книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

случае давление груза на балку равно сумме веса и силы инерции груза, а соответствующие уравнения имеют переменные коэффи­ циенты (в этом состоит существенное отличие от уравнений, полу­ ченных А. Н. Крыловым). Хотя речь идет как будто о движении одиночного груза, а следовательно, о процессе ограниченной дли­ тельности, автор, убедившись в устойчивости решения соответству­ ющего однородного уравнения, пишет: «Нашим дальнейшим ис­ следованиям будут подлежать исключительно частные решения неоднородного дифференциального уравнения» и затем ищет кри­ тические значения скорости груза, при которых в частном реше­ нии возникают резонансные слагаемые. Конечно, этот прием анали­ за уместен только в условиях периодического воздействия, когда по балке движется регулярная последовательность грузов, а не един­ ственный груз. В книге В. В. Болотина [12], вышедшей в свет вско­ ре после публикации [И ], отчетливо оговорено, что упомянутое решение относится имепно к случаю движения серии грузов; по этому поводу см. также статью А. Б. Моргаевского [39].

§ 22. Разумная «непоследовательность» учета трения в решениях некоторых задач

теории механических колебаний

В широко известной книге Литлвуда [27] можно про­ читать: «При изложении математического рассуждения мастерство заключается в умении дать образованному читателю возможность сразу, не заботясь о деталях, схва­ тить основную идею; последовательные дозы должны быть такими, чтобы их можно было глотать «с ходу»; в случае неудачи, или если бы читатель захотел что-ни­ будь проверить, перед ним долита с т о я т ь четко ограни­ ченная маленькая задача (например, проверить тожде­ ство; две пропущенные тривиальности могут в совокуп­ ности образовать непреодолимое препятствие)».

Вряд ли кто-нибудь не согласится с этой мыслью, од­ нако при ее практическом осуществлении возможны ошибки. Здесь же от промахов никто не застрахован — не так-то просто правильно определить, что окажется три­ виальным для конкретного читателя, а что требует до­ полнительных разъяснений. К чему приводит пропуск тривиальностей, о котором писал Литлвуд, можно судить по следующей невымышленной истории.

Во многих книгах разбирается задача о действии пе­ риодических мгновенных импульсов S неизменного на­ правления на линейную систему с одной степенью сво­ боды (рис. 22.1). Как известно, здесь вовсе не обязатель­ но пользоваться разложением в ряды Фурье — простое решение в замкнутой форме легко получить, исходя из

свойства периодичности искомого процесса установив­ шихся вынужденных колебаний.

Для этого рассматривается один из типовых промежуткс/В времени (любой) длительностью Г, расположен­ ный между моментами действия двух последовательных

Р*

с/ Г ,

Рис. 22.1. Односторонние периодические импульсы

мгновенных импульсов, причем < £ < T (£4*-> 0). Ведя отсчет времени от начала этого промежутка, можно за­ писать дифференциальное уравнение* в виде

ш хЛ -сх^ 0 ( 0 < £ < Г ) (22.1)

Здесь к = (с/т)112, а индекс «1» означает, что соответ­ ствующие величины относятся к началу рассматриваемого промежутка времени (t — tt).

Для скорости получается выражение

Хотя входящие сюда начальные значения координаты и скорости Xi и Vi заранее неизвестны, выразим через них значения хТ и vTв конце промежутка (при £ = Г) :

Эти условия «сшивания» (припасовывания) очевидны — первое условие означает, что за нулевое время координа­ та не может получить конечного приращения, а второе непосредственно следует из теоремы об изменении коли­ чества движения.

Поскольку разыскивается периодическое движение с периодом импульсов Г, состояния системы в моменты

и t2 должны быть одинаковыми:

Это решение относится к промежутку времени между моментами действия двух любых последовательных им­ пульсов, но, конечно, всякий раз начало отсчета времени нужно совмещать с началом промежутка. Подчеркнем, что в (22.7) нельзя подставлять £ > Т\

Далее легко анализируются свойства найденпого дви­ жения (определяются максимальные отклонения, фор­ мулируются условия резонанса кТ/2 = пп и т. д.).

Приблизительно так излагается это экономное и изящ­ ное решение в современных книгах и, в частности, в по­ следнем издании курса [28]. Такое изложение, вполне ясное для подготовленного читателя, из-за отсутствия некоторых комментариев вызывает недоуменные вопросы у начинающего (пропуск тривиальностей!). Среди различ­ ных недоразумений, притом возникавших не только на студенческом уровне, автору пришлось встретиться со следующими:

конечно большой (нужно иметь в виду, что задача о дей­ ствии периодических импульсов рассматривается в курсе задолго до изучения темы «удар»). Если здесь не помо­ жет ссылка на понятие о дельта-функции Дирака, то для разъяснения полезно сослаться па курс сопротивления материалов и указать на аналогичную замену нагрузки, распределенной на малом участке длины балки, сосре­ доточенной силой (равнодействующей).

2. В о з р а ж е н и е , связанное с тем, что каждый очереднойщмпульс вызывает скачок скорости и, по-видимому, изменяет кинетическую Энергию системы. Но на проме­ жутке между двумя импульсами энергия остается посто­ янной (система консервативная) и, следовательно, на раз­ личных промежутках энергия неодинаковая, а этого не может быть при периодическом процессе.

Читатель, вероятно, уже заметил, в чем ошибка этого рассуждения: хотя каждый импульс действительно вызы­ вает скачок скорости, но кинетическая энергия при этом не м е н я е т с я , , потому что абсолютное значение ско­ рости остается прежним — до приложения очередного им­ пульса скорость равна —S/(2m), а после этого меняет

представлено не в привычном виде аналитического выра­ жения, справедливого для любых значений времени t, а в «кусочном» виде, относящемся только к одному ти­ пичному промежутку времени. Поскольку в курсах мате­ матики и механики этому представлению (весьма важно­ му для практики) уделяется очень мало внимания, не исключено, что учащййся впервые с ним встречается именно здесь. Для разъяснений может быть уместна ссылка также на курс сопротивления материалов, где при построении эпюр постоянно приходится иметь дело с функциями, имеющими различные аналитические вы­ ражения на разных промежутках изменения аргумента.

4. П р е т е н з и я по поводу того, что полученное пе­ риодическое решение не удовлетворяет произвольно за­ даваемым подлинно начальным условиям (для момента, непосредственно предшествующего приложению первого импульса). Формально отвечая на эту претензию, доста­ точно сослаться на то, что разыскивалось лишь ч а с т н о е решение (чисто вынужденные колебания), а оно и не должно удовлетворять начальным условиям. Но еще луч­ ше показать, как в надшей задаче фактически достроить общее решение.

Для этого прежде всего определяются следующие из (22.7) значения х и х в подлинно начальный момент, непосредственно предшествующий первому импульсу (они такие же, как и в момент t = Т):

то дополнительное движение я*(т), которое нужно доба­ вить к периодическому движению (22.7), порождается различиями между (22.8) и (22.9), а именно начальными условиями

жутка времени, для которого вычисляется я*). Оконча­ тельно общее решение можно записать в виде

+ ~Siï[sinkt + clg^i~coskt)’ (22 12)

(Здесь хочется сразу отметить, что дополнительное дви­ жение в действительности будет: затухающим из-за влия­ ния неизбежных сил трения, но это все же другой вопрос,. к которому мы еще вернемся в п. 6.)

5.З а б в е н и е (незнание, недооценка) того, что част­

ное решение линейного дифференциального уравнения с периодической правой частью всегда представляет собой периодическую функцию того же периода (возможно, описываемую «кусочным» образом); именно это, удобней­ шее для анализа свойство положено в основу приведен­ ного выше решения. Забывая о сказанном, иногда пред­

лагают искать общее решение с помощью интеграла Дюамеля в виде

Т

где Ç ( T ) — вынуждающая сила, которая в нашей задаче может быть записана через дельта-функцию Дирака

3=1

Несомненно, такое предложение продиктовано «луч­ шими чувствами» и опирается на высокую репутацию интеграла Дюамеля*), который действительно дает уни­ версальное решение задачи о колебаниях системы под действием произвольной вынуждающей силы. Однако во многих конкретных случаях, когда нетрудно сразу ука­ зать частное решение, совершенно не обязательно обра­ щаться к интегралу Дюамеля. Это относится в особенно­ сти к задачам о периодическом возбуждении; здесь и удобно, и естественно выделить периодическое частное решение (с периодом правой части). В этих случаях ре­ шение в форме (22.13) потребует, бесспорно, более гро­ моздких выкладок.

Выделение периодической части решения всегда ради­ кально упрощает выкладки — не только в задачах дина­ мики, но и в статических задачах, где аргументом служит, пространственная координата и речь идет* о периодично­ сти в.пространстве (об этом см. в конце параграфа).

6. С о м н е н и е в самостоятельной ценности найденного решения, поскольку к нему нужно еще что-то добавлять, чтобы результат удовлетворял начальным условиям. Но дополнительное движение в действительности оказывает­ ся затухающим, и в этом мы убедимся, если учтем трение и при определении этого движения будем исходить не из уравнения (22.1) , а из уравнения

Поэтому довольно сцоро после начала процесса дополни­ тельное движение станет практически неощутимым и ре­

*) Жан Мари Констан Дюамель (1797*—1872) — французский математик, член Парижской академии наук (с 1840 г.), член-кор­ респондент Петербургской академии наук (с 1859 г.). Интеграл Дюамеля был предложен в 1834 г.

точным. В этих случаях оно имеет самостоятельную цеп­ кость, и им можно пользоваться в достаточном удалении от подлинного начала процесса.

Что касается формальной непоследовательности, то ведь «непоследовательности» такого типа можно обнару­ жить чуть ли не во всех прикладных теориях, когда один и тот же фактор, учитываемый на одних этапах решения, не учитывается на других. Вспомним, например, «прин­ цип неизменности начальных размеров», которым поль­ зуются почти всегда в сопротивлении материалов при за­ шей уравнений равновесия; здесь деформации считаются отсутствующими, хотя на других этапах решения они обязательно учитываются. Можно привести пример и яз теории колебаний. Известно, что далеко от резопанса ре­ жим вынужденных колебаний можно определять без уче­

затухании роли начальных условий и потому косвенпо содержит своеобразный учет трения.

Рис. 22.2. Многопролетная балка периодической структуры: а) за­ данная схема; б) схема к определению периодической части реше­ ния; в) схема к определению дополнительного решения

Выделение периодической части решения удобно и при анализе статических задач о деформировании систем с периодической (в пространстве) структурой. Пусть, например, речь идет об изгибе многопролетной неразрез­ ной балки с равными и одинаково нагруженными про­ летами (рис. 22.2,а). В данном случае целесообразно4ис­ кать решение в виде суммы периодического решения, описывающего изгиб любого пролета по схеме, показан­

ной па рис. 22.2, б, и дополнительного решения, соответ­ ствующего схеме нагружения, данной на рис. 22.2, в.

Моменты, показанные на рис. 22.2, б, одинаковы по величине вследствие условий периодичности. Согласно тем же условиям одинаковыми должны быть и углы поворота сечений ф па концах выделенного пролета — это и позволит найти значение М (т. е. выразить М через параметры пролетной нагрузки).

Дополнительное решение для схемы па рис. 22.2, в можно найти, например, методом фокусов. Во всяком слу­ чае ясно, что оно будет быстро затухать с удалением от концов заданной балки; поэтому для далеких от кон­ цов балки пролетов найденное раньше периодическое решение будет мало отличаться от полного -решения. Впрочем, независимо от этого в задачах с периодической структурой всегда удобно искать решение в виде суммы периодической части и дополнительной части — последняя позволяет точно удовлетворить заданным начальным (или граничным) условиям.