книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

Для того чтобы понять, в чем здесь дело, временно представим себе вместо втулки тележку с двумя парами колесиков (рис. 14.1, а) , полагая, что малое расстояние между колесиками равно А. На рис. 14.1, б показана схе­ ма реакций, передаваемых балке тележкой. При малых

Рис. 14.1. а) Схема упрощенной модели втулки; б) реакции втул­ ки; в) реакции втулки при Д-*-0; г) смятие втулки

Углы поворота сечений балки под колесиками определя­ ются выражениями

АG ( 1 - 1 ) А

Определим теперь горизонтальные составляющие сил Ni и TV2:

Очень важно отметить, что они не зависят от размера А (если он мал). Обе составляющие направлены вправо, и их сумма равна

А. Возвращаясь к исходной схеме абсолютно жесткой втулки (когда А- ^0) , мы должны принять, что втулка передает балке не только вертикальную силу N = N2 — Nt и момент if, но также и горизонтальную силу ЗГ, опре-

делаемую выражением (14.1) (см. рис. 14.1, в). Возник­ новение силы Т означает, что внизу у правого края втулки неизбежно происходит некоторое ее смятие, как это показано на рис. 14.1, г.

Сила Т весьма мала по сравнению с весом G (отно­ шение этих сил имеет порядок отношения прогиба конца балки к ее общей длине), но она должна быть извне приложена к втулке. Результат вычисления работы этой внешней силы

оо

конечно, совпадает с (13.14).

В сущности, схема, показанная на рис. 13.1, вообще

препятственно катиться по горизонтальной опорной по­ верхности и также беспрепятственно перемещаться отно­ сительно нижней поверхности балки.

Очевидно, что на балку со стороны подвижной опоры действует реакция N = GU%, направленная по нормали к изогнутой оси (рис. 14.2, б). Но в таком случае сама подвижная опора оказывается нагруженной со стороны балки не вертикальной, а наклонной силой iV, и для

Наряду с этим возможен иной анализ, соответствую­ щий рис. 14.2, б, когда мысленно отбрасывается подвиж­ ная опора и вычисляется работа приложенной к б а л к е реакции N. Горизонтальная составляющая реакции Niр работу не совершает, так как горизонтальные перемеще­ ния сечений балки отсутствуют, а вертикальная состав­ ляющая Gl/\ совершит работу, которую следует вычис­ лять с помощью выражения (12.5). При этом, конечно, получится тот же результат (14.4).

Закон, описывающий вертикальное движение конце­ вого груза, следует из выражения для прогиба конца балки

W = Gl(l —|)2/ (BEJ). t

В частности, при равномерном движении подвижной опо­ ры (l = vt)

двусмысленности следовало бы обычные, т. е. несмегцаемые отно­ сительно балки подвижные опоры показывать, как на рис. 14.3, а,

удачно и может вызвать ошибочное представление о возможности выскальзывания ролика при наклонах оси балки (о чем авторы упомянутого руководства, конечно, и не помышляли).

Точное (т. е. основанное на динамическом исследовании) ре­ шение задачи, представленной на рис. 14.2, выходит за рамки всей настоящей части, посвященной только статике механических сис­ тем. Однако читателю, вероятно, будет небезынтересно ознакомить­ ся с таким решением (которое здесь лишь формальпо может вы­ глядеть инородным включением, не будучи им по существу) — именно динамическое исследование позволит установить пределы применимости квазистатического решения.

При отсчете вертикальных перемещений концевого груза w вниз от уровня опор дифферепциалытое уравнение движения гру­ за по вертикали имеет вид

mw -f- cw — mg,

где т = G/g, а с — 3EJ/[lz( l — vt/l)2] — зависящий от положения опоры коэффициент жесткости.

по оси абсцисс отложепы величины vtjl (т. е. 1 — ет), представля­ ющие собой безразмерную абсциссу подвижной опоры.

При а - у 0 из (14.7) (а также из (14.6)) следует

у = е 2х = (1 — vt/l)2,

что полностью соответствует квазистатическому решению (14.5). При а = 0,1 решение не очень сильно отличается от статиче­

ского, но уже носит отчетливо выраженный колебательный харак­ тер. При дальнейшем возрастании параметра а закон движения груза все больше отличается от (14.5), а при а = 2 становится не­ колебательным:

Если скорость перемещения подвижной опоры настолько вели­ ка, что а > 2, то решение (14.7) удобнее записать через гипербо­ лические функции

Монотонность решений при а ^ 2 означает, что за время дви­ жения опоры от левого конца балки к правому груз не успевает совершить ни одного колебания.

Г л а в а 4

СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ КОНСТРУКЦИОННЫМ ТРЕНИЕМ

§ 15. Конструкционное трение: эталонная задача

Хотя упругость и считается обязательным свойством всякой доброкачественной несущей конструкции, но, как известно, идеально упругих конструкций в действитель­ ности нет. В реальных системах упругие несовершенства неизбежны, неизбежен и гистерезис, проявляющийся в условиях переменного нагружения, когда этапы возра­ стания напряжений чередуются с этапами убывания на­ пряжений. Здесь уместно напомнить, что роль, которую играет гистерезис, неоднозначна; наряду со случаями, когда гистерезис в р е д е н (например, в механических измерительных устройствах типа манометров), есть слу­ чаи, когда его следует считать п о л е з н ы м — вспомним, в частности, влияние гистерезисных свойств механиче­ ской системы на демпфирование колебаний.

Причиной гистерезисных эффектов служат^ не только упругие несовершенства материалов, из которых изго­ товлены элементы конструкций. Очень часто еще боль­ шую роль играет конструкционное трение — трение меж­ ду сочлененными элементами, возникающее при малых относительных перемещениях (проскальзывании) элемен­ тов в н о м и н а л ь н о н е п о д в и ж н ы х соединениях*); в этих случаях говорят о конструкционном гистерезисе и соответственно о конструкционном демпфировании ко­ лебаний. В системах с распределенным конструкционным трением, таких как прессовые или заклепочные, распре­ деление сил трения невозможно выяснить без анализа деформаций сочлененных элементов, а эти деформации

*) Мы совершенно не будем касаться вопросов трепня в ки­ нематических парах, т. е. в подвижных соединениях частей машип и механизмов; эти важные вопросы лежат далеко от темы настоя­ щей главы,

в свою очередь зависят от сил трения. Эта тесная вза­ имосвязь и определяет главнейшую особенность таких систем.

полагается недостаточным для того, чтобы вызвать сдвижку всей полосы по основанию, т. е.

где

—предельная сила трения (на единицу длины полосы)1,

Ъи I — ширина и длина полосы, / — коэффициент трения.

Если соотношение (15.1) нарушено, то речь должна идти о трении в подвижном соединении, а этот вопрос выходит за рамки нашей темы.

Итак, считая, что условие (15.1) выполнено, выясним развитие упругих перемещений на трех последователь­ ных этапах квазистатического процесса деформирования.

1.Нагружение: значение параметра а возрастает от нуля до единицы.

2.Разгрузка: значение параметра а убывает от еди­

ницы до нуля.

3. Повторное нагружение: значение параметра а вновь возрастает от нуля до единицы.

Ниже мы увидим, что при многократном циклическом нагружении процесс будет описываться теми же соотно­ шениями, которые определяют этапы 2 и 3.

Прежде всего рассмотрим п е р в ы й этап. Принимая закон Гука для материала полосы и закон Кулона для фрикционных свойств соединения, мы исключаем возмож­ ность того, что где-либо действуют силы трения, отлич­ ные от нуля и в то же время меньшие, чем предельное значение q. Действительно, в деформированной зоне по­ лосы происходит проскальзывание точек полосы по осно­ ванию, и, следовательно, сила трения должна быть рав­ на g, а в той зоне, где полоса не деформируется, нет

инагрузки на полосу, т. е. силы трения отсутствуют.

Впроизвольный момент первого этапа нагружения длина деформированной зоны полосы (зоны проскальзы­

стании нагрузки длина этой зоны будет возрастать и в конце первого этапа окажется равной aimtsx~Pfq.

Отметим, что поскольку длина деформированного участка растет, то обусловленное деформациями переме­ щение начального сечения будет возрастать быстрее, чем растет нагрузка (нелинейная характеристика системы — мягкая). Подкрепим это качественное рассуждение вы­ кладками, которые позволят получить и количественные результаты.

Пусть щ — Ui (х, а) — перемещение произвольного се­ чения в направлении оси я, N=**N(x, а) — продольная

произвольный момент первого этапа относительное удли­ нение элемента, находящегося в деформированной зоне полосы, определяется выражением

(Отметим, что здесь возможен несколько иной, но, ко­ нечно, эквивалентный по результатам вариант рассужде­ ний. Можно было бы не определять размер из урав­ нения равновесия всей полосы, а считать его третьей неизвестной решения; тогда пришлось бы привлечь еще

и третье граничное условие щ {alt а) = 0. Именно так нам придется поступить в § 17 для более сложной за­ дачи, где условие равновесия всей полосы формулирует­ ся сложнее.)

После интегрирования (15.4) и определения посто­ янных получим

a )^ P 2{a -q x/ P )2/(2qEF).

Для дальнейшего нам потребуется вытекающая отсюда зависимость

которая определяет перемещение начального сечения в течение всего первого этапа; она отчетливо обнаруживает ожидаемую нелинейность связи перемещения с на­ грузкой.

Обратимся теперь ко в т о р о м у этапу. Как только сила Р станет уменьшаться, возникнут обратные переме­ щения элементов полосы, расположенных вблизи начала.