книги / Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке. Статистическая обработка и планирование эксперимента-1

тивная роль. Появляется возможность активно воздействовать на процесс исследования, провести планирование опытов таким образом, чтобы получить максимум информации при минимальных затратах. Такие эксперименты принято называть активными.

В настоящее время для различных ситуаций имеется ряд четко сформулированных критериев оптимального планирования, и для них разработаны алгоритмы, пользуясь которыми исследователь может располагать экспериментальные точки в факторном пространстве и производить обработку результатов наблюдений. Основная идея этого метода – возможность оптимального управления экспериментом при неполном знании.

На основе регрессионного анализа получают математическую модель исследуемой системы, которую называют уравнением регрессии. Методы регрессионного анализа позволяют из нескольких различных по виду моделей выбрать наиболее адекватную модель. Регрессионный анализ сводится к определению на основании экспериментальных данных коэффициентов модели (коэффициентов регрессии), оценки значимости этих коэффициентов и степени адекватности модели.

Модель объекта получают, используя результаты опытов. При исследовании многофакторного процесса постановка всех возможных опытов для получения математической модели связана с огромной трудоемкостью эксперимента, так как число всех возможных опытов очень велико. Задача планирования эксперимента состоит в установлении минимально необходимого числа опытов.

Частным случаем является планирование эксперимента по методу Бокса–Уилсона, называемого методом крутого восхождения. Метод Бокса–Уилсона предусматривает проведение опытов небольшими сериями. Опыты проводят так, чтобы после математической обработки результатов предыдущей серии можно было спланировать следующую серию опытов. Результаты эксперимента используют для получения математической мо-

61

дели исследуемого процесса. Математическая модель – система математических соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление. При планировании эксперимента под математической моделью часто понимают уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами. Такое уравнение называют также функцией отклика.

В общем виде функция отклика может быть представлена выражением

= f (x1, x2, ..., xn),

где х1, х2, ..., хn – независимые переменные факторы.

Если функция отклика известна, то оптимальные условия процесса находят аналитически, без постановки эксперимента. Однако чаще приходится решать экстремальные задачи при неполном знании механизма процесса. В этом случае функция отклика неизвестна, и поэтому ограничиваются представлением ее, например, полиномом вида

0 1 x1 2 x2 12 x1 x2 11 x12 ...,

где 0, 1, … коэффициенты регрессии при соответствующих переменных.

По результатам эксперимента можно определить только выборочные коэффициенты регрессии b0, b1, b2, b12, …, которые являются лишь оценками теоретических коэффициентов

регрессии 0, 1, 2, 12, … Уравнение регрессии, полученное по результатам опытов и

представляющее собой лишь выборочную оценку y функции отклика , может быть записано следующим образом:

y b0 b1 x1 b2 x2 b12 x1 x2 b11 x12 ...

Объект исследования. Для определения параметров оптимизации и выбора схемы планирования эксперимента предварительно изучают объект исследования на основе

62

литературных данных и результатов ранее проведенных опытов. При планировании эксперимента к объекту исследования предъявляют следующие требования.

1.Объект исследования должен удовлетворять требованию воспроизводимости. При многократном повторении опытов их результаты имеют разброс значений, который характеризует воспроизводимость результата. Объект исследования удовлетворяет требованию воспроизводимости, если многократно повторенные опыты дают результаты с разбросом значений, не превышающим некоторой заданной величины.

2.Объект должен быть управляемым. На реальный объект действуют как управляемые, так и неуправляемые факторы. Если требование воспроизводимости удовлетворяется, то выявляют возможность проведения активного эксперимента, предусматривающего активное вмешательство в исследуемый процесс и выбор для каждого опыта управляемых факторов на тех уровнях, которые представляют интерес для исследования.

Параметр оптимизации. При планировании эксперимента важно правильно выбрать параметр оптимизации. Движение к оптимуму возможно, если выбран один параметр оптимизации,

адругие выступают в качестве ограничений. Возможно также построение обобщенного параметра как функции от множества исходных параметров. Параметр оптимизации должен быть количественным, доступным для измерения и выражаться одним числом. Если измерение параметра невозможно, то пользуются ранговой оценкой. Ранг – это оценка параметра оптимизации по заранее выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной и т.д. Ранговый параметр имеет ограниченную дискретную область определения. В простейшем случае область содержит два значения: да – нет; хорошо – плохо; брак – годные детали и т.д. При прочих равных условиях предпочтение следует отдавать количественному измерению, так как ранговая оценка носит субъективный характер.

63

Параметр оптимизации должен быть:

однозначным в статистическом смысле, т.е. заданному сочетанию факторов должно соответствовать одно значение параметра оптимизации (с точностью до ошибки эксперимента);

эффективным в статистическом смысле, т.е. определяться

снаибольшей точностью, что позволяет сократить до минимума число параллельных опытов;

существовать для всех состояний исследуемого объекта;

иметь физический смысл.

Параметры оптимизации могут быть экономическими, тех- нико-экономическими, технико-технологическими и др. К тех- нико-технологическим параметрам относятся механические, физические, физико-химические и некоторые другие характеристики изделия.

Факторы. Фактором называют независимую переменную величину, влияющую на параметр оптимизации. Каждый фактор имеет область определения совокупность всех значений, которые может принимать фактор. При исследовании процесса необходимо учитывать все существенные факторы. Если по каким-либо причинам влияние некоторых факторов невозможно учесть в эксперименте, то эти факторы должны быть стабилизированы на определенных уровнях в течение всего эксперимента. Уровнями называют значения факторов в эксперименте. Если число факторов велико, то необходимо отсеять те факторы, которые оказывают незначительное влияние на параметр оптимизации. Отсеивание несущественных факторов производят на основе опыта или с помощью постановки отсеивающих экспериментов.

Факторы должны быть:

управляемыми, т.е. позволять экспериментатору устанавливать требуемые значения факторов и поддерживать их постоянными в течение опыта;

64

непосредственно воздействующими на объект исследования, так как трудно управлять фактором, который является функцией других факторов;

совместимыми, т.е. все комбинации уровней факторов должны быть осуществимы и безопасны;

независимыми, т.е. позволять экспериментатору устанавливать требуемые уровни любого фактора независимо от уровней других факторов.

Модель. Под математической моделью понимают функцию отклика вида

y = f (x1, x2, x3, ..., xk).

Экстремальные задачи часто решают, используя шаговый метод. В этом случае модель должна удовлетворять требованиям этого метода. В основе шагового метода лежит предположение, что совокупность значений параметра оптимизации y, полученная при различных сочетаниях значений факторов хi, образует поверхность отклика. Для наглядности представления поверхности отклика при наличии рассмотрим простейший случай, при котором число факторов равно двум (x1 и x2). Для каждого фактора установлены два значения: максимальное и минимальное. Между этими значениями каждый фактор может изменяться непрерывно или дискретно. Границы значений факторов образуют на плоскости х1 х2 прямоугольник, внутри которого лежат возможные значения факторов. Если по оси y откладывать значения yi, полученные при различных сочетаниях значений факторов, то точки yi будут лежать на поверхности отклика. На этой поверхности будет находиться и точка, соответствующая оптимальному значению y. Для нахождения этой точки необходимо шаг за шагом двигаться по поверхности отклика.

Исходя из сущности этого метода к модели предъявляется главное требование, заключающееся в способности модели предсказывать направление дальнейших опытов с требуемой

65

точностью. Это означает, что предсказанные по модели значения отклика должны отличаться от фактических не более чем на некоторую наперед заданную величину. Модель, удовлетворяющую этому требованию, называют адекватной. Если имеется несколько моделей, удовлетворяющих указанному требованию, то из них выбирается наиболее простая. Наиболее простой моделью является полином. Полином может быть первой, второй и более высокой степени. Коэффициенты полинома вычисляют по результатам опытов.

2.3. Полный факторный эксперимент

Решение задач оптимизации начинают с выбора области эксперимента. При этом устанавливают основные уровни и интервалы варьирования факторов. Основным или нулевым уровнем фактора называют его значение, принятое за исходное в плане эксперимента. Основные уровни выбирают таким образом, чтобы их сочетание отвечало значению параметра оптимизации, по возможности более близкому к оптимальному. Сочетание основных уровней факторов принимают за исходную точку для построения плана эксперимента. Построение плана эксперимента состоит в выборе экспериментальных точек, симметричных относительно исходной точки (центра плана).

Интервалом варьирования называют число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень фактора, а вычитание – нижний. Интервал варьирования не может быть выбран меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора. Увеличение интервала варьирования затрудняет возможность линейной аппроксимации функции отклика.

Для удобства записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных уровни факторов кодируют. В кодированном виде верхний уровень обозначают +1, нижний –1, основной – 0.

66

где xi – натуральное значение i-го фактора; xi0 – натуральное

значение основного уровня i-го фактора; i – интервал варьирования i-го фактора.

При кодировании качественных факторов, имеющих два уровня, верхний уровень обозначается +1, а нижний –1. Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом. Если число уровней каждого фактора m, а число факторов k, то число N всех сочетаний уровней факторов, а следовательно, и число опытов в полном факторном эксперименте определяется выражением N = mk.

Цель первого этапа планирования эксперимента это решение интерполяционной задачи с получением линейной модели. Он предусматривает планирование факторов на двух уровнях. Возможное количество сочетаний уровней факторов в этом случае равно 2k.

Факторный эксперимент осуществляют с помощью матрицы планирования, в которой используют кодированные значения факторов. Так, например, для двух факторов полный факторный эксперимент типа 2k можно представить матрицей

(табл. 7).

67

Для упрощения записи условий эксперимента в матрице планирования вместо +1 пишут только +, а вместо –1 пишут только –. Значения функции отклика, полученные при выполнении опытов, обозначены через y1, y2, y3 и y4.

Линейным называется эффект, характеризующий линейную зависимость параметра оптимизации от соответствующего фактора. Эффектом взаимодействия называют эффект, характеризующий совместное влияние нескольких факторов на параметр оптимизации. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценить линейные эффекты и все эффекты взаимодействия. Для полного факторного эксперимента типа 22 уравнение регрессии с учетом эффектов взаимодействия можно представить выражением

y b0 b1 x1 b2 x2 b12 x1 x2 .

Для этого эксперимента матрица планирования приведена в табл. 8.

Т а б л и ц а 8

2.4. Матрицы планирования при большом числе факторов

При k = 2 построение матриц полного факторного эксперимента не вызывает затруднений, так как все возможные сочетания уровней факторов легко найти простым перебором. При увеличении числа факторов количество возможных

68

сочетаний уровней быстро возрастает, поэтому возникает необходимость в некоторых приемах построения матриц.

Первый прием основан на правиле чередования знаков. В первом столбце (х1) знаки чередуются через 1, во втором – через 2, в третьем – через 4, в четвертом – через 8 и т.д. по степеням двойки (табл. 9).

Т а б л и ц а 9

Второй прием заполнения матрицы планирования основан на последовательном достраивании матрицы. Для этого при добавлении нового фактора необходимо повторить комбинации уровней исходного плана сначала при значении нового фактора на верхнем уровне, а затем на нижнем.

69

2.5. Дробный факторный эксперимент

При большом числе факторов (k > 3) проведение полного факторного эксперимента связано с большим числом опытов, значительно превосходящим число коэффициентов линейной модели. Если при получении модели можно ограничиться линейным приближением, т.е. получить адекватную модель в виде полинома

y b0 b1 x1 b2 x2 ... bn xn ,

то число опытов можно резко сократить в результате использования дробного факторного эксперимента.

Так, например, в полном факторном эксперименте типа 22 при линейном приближении коэффициент регрессии b12 можно принять равным 0, а столбец х1 х2 матрицы использовать для третьего фактора. В этом случае линейная модель будет выражаться уравнением

y b0 b1 x1 b2 x2 b3 x3 .

Для определения коэффициентов этого уравнения достаточно провести четыре опыта вместо восьми в полном факторном эксперименте типа 23. План эксперимента, предусматривающий реализацию половины опытов полного факторного эксперимента, называют полурепликой. При увеличении числа факторов (k > 3) возможно применение реплик большей дробности. Дробной репликой называют план эксперимента, являющийся частью плана полного факторного эксперимента. Дробные реплики обозначают выражением 2 k–p, где р – число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия. При р = 1 получают полуреплику, при р = 2 получают 1/4 реплики и т.д. по степеням двойки. Матрица планирования полуреплики при трехфакторном эксперименте приведена в табл. 10.

70