книги / Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке. Статистическая обработка и планирование эксперимента-1

Часто приходится решать задачи, в которых эффекты взаимодействия хоть и малы по сравнению с линейными эффектами, но все же не равны нулю. Поэтому важно рассмотреть вопрос о разрешающей способности дробных реплик, чтобы показать, когда и какие эффекты определяются совместно. Введем понятие генерирующих соотношений, при помощи которых задаются дробные реплики.

Т а б л и ц а 1 0

Например, планирование типа 23–1 может быть представлено двумя разными полурепликами, каждая из которых задается одним из следующих генерирующих соотношений:

x3 x1 x2 , x3 x1 x2 .

Обозначим элементы первого столбца матрицы планирования символом I (все они равны единице). Найдем соотношения, определяющие элементы первого столбца для каждой из полуреплик. Умножая правые и левые части написанных выше соотношений на х3, получим

x32 I x1 x2 x3 , x32 I x1 x2 x3 ,

так как всегда xi2 I .

Определяющим контрастом называются соотношения,

задающие элементы первого столбца. Две рассматриваемые полуреплики будут иметь определяющие контрасты:

I x1 x2 x3 , I x1 x2 x3 .

71

Зная определяющий контраст, можно найти соотношения, задающие совместные оценки. Для этого необходимо помножить независимые переменные х1, х2 и х3 на определяющий контраст. В нашем случае совместные оценки будут задаваться соотношениями

x1 x2 x3 ; x1 x2 x3 ;

В табл. 8 приведена матрица планирования с генерирующим соотношением x3 x1 x2 . Матрица планирования с гене-

рирующим соотношением x3 x1 x2 приведена в табл. 11.

2.6. Свойства матриц полного и дробного факторных экспериментов

Для матриц таких экспериментов характерны следующие свойства.

72

1. Свойства симметричности относительно центра эксперимента – алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора равна нулю:

N

xi, j 0 , j 1

где j – номер опыта; i – номер фактора; N – число опытов в матрице.

2. Свойства нормировки – сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов:

N

xi2, j N.

j1

3.Свойство ортогональности – сумма построчных произведений элементов любых двух столбцов равна нулю:

N

xi, j xl , j 0 , j 1

где i, l – номера факторов, причем i l.

Ортогональность является одним из наиболее важных свойств матрицы. Ортогональность матрицы позволяет оценить все коэффициенты уравнения регрессии независимо друг от друга, т.е. величина любого коэффициента не зависит от того, какие величины имеют другие коэффициенты. Если тот или иной коэффициент регрессии окажется незначимым, то его можно отбросить, не пересчитывая остальные.

4. Свойство ротатабельности точки в матрице планирования подбирают так, что математическая модель, полученная по результатам полного или дробного факторных экспериментов, способна предсказать значения параметра оптимизации с одинаковой точностью в любых направлениях на равных расстояниях от центра эксперимента. Это очень важное свойство матрицы, так как, начиная эксперимент, исследователь не знает, в каком направлении предстоит двигаться в поисках оптимума.

73

2.7. Пример применения метода Бокса–Уилсона

Рассмотрим метод Бокса–Уилсона на примере исследования модифицирования чистого алюминия молибденом. В качестве параметра оптимизации y выбрали число зерен алюминия в 1 см3, определяющееся с помощью металлографических исследований. Изучение научно-технической литературы показало, что на параметр оптимизации существенное влияние оказывают следующие факторы:

х1 – количество введенного в алюминий молибдена, %; х2 – температура перегрева, С; х3 – время нагрева, мин;

х4 – фактор качественный, принимающий два значения: быстрое охлаждение в графитовом тигле и медленное охлаждение в шамотном тигле.

Составим таблицу с выбранными интервалами варьирования и уровнями факторов (табл. 12).

Была реализована полуреплика 24–1. Матрица планирования и результаты опытов приведены в табл. 13. Опыты не дублировали.

Для определения дисперсии параметра оптимизации было проведено три опыта при нахождении факторов на основных уровнях (графитовый тигель). Полученные значения параметра оптимизации yu, его среднее значение yср, отклонения значений

74

параметра оптимизации от его среднего значения (yu yср) и квадрата этих отклонений приведены в табл. 14.

75

Согласно полученной модели параметр оптимизации возрастает с увеличением значений факторов х1 и х2 и уменьшением значений факторов х3 и х4. Наибольшее влияние на параметр оптимизации оказывает фактор х1.

2.8. Обработка результатов эксперимента при отсутствии дублирования опытов

Обработку результатов в этом случае производят по следующей схеме.

1. Для вычисления дисперсии S y2 воспроизводимости экс-

перимента выполняют несколько параллельных опытов в нулевой точке (в центре плана). При постановке опытов в нулевой точке все факторы находятся на нулевых уровнях. По результатам опытов в центре плана вычисляют дисперсию воспроизводимости эксперимента по формуле

n0 yu yср 2

где n0 – число параллельных опытов в нулевой точке; yu – значение параметра оптимизации в u-м опыте; yср – среднее арифметическое значение параметра оптимизации в n0 параллельных опытах.

2. Проверяют статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии. Проверку значимости коэффициентов можно производить двумя способами:

•сравнением абсолютной величины коэффициента с доверительным интервалом;

•с помощью t-критерия.

Среднюю квадратичную ошибку в определении коэффициентов регрессии определяют по формуле (первый способ)

76

опытов в матрице планирования. Из этой формулы следует, что дисперсии всех коэффициентов равны. Доверительный интервал коэффициентов регрессии bi = t S(bi).

Значение t-критерия, входящего в эту формулу, находят по таблице для принятого уровня значимости и числа степеней свободы f, которое определяют по выражению f = n0 1. Коэффициент регрессии значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала.

При 5%-м уровне значимости и числе степеней свободы f = n0 – 1 = 2 табличное значение критерия t = 2,9. Следовательно, bi = 2,059.

Значения t при 5%-м уровне значимости приведены в табл. 15. Все коэффициенты регрессии по абсолютной величине больше доверительного интервала, поэтому их можно признать

статистически значимыми.

Т а б л и ц а 1 5

При проверке значимости коэффициентов вторым способом вычисляют tp-критерий по выражению

b

tp S bi i

77

и сравнивают его с табличным tт. Коэффициент значим, если tp > tт. Критерий Стьюдента t вычисляют для каждого коэффициента регрессии. Статистически незначимые коэффициенты могут быть исключены из уравнения.

3. Определяют дисперсию Sa2 адекватности по формуле

где yj – значение параметра оптимизации в j-м опыте; ycpj – значение параметра оптимизации, вычисленное по модели для условий j-го опыта; f – число степеней свободы, которое для линейной модели определяется по выражению f = N – (k + 1), где k – число факторов.

4. Проверяют гипотезу адекватности модели по F-критерию Фишера, используя формулу

78

Применительно к нашему примеру

Если Fp < Fт для принятого уровня значимости и соответствующих степеней свободы, то модель считают адекватной. При Fp > Fт гипотеза адекватности отвергается. В этом случае для получения адекватной модели принимают одно из следующих решений:

переходят к планированию второго или более высокого порядка;

уменьшают интервалы варьирования и ставят полный эксперимент, повторяя эти действия до получения адекватной линейной модели.

Табличное значение Fт-критерия при 5%-м уровне значимости и числах степеней свободы для числителя 3 и

знаменателя 2 равно 19,2, значит, Fp < Fт. Следовательно, модель адекватна. Полученное уравнение можно использовать для крутого восхождения по поверхности отклика.

Если линейная модель адекватна, то переходят к методу крутого восхождения. Следует помнить, что крутое восхождение эффективно тогда, когда все коэффициенты при факторах значимы. Незначимость некоторых коэффициентов может получиться вследствие неудачно выбранных интервалов варьирования, включения факторов, не влияющих на параметр оптимизации, большой ошибки опыта.

Если принята первая гипотеза, то изменяют интервалы варьирования по незначимым факторам и ставят новую серию опытов. Если принята вторая гипотеза, то невлияющие факторы стабилизируют и исключают из опытов. Если принята третья гипотеза, то увеличивают число параллельных опытов. Увеличение числа этих опытов приводит к уменьшению дисперсии коэффициентов и величины доверительного интервала, в

79

результате все или часть коэффициентов могут оказаться значимыми.

Возможен случай, когда все коэффициенты, кроме b0, незначимы, а модель адекватна. Такая ситуация чаще всего возникает из-за слишком узких интервалов варьирования или вследствие большой ошибки опыта. В этом случае возможны два решения:

расширение интервалов варьирования;

повышение точности эксперимента путем улучшения методики проведения опытов и увеличения числа параллельных опытов.

2.9. Крутое восхождение по поверхности отклика

Если изменять факторы пропорционально их коэффициентам с учетом знака, то движение к оптимуму будет осуществляться по самому крутому пути. Этот процесс движения к области оптимума называют крутым восхождением. Технику расчета крутого восхождения рассмотрим на примере задачи с одним фактором.

Предположим, что кривая 1 (рис. 17) представляет собой неизвестную функцию отклика. В результате реализации плана эксперимента с центром в точке 0 получено уравнение регрессии y = b0 + b1 x1, адекватно описывающее функцию отклика в области значений факторов от –1 до +1. Значение коэффициента регрессии b1 равно тангенсу угла между линией регрессии и осью данного фактора. Если шаг движения по оси x1 принять равным x, то при умножении его на b1 получим координаты x и b1 x точки А, лежащей на градиенте (градиент – это вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины). После второго шага расстояние по оси x1 будет равно 2 x. Умножив 2 x на b1, найдем координаты 2 x и 2b1 x точки В, лежащей на градиенте, и т.д. Затем проводят опыты с условиями, отвечающими точкам на градиенте.

80