книги / Цифровая обработка сигналов

условиям, аналогичные последовательности дискретных значений могут быть получены для следующих частот: 7 + (–1)·6 = 1 кГц, 7 + 1·6 = 13 кГц, 7 + 2·6 = 19 кГц и т.д.

2. Возьмем гармонический сигнал f0 = 4 кГц и выполним его дискретизацию с частотой fs = 6 кГц. Согласно полученным выше условиям, аналогичные последовательности дискретных значений могут быть получены для следующих частот: 4 + (–1)·6 = –2 кГц, 4 + 1·6 = 10 кГц, 4 + 2·6 = 16 кГц и т.д.

Рис. 2.2. Иллюстрация наложения

Иллюстрация наложения для рассмотренных в примере сигналов приведена на рис. 2.2. Для того чтобы определить возможные наложения, необходимо построить на спектральной характеристике

21

равнобедренные треугольники, симметричные относительно частоты fs, и с основанием fs.

2.2. Дискретизация сигналов со спектром, примыкающим к нулю

Рассмотрим, как проявляется эффект наложения для дискретизации сигналов в разных областях частотного спектра. Начнем с дискретизации низкочастотных сигналов, ограниченных спектром шириной B.

На рис. 2.3 проиллюстрировано, при каких условиях имеет место наложение спектров.

Рис. 2.3. Условия наличия и отсутствия наложений

При выполнении условия fs/2 > B (запись теоремы В.А. Котельникова) наложения не будет. Если условие не выполняется (например, fs = 1,5B), то наложение будет, а это приведет к неправильному восстановлению и искажению сигнала.

22

вую дискретизацию нужно проводить с частотой не менее 2·22,5 = = 45 МГц. Мы же выберем для преобразования следующее значение частоты дискретизации: fs = fc – B/2 = 20 – 5/2 = 17,5 МГц. При этом копии спектра дискретизированного сигнала смыкаются в области низких частот на частоте, равной 0 (рис. 2.6). Наложения спектра не произойдет, и дискретизация с такой частотой возможна.

Рис. 2.5. Дискретизация полосового сигнала

Рис. 2.6. Иллюстрация дискретизации полосового сигнала в среде моделирования SciLab [4]

24

При полосовой дискретизации происходит преобразование за счет переноса спектра, поскольку, как было показано выше, дискретизация приводит к размножению спектра. Таким образом, для полосового сигнала с центральной частотой fc и шириной спектра B можно подобрать такую частоту дискретизации fs, чтобы копии спектра исходного сигнала стыковались на частоте, равной 0 (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Пределы частоты при полосовой дискретизации

На рис. 2.7 частотой fs' обозначена максимально возможная частота дискретизации для сигнала с заданными параметрами, а частотой fs'' – минимально возможная частота дискретизации.

При произвольном количестве копий m можно сформулировать условие:

Число m подбирается таким образом, чтобы выполнялось условие теоремы В.А. Котельникова: fs ≥ 2B.

Построим таблицу и занесем в нее результаты расчетов для разных значений m (табл. 2.1).

Проиллюстрируем выбор оптимальной частоты полосовой дискретизации на рис. 2.8.

25

Рис. 2.8. Варианты полосовой дискретизации за счет размножения спектра

Обратите внимание, что не всегда в качестве оптимальной выбирается меньшая (fs'') частота. Иногда выгоднее выбрать максимально возможную частоту fs', а в каких-то случаях – внутри диапа-

26

зона. Например, в цифровой телефонии выбирают частоты, кратные 8 кГц, из-за характеристик диапазона тональной частоты.

Построим на рис. 2.9, 2.10 график зависимости минимально возможной частоты дискретизации fs'', нормированной к ширине

Рис. 2.9. Зависимость нижней границы частоты полосовой дискретизации от характеристик сигнала

Рис. 2.10. Расчет и иллюстрация подбора частоты дискретизации в среде моделирования SciLab

27

спектра B, от переменной R, характеризующей свойства полосового сигнала: R = (fc + B/2) / B (отношение максимальной частоты спектра сигнала к ширине спектра).

Пояснения к графику:

R – параметр, описывающий свойства полосового сигнала; fmin – минимальная частота спектра сигнала;

fmax – максимальная частота спектра сигнала;

B – ширина спектра сигнала, которая определяется так:

B = fmax – fmin;

fc – центральная частота спектра:

fc = fmin + B/2 = fmax – B/2 = (fmax + fmin)/2, R = (fc +B/2)/B fc = B R – B/2 = B (R – 1/2);

fs – частота дискретизации;

m – количество копий спектра в диапазоне [0; fs];

fs – минимальная частота дискретизации при m копиях спектра; fs – максимальная частота дискретизации приm копияхспектра:

fs = (2fc – B)/m = (2BR – B – B)/m = B2(R – 1)/m fs /B = 2(R – 1)/m;

fs = (2fc + B)/(m + 1) = (2BR – B + B)/(m + 1) = B2R/(m + 1) fs /B = 2R/(m + 1).

Из графика, представленного на рис. 2.9, можно заметить, что частота дискретизации не превышает значения 4B и не опускается ниже значения 2B вне зависимости от характеристик сигнала R. Следующий важный вывод – при увеличении центральной частоты уменьшается минимально допустимое значение частоты дискретизации (прямые сувеличением m и R становятся более пологими). Также результаты расчета, сведенные втабл. 2.1, полностью согласуются с графиком.

Очень важно понять, что недостаточно взять частоту дискретизации, просто большую минимально допустимого значения. На рис. 2.11 показаны запрещенные и разрешенные области, ограниченные минимально и максимально допустимыми частотами согласно ранее приведеннымусловиям:

28

Все затененные области относятся к запрещенным значениям, и в них нельзя выбирать частоту дискретизации, иначе произойдет наложение.

Разрешенные зоны на рис. 2.11 формируются в виде угла, образованного зависимостями для fs' и fs'' соответственно и начинающимися в точке с координатами (R, 2).

Рис. 2.11. Области допустимых значений полосовой дискретизации

Для ранее рассмотренных в примере характеристики полосово-

го сигнала (B = 5 МГц, fc = 20 МГц) параметр R = (20 +5/2)/5 = 4,5.

Для такого сигнала имеются три зоны (соответственно m = 1, 2, 3). На рис. 2.12 показан выбор частоты дискретизации для разных m, что соотносится с результатами, занесенными в табл. 2.1.

На практике при выборе частоты дискретизации стараются избегать граничных значений из-за неидеальности и нестабильности параметров элементов канала связи (генераторов, фильтров, преобразователей и т.д). При выборе несколько большего значения часто-

29

ты дискретизации, например за счет увеличения ширины спектра сигнала Bgb > B, образуется защитная полоса, и наложения в ней не искажают полезный сигнал (рис. 2.13).

Рис. 2.12. Иллюстрация выбора частоты дискретизации для сигнала R = 4,5

Рис. 2.13. Полосовая дискретизация при наложениях только в защитных полосах

30