книги / Экспериментальные методы в биомеханике
..pdf
Рис. 7.26. Зависимость компоненты тензора структуры ηαα от числа пор при их постоянном размере для изотропного образца
Аналогично для структурированного образца (рис. 7.27) показана зависимость компоненты тензора структуры ηαα и ηββ от размера пор при их неизменном числе (N = 4). На рис. 7.28 показана зависимость компоненты тензора структуры ηαα от числа пор для одного
итого же размера пор (a = 1,25 мм). В обоих случаях можно проследить четкие обратные зависимости между значением компонент тензора структуры и изменяемым параметром структуры. Напомним, что компоненты тензора Н имеют размерность [м].
Таким образом, тензор структуры отражает закономерности формирования костной ткани в различных отделах скелета человека
иможет быть применен, например, для описания отклика зубочелюстной системы на изменяющееся биомеханическое давление. Полученные результаты в дальнейшем возможно будет использовать для описания напряженно-деформированного состояния в челюстях человека и процессов перестройки костной ткани, например эволюции и инволюции тела челюсти под воздействием нагрузок или при онтоногенезе организма.
291
Рис. 7.27. Зависимость компонент тензора структуры ηαα и ηββ от размера пор при их неизменном числе для структурированного
образца
Напомним, что при математическом описании адаптационных процессов, происходящих в кости с учетом ее внутренней структуры (например, при построении определяющих соотношений или кинетических уравнений, включающих в себя слагаемые, отображающие внутреннее строение кости), необходимо дать точную математическую форму записи для закона Вольфа. Закон Вольфа предполагает, что трабекулярная архитектура губчатой кости в локальной области структурно адаптировалась к местному напряженному состоянию костной ткани. В частности, установлено, что ориентация трабекул в данной области совпадает с главными направлениями тензора напряжений в этой же области. Отметим, что в ряде работ [29, 32, 33, 35, 38, 41, 43, 44, 48, 49, 59, 63, 65, 77] был предложен вариант математической записи закона Вольфа для равновесного, гомеостатического состояния, то есть для такого состояния, когда отсутствует перестройка костной ткани. Данная формулировка была реализована, например, для случая линейной упругости в виде связи между тензором напряжения σ и тензором деформации ε с учетом его структуры и пористости ν.
292
Рис. 7.28. Зависимость компонент тензора структуры ηαα и ηββ от числа пор при их постоянном размере для структурированного образца
Известно, что при изменении внешней нагрузки, оказывающей воздействие на кость, согласно закону Вольфа происходит перестройка костной ткани. Отсутствие перестройки в кости (гомеостатическое состояние) предполагает наличие определенного набора условий, при которых нет никакой перестройки, резорбции или роста кости. Гомеостатическое состояние характеризуется специфической архитектурой костной ткани (ν0, Н0) и специфическим напря- женно-деформированным состоянием кости (σ0, ε0). Отметим, что напряжение σ0 и деформация ε0 при гомеостазе фактически являются диапазоном изменения напряжения и деформации, в пределах которых не происходит никакой перестройки кости, и могут быть описаны при помощи специальных мер, описывающих историю нагружения и деформирования [34, 37]. Величины σ0 и ε0 принято считать усреднёнными значениями напряжения и деформации среды за продолжительный промежуток времени, хотя можно использовать и другие способы определения σ0 и ε0.
Поскольку закон Вольфа отражает тот факт, что главные направления тензора напряжений при отсутствии перестройки совпадают с ориентацией трабекул в губчатой костной ткани, то в гомеостатическом состоянии главные оси тензора напряжений σ0 должны
293
совпадать с главными осями тензора структуры Н0, иначе говоря, тензоры должны быть соосными. Совпадение главных осей гарантировано в случае, когда скалярное произведение тензора напряжения σ0 и тензора структуры Н0 коммутативно, то есть если
σ0 H0 = H0 σ0 , |
(7.85) |
то главные оси означенных тензоров совпадают.
При описании напряженно-деформированного состояния кости, однако же, необходимо описывать не гомеостатическое состояние, а перестройку трабекулярной структуры, происходящую с течением времени. Таким образом, необходима такая математическая форма записи закона Вольфа, которая позволяла бы рассматривать не только отсутствие перестройки кости, но и саму перестройку, то есть изменение структуры, а, следовательно, и изменение тензора структуры Н и пористости ν течением времени. Для этого были рассмотрены эволюционные уравнения, позволяющие описать перестройку костной ткани в соответствии с законом Вольфа [34, 37]. Отметим, что в ряде работ [37, 39, 41] была предложены уравнения, описывающие адаптацию косной ткани к изменяющимся нагрузкам
ииспользующие тензор структуры.
Взаключение отметим, что закон Вольфа может быть частью более общего закона, определяющего скорость изменения тензора структуры как функционал тензора напряжений σ деформаций ε структуры Н, различных биомеханических факторов ck, возраста
ивремени t.
dH |
= f (σ, ε, H, ck , t ), |
(7.86) |
|
||
dt |
|
|
где под функционалом понималось, что это функция всей истории своих переменных [41].
7.6.Реализация стереологических исследований
впрограмме Image Tool
При стереологических исследованиях костной ткани необходимыми компонентами исследовательской рабочей станции является оборудование для увеличения, фиксации и оцифровки изображе-
294
ния (электронный микроскоп и цифровая видеокамера, например), а также оборудование и программное обеспечение для последующей обработки и анализа полученных микрофотографий. Принципиальная схема подобной станции показана на рис. 7.29. Представленная станция состоит из микроскопа, предназначенного для увеличения исследуемого образца, и видеокамеры, которая производит съемку увеличенного образца. Видеосигнал оцифровывается, далее оцифрованное изображение выводится на монитор персонального компьютера и анализируется специально разработанным программным обеспечением [56, 65].
Рис. 7.29. Схема исследовательской станции, предназначенной для стереологических исследований структуры [62]
Сегодня за рубежом существует множество специально разработанных рабочих станций для анализа микрофотографий, в том числе и костной ткани. Так, в работе Tovey [64] была разработана автоматическая вычислительная система для количественного описания структуры, отображенной на электронных микрофотографиях твердых тел. Данная система исследовала градиенты яркости на
295
изображении в каждой точке, причем распределение векторов градиента в полярной системе координат имело тенденцию соответствовать эллипсу. Подобные рабочие станции были разработаны
Whitehouse [70, 72], Harrigan и Mann [45], Turner [65] и многими другими исследователями.
В настоящее время при стереометрических исследованиях мы пользуемся полуавтоматическими методами (полная автоматизация измерительного процесса находится в разработке). Последовательность измерительных процедур была разработана на кафедре теоретической механики ПГТУ и успешно применяется студентами специальности «Компьютерная биомеханика при стереологических исследованиях трабекулярной костной ткани». Рекомендуется придерживаться следующей последовательности действий.
Препарат трабекулярной костной ткани готовится согласно стандартной процедуре [70], далее производится съемка микрофотографии. Оцифрованное изображение подвергается предварительной обработке в программе Adobe Photoshop 8.0. Дальнейшая обработка изображения и последующие необходимые стереометрические измерения проводились в специализированной программе для обработки и анализа изображений Image Tool 3.0.
Image Tool является свободно распространяемым программным обеспечением для обработки и анализа изображений. Программа разработана S.A. Baker, S.D. Gardner, M.L. Rogers, F. Sanders,
T.W. Tunnel. Bachtel Nevada, Los Alamos Operations. В Image Tool
реализованы такие функции как измерение длины отрезка, градусной меры угла, периметра области, построение гистограмм, задание калибровки и другие. Для ознакомления с возможностями Image Tool предлагается рассмотреть идеальный изотропный образец (см. рис. 7.24, а), имитирующий костную структуру. Предлагается осуществить следующие операции с изображением (приблизительный алгоритма работы).
1. Запустить Image Tool и командой Open через меню File открыть изображение, предназначенное для исследования. На рис. 7.30 показано диалоговое окно Image Tool с открытым файлом образца.
296
Рис. 7.30. Диалоговое окно программного обеспечения Image Tool
2. Далее необходимо произвести калибровку линейки для последующих измерений. Для этого необходимо выбрать команду
Calibrate Spatial Measurements меню Settings. Курсор принимает вид карандаша, и появляется диалоговое окно с требованием начертить линию известной длины, после чего открывается новое диалоговое окно «How long is the line?», в котором отображается длина начерченной линии в пикселях. Необходимо выбрать единицы измерения и ввести длину линии в этих единицах (рис. 7.31). Полученная калибровка может быть сохранена посредством команды Save Spatial Calibration меню Settings. Для возврата к некалиброванному состоянию необходимо воспользоваться командой Load Spatial Calibration
меню Settings и загрузить файл No Calibration.Image Toolc из папки
Image Tool / Calibration.
3. Необходимо сделать изображение «серым» посредством ко-
манды Color-To-GrayScale меню Processing. Полученное изображе-
ние (оно появляется в новом окне) пригодно для построения гистограмм по срезу и по области.
297
Рис. 7.31. Диалоговое окно команды Calibrate Spatial Measurements
Рис. 7.32. Диалоговое окно команды Threshold
298
4.Затем необходимо сделать изображение бинарным при по-
мощи команды Threshold / Manual меню Processing. А именно,
воткрывшемся диалоговом окне (рис. 7.32) подвинуть правый бегунок налево, при этом будет видно изменение изображения таким образом, что поры осветлятся, при достижении необходимого эффекта нажать ОК, после чего создастся бинарное изображение.
5.В программе Image Tool реализована процедура построения профиля изображения вдоль определенной линии (команда Line Profile меню Analisis). Данная процедура позволяет подсчитать количество переходов от черного цвета к белому вдоль определенной линии. На рис. 7.33 показано диалоговое окно, отображающее результат применения команды Line Profile. Горизонтальная ось представляет собой профиль линии, вдоль которой производятся измерения; по вертикальной оси показано, каким образом изменяется «уровень серого». При этом необходимо учитывать, что белому цвету соответствует уровень 0, а черному – 255. Воспользовавшись данной опцией, можно подсчитать число пересечений тестовых линий с границей кость– пора. Измерения проводится для трех различных углов наклона тестовых линий.
Рис. 7.33. Диалоговое окно команды Line Profile
6. С помощью функции Distance меню Analysis можно определить длины тестовых линий, ориентированных в заданном направлении θ. Результаты измерений, отображенные в диалоговом окне, необходимо просуммировать и определить.
299
7. При построении тензора структуры используется относительная площадь кости AAb. В программе Image Tool реализуется процедура подсчета количества черных и белых пикселей с помо-
щью команды Count Black / White Pixels меню Analysis (рис. 7.34).
Умножив площадь образца на процентное содержание черных пикселей, можно определить относительную площадь кости AAb.
Рис. 7.34. Диалоговое окно Image Tool после реализации команды Count Black /
White Pixels
Полученные результаты позволяют построить тензор структуры для плоского образца с использованием соотношений, представленных в разделе 7.7.
7.7.Результаты исследований
Всоответствии с вышеописанной методикой было проведено стереологическое исследование ряда тестовых, идеализированных структур, чью степень анизотропии не представляет труда определить визуально. Также был рассмотрен ряд микрофотографий, демонстрирующих различные образцы трабекулярной костной ткани. Полученные результаты не противоречат природной действительности и описывают степень анизотропии исследованных структур с высокой степенью точности.
Для иллюстрации этого положения в качестве примера рассмотрим две модельные пористые структуры: изотропную и анизотропную (рис. 7.35). Для этих модельных структур были построены тензоры анизотропии М. Для изотропной пористой структуры тензор М, вычисленный в осях eα – eβ, имеет следующий вид:
300