книги / Физика для бакалавра. Ч. 1-1

жение Земли, обладающей избыточным отрицательным зарядом, по орбите можно рассматривать как конвекционный ток.

16.1. Сила и плотность тока. Закон Ома в дифференциальной форме

Электрический ток. В этой главе мы ограничимся рассмотрением тока проводимости в проводящей среде, главным образом в металлах. Электрический ток, как известно, представляет собой перенос заряда через ту или иную поверхность S (например, через сечение проводника).

Носителями тока в проводящей среде могут быть электроны (в металлах), ионы (в электролитах) либо другие частицы. При отсутствии электрического поля носители тока совершают хаотическое движение, и через любую воображаемую поверхность S проходит в обе стороны в среднем одинаковое число носителей того и другого знака, так что ток через поверхность S равен нулю. При включении же электрического поля на хаотическое движение носителей накладывается упорядоченное движение с некоторой средней скоростью u и через поверхность S появится ток. Таким образом, электрический ток – это, по существу, упорядоченный перенос электрических зарядов.

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I, т.е. заряд, переносимый сквозь рассматриваемую поверхность S в единицу времени:

I ddqt .

За единицу измерения силы тока в СИ принимается ампер (А), который определяется на основании электромагнитного взаимодействия двух параллельных прямолинейных постоянных токов. Ампер равен силе тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызывает на

281

участкепроводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную2∙10–7

Н. Ампер – основная единица в СИ.

Плотность тока. Электрический ток может быть распределен по поверхности, через которую он протекает, неравномерно. Поэтому для более детальной характеристики тока вводят век-

тор плотности тока j. Модуль этого вектора численно равен

отношению силы тока dI через элементарную площадку, расположенную в данной точке перпендикулярно направлению движения

носителей, к ее площади dS : j dI . За направление вектора j dS

принимают направление вектора скорости u упорядоченного движения положительных носителей (или направление, противоположное направлению вектора скорости упорядоченного движения отрицательных носителей). Если носителями являются как положительные, так и отрицательные заряды, то плотность тока определяется формулой

где ρ+ и ρ– – объемные плотности положительного и отрицательного зарядов – носителей; u u – скорости их упорядоченного движения. В проводниках же, где носителями являются только электроны (ρ– < 0 и u 0), плотность тока

j u . (16.2)

Поле вектора j можно изобразить графически с помощью линий тока (линий вектора j ), которые проводят так же, как и линии вектора E.

Сила тока I является величиной скалярной и алгебраической. Ее знак, как видно из формулы (16.3), определяется, кроме всего прочего, выбором направления нормали в каждой точке

поверхности S, т.е. выбором направления векторов dS. При из-

менении направления всех векторов dS на противоположное величина I меняет знак.

Уравнение непрерывности. Представим себе в некоторой проводящей среде, где течет ток, замкнутую поверхность S. Для замкнутых поверхностей векторы нормалей, а следовательно,

и векторы dS принято брать наружу, поэтому интеграл jdS

дает заряд, выходящий в единицу времени наружу из объема V, охватываемого поверхностью S. В силу закона сохранения заряда этот интеграл равен убыли заряда в единицу времени внутри объема V:

Это соотношение называют уравнением непрерывности.

Оно является, по существу, выражением закона сохранения электрического заряда.

В случае стационарного (постоянного) тока распределение зарядов в пространстве должно оставаться неизменным, т.е. в правой части (16.4) dq/dt = 0. Следовательно, для постоянного тока

иначе говоря, линии вектора j в этом случае нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Мы говорим, что в случае постоянного тока поле вектора j не имеет источников.

Электронная теория проводимости проводников была подтверждена опытами Т. Стюарта и Р. Толмена (1917 г.). Предположим, что на участке АВ проводника (рис. 16.1) имеется внеш-

283

нее электрическое поле, характеризуемое вектором Е. Потенциалы различных поперечных сечений проводника различны: потенциал для сечения А – 1, сечения В – 2.

Рис. 16.1

Под влиянием поля свободные электроны металла приобретают направленное движение со средней скоростью < v >. Значение средней направленной скорости найдем, рассмотрев электрон, находящийся в однородном электрическом поле,

напряженность которого Е. На электрон действует со стороны поля сила F, равная F e E. Под действием этой силы электрон движется равноускоренно с ускорением

a mF eEm ,

где m – масса одного электрона.

Электроны между двумя соседними соударениями проходят в среднем путь < > (средняя длина свободного пробега), затрачивая на это время t = /u, где u – средняя скорость хаотического движения. Предположим, что при соударениях с узлами кристаллической решетки электроны полностью теряют скорость упорядоченного движения, которую они приобретают под действием внешнего электрического поля за время t свободного пробега. Тогда скорость электрона изменяется от нуля до максимального значения:

vmax at a u .

284

Средняя скорость упорядоченного движения электрона между двумя соударениями

Если в единице объема проводника находится n0 электронов, то числовое значение плотности тока выразится формулой

характеризующую свойства проводника, называют удельной электрической проводимостью (электропроводностью), а об-

ратную величину

удельным электрическим сопротивлением проводника. Следовательно,

Формулы (16.11) и (16.12) выражают закон Ома для плот-

ности тока (закон Ома в дифференциальной форме): плотность тока j в каждой точке внутри проводника равна произведению удельной проводимости проводника на напряженность электрического поля в этой точке.

16.2.Закон Джоуля–Ленца

вдифференциальной и интегральной формах

Рассмотрим превращение энергии, происходящее при соударении электронов проводимости с узлами кристаллической решетки. В конце свободного пробега каждый электрон теряет скорость упорядоченного движения, приобретенную им под действием электрического поля за время свободного пробега. При этом энергия упорядоченного движения электронов преобразуется во внутреннюю энергию проводника, нагревающегося в процессе прохождения по нему электрического тока. Средняя энергия, приобретаемая одним электроном под действием поля на длине свободного пробега и преобразующаяся во внутреннюю энергию при столкновении электрона с ионом металла,

В единице объема проводника n0 электронов проводимости, каждый из которых испытывает в единицу времени в среднем u/< > столкновений с ионами – узлами кристаллической решетки. Следовательно, энергия тока, превращающаяся во внутреннюю энергию, в единице объема проводника за единицу времени, будет следующей:

286

Заменяя < vmax > по формуле (16.6), получаем

Выражение, стоящее перед E2, представляет собой удельную электрическую проводимость (см. формулу (16.8)). Следовательно,

Величину называют объемной плотностью тепловой мощности тока. Формула (16.14) называется законом Джоуля– Ленца в дифференциальной форме: объемная плотность тепловой мощности тока в проводнике равна произведению его удельной электрической проводимости на квадрат напряженности электрического поля.

Как указывалось ранее при обсуждении основных положений электронной теории электропроводности металлов, энергия упорядоченного движения заряженных частиц, создающих постоянный ток, в результате столкновений с ионами кристаллической решетки проводника преобразуется в энергию беспорядочных тепловых колебаний ионов. Следствием этого обмена является нагрев проводников, несущих электрический ток.

Если нагревание – единственный результат протекания тока, то используя выражение (16.17) для объемной плотности тепловой мощности, можно определить количество теплоты Q, выделяющейся при этом в проводнике:

где V – объем проводника; t – время протекания тока по проводнику.

Так как объем равен произведению длины проводника на площадь поперечного сечения: V = Sl, a E = j (см. формулу

(16.13)), то

287

где jS = I, a El = U в случае однородного поля. Соответствующее этой энергии количество теплоты, выделяющейся в проводнике,

Формула (16.16) выражает закон Джоуля–Ленца, полученный ими экспериментально независимо друг от друга: количество теплоты, выделяемой током в проводнике, пропорционально силе тока, времени его прохождения и напряжению.

16.3.Электродвижущая сила источника тока

Кхарактеристикам электрической цепи относятся: ε – электродвижущая сила (ЭДС),

U – напряжение, R – сопротивление,

ρ – удельное сопротивление, γ – удельная электропроводность.

Электродвижущая сила ε – основная характеристика

электрической цепи. Если на концах проводника (рис. 16.2, а, участок 1-2) создать разность потенциалов ( 1 > 2), то под действием электрического поля в проводнике перемещение носителей заряд приведет к тому, что поле внутри проводника исчезнет и, следовательно, ток прекратится. Для того чтобы поддерживать ток длительное время, нужно от конца проводника с меньшим потенциалом 2 непрерывно отводить приносимые сюда током положительные заряды, а к концу с большим потенциалом 1 непрерывно их подводить. Иными словами, необходимо осуществить круговорот зарядов, при котором они двигались бы по замкнутому пути (см. рис. 16.2, а, контур 1-2-3-4-1 ). Это возможно только в том случае, если наряду с участками, на которых положительные заряды движутся в сторону убывания (участок 1-2), есть участки, на которых перенос положительных

288

зарядов происходит в направлении возрастания (например, на участке 3-4).

Силы электростатического поля сделать этого не могут, так как они направлены в сторону убывания потенциала (противоположно направлению электрического поля внутри проводника). Следовательно, такую работу могут совершать только силы неэлектрического происхождения, называемые сторонними силами. Природа сторонних сил может быть различной. В генераторе постоянного тока это силы, возникающие за счет энергии магнитного поля и механической энергии вращения якоря, в аккумуляторах и гальванических элементах – за счет энергии химических реакций, в полупроводниковом фотоэлементе (солнечные батареи) – за счет электромагнитной энергии света и т.д. Именно сторонние силы источника перемещают положительные заряды от меньшего потенциала 2 (–) к большему – 1 (+) и поддерживают постоянную разность потенциалов.

Рис. 16.2

Практически указанную работу выполняют источники сторонних сил, называемые источниками тока и включаемые

вцепь (рис. 16.2, б, участок 3-4). Если источник не включен

вэлектрическую цепь (цепь разомкнута) (рис. 16.3), то разность

ское поле уравновешивается сторонними силами. При этом работа электрического поля при переносе единичного положительного заряда с положительного полюса на отрицательный будет равна и противоположна по знаку работе сторонних сил.

Величину работы, которую затрачивают сторонние силы на перемещение единичного положительного заряда с клеммы «–» на клемму «+» внутри источника, называют электродвижущей силой источника (ЭДС).

Напряжение. ЭДС источника в случае разомкнутого источника совпадает по модулю с разностью потенциалов на его клеммах (см. рис. 16.3)

Если к источнику тока подсоединить внешний участок цепи (рис. 16.4, а), то в замкнутой цепи установится постоянный электрический ток. При этом энергия источника тока затрачивается на перемещение +1 заряда не только внутри источника, но и во внешней цепи. Таким образом, напряжение на клеммах источника падает на величину работы, совершаемой источником во внешней цепи. В соответствии с этим ЭДС – величина, изме-

ряемая работой по перенесению единицы положительного заряда по всей замкнутой цепи:

Рис. 16.4

290