книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

величин А, и Аг:

(3m W + 2 с - PI) А{ + (mPJi* + P I - с ) Ал= О, Xml2№— с) Ах+ (ml2K2 + с) Az = 0. (18.4)

Условием существования ненулевых решений для At и А2 служит равенство нулю определителя системы (18.4):

Свойства возмущенного движения зависят от вида корней биквадратного уравнения (18.6), которые опре­ деляются выражением

возмущенное движение представляет собой гармонические колебания. В противоположном случае корни оказывают­ ся комплексными и среди них найдется по крайней мере один с положительнойвещественной частью; этому корню соответствует неограниченно возрастающее возмущенное движение. Таким образом, для устойчивости рассматри­ ваемой системы необходимо выполнение неравенства

и условие (18.9) выполняется. При постепенном возра­ стании Р величина В2 убывает и, когда разность

В\/4 — BQ обращается в нуль, возникает' неустойчи­

то в пределе получается критическое значение

существенно отличающееся от полученного выше значе­ ния (18.10).

В чем здесь дело, почему разошлись результаты, ко­ торые, казалось бы, должны совпадать? Какой из ре­ зультатов верен?

Для выяснения этих вопросов рассмотрим диаграмму устойчивости, сооответствуюгцую выражению (18.12); она показана на рис; 18.2, причем область устойчивости заштрихована. Здесь же по оси орди­

ний; именно об этом (и только об этом!) свидетельствует анализ вырожденного биквадратного уравнения (18.6). В подобных случаях, когда движение системы без трения представляет собой гармонические колебания, мы склон­ ны думать, опираясь на анализ известных примитивных случаев, что вследствие неучтенного трения истинное движение системы будет носить характер затухающих колебаний, т. е. в действительности система асимптоти­ чески устойчива.

Однако это заключение в ряде случаев ошибочно — существуют механические системы, в которых силы тре­ ния могут оказывать дестабилизирующее влияние; об этом говорит одна из теорем Томсона и Тэта (см., например, [33]). Принимая с самого начала 6 = 0, мы привязываем свое исследование к оси ординат и попросту не можем судить об изменении ’ свойств возмущенного движения, если в систему вводится трение. Для такого суждения

ся и движение будет неограниченно приближаться к ре­ жиму . колебаний с постоянными размахами, в котором эти влияния взаимно компенсируются. Этот режим назы­ вается установившимися автоколебаниями. Постепенный

сматриваемой системы схема­ тически показана на рис. 19.2, а, где буквой Р обозна­

чен предельный цикл, т. е. фазовая траектория, соответ­ ствующая установившимся автоколебаниям; цифрами 1

Рис. 19.2. Фазовые диаграммы: а) для уравнения Ван-дер-Поля; б) для вырожденной консервативной системы

и II обозначены две типичные фазовые траектории, соот­ ветствующие переходным процессам, начинающимся при малом и большом начальных возмущениях.

Эти рассуждения качественного характера полностью подтверждаются соответствующими вычислениями. Опу­ ская ихг приведем приближенные окончательные резуль­ таты для стационарного режима в случае, когда коэффи­ циент \х мал по сравнению с единицей.

Оказывается, что стационарному режиму соответству­ ют колебания с частотой, которая весьма близка к соб-

ствеипой частоте вырожденной консервативной системы

только догадываться). Таким образом, получается, что хотя частота стационарного режима автоколебапий прак­ тически совпадает с частотой свободных колебаний вы­ рожденной системы, однако между этими двумя случая­ ми существует и принципиальное различие: стационар­ ному режиму автоколебаний соответствует е д и н с т в е н ­

му вырожденной системы см. на рис. 19.2, б).

Обдумаем, что меняется в системе Вап-дер-Поля при постепенном уменьшении параметра р. Сколь бы* малым ни был этот параметр, структура фазовой плоскости в принципе будет оставаться неизменной, а именно той, которая иллюстрирована выше рис. 19.2, а. Однако ясно и то, что при р = 0 должна возникнуть структура, типич­

грамму на рис. 19.2, б? Не происходит ли при этом некий неожиданный разрыв свойств?

Вдействительности никакого разрыва не происходит,

апрддельпый переход носит достаточно плавный харак­ тер. Дело в том, что при уменьшении значений р навив­

ка любой фазовой спирали па рис. 19.2, а стайовится все б о л е е п л о т н о й , т. е. расстояния между витками убы­ вают, а темп изменения амплитуды колебаний уменьшает­ ся. При исчезающе малых значениях р, когда плотность навивки становится бесконечно большой, изображающей точке, соответствующей произвольно заданному началь-,

траектории на рис. 19.2, б.

Вырождение* системы Ван-дер-Поля, т. е. ее превра­ щение в консервативную систему, можно наглядно про­ иллюстрировать с помощью (умозрительного) стробоско­ пического освещения фазовой плоскости, когда фикси­ руется дискретная последовательность положений изобра­ жающей точки после каждого колебательного цикла. При любом, заданном ненулевом значении р изображающая

точка за один цикл переходит с одпого витка фазовой спирали на следующий виток; если, например, фиксиру­ ются положения изображающей точки в те моменты,-ког­ да обобщенная координата проходит через максимальные значения, то в стробоскопическом освещении мы увидим малые скачки изображающей точ­

меньше, тем плотнее располагают­ ся витки фазовой спирали и тем меньше фазовая скорость.

При неограниченном убывании р, фазовая скорость также будет стремиться к нулю, т. е. в пределе изображающая точка будет оставаться на месте, а именно там, где она в зависимости от начальных условий находилась при пер­ вой же стробоскопической вспышке. Как видно, это в точ­ ности соответствует свойствам консервативйЪй системы.

§ 2 0 . П р е д е л ь н ы й п е р е х о д в д и с к р е т н о й ц е п н о й с и с те м е

Для сплошного упругого тела — основной модели тео­ рии упругости — в свою очередь может быть предложена дискретная модель в виде совокупности достаточно боль­ шого числа материальных точек или абсолютно твердых тел, связанных между собой упругими связями; при этом массовые и упругие характеристики элементов дискрет­ ной системы^ подбираются так, чтобы были выполцепы некоторые условия эквивалентности обеих моделей. Есте­ ственно ожидать, что с увеличением числа элементов свойства дискретной модели неограниченно приближают­ ся к свойствам сплошного тела. Однако при таком переходе иногда возникают вопросы, требующие пояс­ нений.

Сопоставим в качестве первого примера решения за­ дачи о продольном ударе для двух схожих моделей —

сплошного однородного стержня и дискретной цепочки материальных точек («грузов» )* соединенных упругими пружинами.

Предположим, что свободный сплошной упругий стер­ жень первоначально движется вдоль своей оси со ско­ ростью V; затем в некоторый момент, принимаемый далее за начало отсчета времени, передний конец стержня встречается с абсолютно жесткой преградой и мгновенно останавливается. Как известно, при этом появляется волна сжатия, распространяющаяся от преграды вдоль стержня со скоростью

(р и Е — плотность и модуль упругости материала стерж­ ня). В сечениях стержня при прохождении волны сжатия возникает продольная сила

от преграды, т. е. про­ тивоположно первоначальному направлению, и происхо­ дит отскок стержня от преграды. Общая длительность времени контакта с преградой составляет 2

времени) и должно быть подчинено начальным условиям

щ (0) = и2(0) = ... = ип(0) = 0,

(20.7)

üi (0) = й2(0) = ... = ùn(0) = v.

Решение этой задачи можно за]гисать в виде (доволь­ но громоздкие выкладки опускаем — см. [35, 44])

Продольная сила в д-й пружине дискретной модели равна

Nlt = c(uv — u1)+l)

(положительная в случае сжатия пружины) и йожет быть записана с помощью (20.5), (20.3) и (20.8) в без­ размерном виде

где N определяется выражением (20.2).

На рис. 20.3, а в виде сглаженных кривых показано распределение сил Np по пружинам десятизвенной мо­ дели (п = 10), вычисленное для нескольких характерных моментов времени. Сопоставляя приведенные ' графики с рис. 20.1 для продольных сил в сечениях сплошного стержня, можно отметить, что при ударе дискретной си­ стемы в несколько смягченной форме воспроизводится распространение волны сжатия, которая в сплошном стержне носит отчетливо выраженный разрывной ха­ рактер.'

Для того чтобы составить еще более полное представ­ ление о согласованности результатов, получаемых для двух различных моделей, полезно проследить за измене­ нием во времени усилия в какой-либо одной фиксирован­ ной пружине. Результаты вычислений для средней (пя­ той) пружины дискретной модели приведены в виде гра­ фика па рис. 20.3, б; здесь же штриховой линией по­ казано изменение во времени усилия в среднем сечении