласно определению E. Underwood)? Как оно вычисляется на практике?

11.Какой кривой может быть аппроксимирована зависимость [ J A (ω )]2 ? В каком виде представима данная кривая в полярной сис-

теме координат?

12.Изложите основные трудности, возникающие при стереологических исследованиях костной ткани.

13.Запишите каноническое уравнение эллипса в декартовой

иполярной системах координат.

14.Сформулируйте теорему об обратном тензорном признаке.

15.Что отражает характеристическая поверхность тензора напряжений σ? Как она называется?

16.Для чего используется тензор структуры Н? Каковы его основные свойства?

309

17.Как может быть построен тензор анизотропии М?

18.Как тензор анизотропии М связан с тензором структуры Н? Почему необходима положительная определённость тензора М?

19.Что отражает закон Вольфа при отсутствии перестройки

вкостной ткани?

20.Какое свойство позволяет судить о совпадении главных осей тензора напряжений σ и тензора структуры Н?

21.Изложите основные этапы стереологического исследования

впрограмме Image Tool.

22.Приведите примеры тензора структуры Н, описывающего трабекулярную костную ткань шейки головки бедра и ветви нижней челюсти человека.

Список литературы к главе 7

1.Акулич Ю.В. Экспериментальное определение индивидуальных параметров структуры губчатой кости проксимальной части бедра человека / Ю.В. Акулич, А.Ю. Акулич, А.С. Денисов // Известия вузов. Поволжский регион (в печати).

2.Астахов Н.А. Ортопедическая стоматология / Н.А. Астахов, Е.М. Гофунг, А.Я. Катц. – М.-Л.: Медгиз, 1940.

3.Беллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. – М.:

Наука, 1976.

4.Билич Г.Л. Анатомия человека. Кн. 1 / Г.Л. Билич, М.Р. Сапин. – М.: Издат. дом «ОНИКС», 1998.

5.Бусыгин А.Т. Возрастные особенности строения восходящей ветви нижней челюсти / А.Т. Бусыгин. – Ташкент: Гос. мед. изд-во Министерства здравоохранения УзССР, 1961.

6.Гейзенберг В. Шаги за горизонт / В. Гейзенберг – М.: Про-

гресс, 1987.

7.Демидов С.П. Теория упругости / С.П. Демидов. – М.: Высш.

шк., 1979.

8.Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление / Ю.И. Димитри-

енко. – М.: Высш. шк., 2001.

9.Ильин В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – М.: Физматлит 2001.

310