книги / Теория функций комплексной переменной

§3 ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ 81

При этом точка z —z\ попадает внутрь последнего круга, тем самым f(zi) = 0. Поскольку z\ — произвольная точка области G, отсюда следует, что f(z) = 0 в Q.

Доказанная теорема имеет ряд важных следствий. Следствие 1 . Функция f(z) ф 0, аналитическая в области

G, в любой замкнутой ограниченной подобласти G' области Q имеет лишь конечное число нулей. __

Если множество нулей функции f(z) в области Q' бесконечно, то по теореме 1.2 из него можно выделить сходящуюся после­ довательность {zn} —> а, причем предел а этой последователь­

ности принадлежит Q'. Отсюда f(z) = 0 в G, что противоречит условию.

Следствие 2 . Если точка ZQ Е G является нулем беско­ нечного порядка1) функции f(z) (т. е. в разложении f(z) =

СЮ

= — ^о)п в окрестности точки ZQвсе коэффициенты Сп= 0),

п=0

то f(z) = 0 в области Q.

Следствие 3. Аналитическая функция может иметь беско­ нечное число нулей лишь в открытой или неограниченной обла­ сти.

Функция комплексной переменной, аналитическая на всей комплексной плоскости (z ф оо), называется целой функцией. Из предыдущих рассмотрений следует, что целая функция в любой ограниченной части комплексной плоскости имеет лишь конечное число нулей. Следовательно, все нули целой функции можно перенумеровать в каком-либо порядке, например в по­ рядке возрастания их абсолютных величин. На полной плоско­ сти целая функция может иметь лишь счетное множество ну­ лей, причем предельной точкой этого множества является бес­ конечно удаленная точка комплексной плоскости. Целые функ­ ции играют важную роль как в теории функций комплексной переменной, так и в ее приложениях.

Теорема 2 .8 . Пусть функции f(z) и <p{z) являются ана­ литическими в области Q. Если в Q существует сходящаяся к некоторой точке a G Q последовательность различных то­ чек j>n}, б которых значения функций f(z) и tp\z) совпадают, то f(z)=ip(z) в Q.

Для доказательства теоремы достаточно с помощью теоремы 2.7 установить, что функция ф(г) = f(z) —<p(z) = 0 в Q.

Теорема 2.8 имеет чрезвычайно большое значение, поскольку она означает, что в данной области Qможет существовать лишь единственная аналитическая функция, принимающая заданные

г) Очевидно, при этом и сама функция f(z) и все ее производные в точке ZQ равны нулю.

ной особую роль играют показательная функция ех и тригоно­ метрические функции sinгс и cos ж. Как известно *), эти функции могут быть заданы своими разложениями в ряды Тейлора:

оо

(3.1)

соответственно совпадают.

Как следует из теоремы Абеля, областью сходимости рядов (3.4)-(3.6) является вся плоскость комплексной переменной, т. е. эти ряды представляют собой целые функции комплексной пе­ ременной z, являющиеся аналитическим продолжением на всю комплексную плоскость элементарных функций действительной переменной ех, sin ж и cos ж. Для введенных функций естествен­ но сохранить прежние обозначения. Положим

ОО

1) Определение и основные свойства этих функций действительной пере­ менной см. вып. 1.

§ 1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 85

С помощью функции ez построим гиперболические функции комплексной переменной:

В силу общих свойств аналогических функций эти функции так­ же являются целыми.

Аналогичным образом с помощью основных тригонометри­ ческих функций sinz и cos z путем формального переноса в ком­ плексную область соответствующих определений могут быть по­

строены и остальные тригонометрические функции: tgz =

cosec z = —^ и т. д. Эти функции уже не являются целыми, по­

скольку их аналитичность нарушается в тех точках плоскости z, где знаменатели определяющих их выражений обращаются в нуль.

Как будет показано ниже, для всех построенных функций комплексной переменной сохраняются многие основные свой­ ства соответствующих элементарных функций действительной переменной. Это будет установлено на основании некоторых об­ щих положений, а сейчас мы построим продолжение на ком­ плексную область еще двух элементарных функций. Рассмотрим следующие степенные ряды:

Как известно, первый ряд1) сходится в интервале 0 < х < 2, а второй — в интервале —1 < х < 1 к функциям действительной переменной Inа; и arcsin х соответственно. Как легко установить, степенные ряды

: ) См. вып. 1, где приведено разложение In(1 + у), замена у = х —1 дает (3.12).

§ 1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 87

ство позволяет называть функцию действительной переменной /(ж), представимую рядом (3.16), аналитической функцией. На­

помним1), что функция действительной переменной, предста­ вимая на отрезке [а, 6] степенным рядом (3.16), имеет на этом отрезке производные всех порядков. Очевидно, аналитическим

водная /(»>(*).

2. Продолжение соотношений. Перейдем к рассмо­ трению дальнейших следствий из теоремы о единственности определения аналитической функции. Эта теорема позволяет

не только строить аналитические продолжения элементарных функций действительной переменной, но и аналитически про­ должать в комплексную область соотношения, имеющие место между соответствующими функциями действительной перемен­ ной. В качестве типичных примеров рассмотрим, во-первых, со­ отношения вида

Соотношения (3.17) и (3.18) устанавливают связь между раз­ личными функциями одной действительной переменной; в соот­ ношения (3.19) и (3.20) входят функции нескольких перемен­ ных. Это одни из основных соотношений для элементарных функций действительных переменных. Естественно поставить вопрос: останутся ли они справедливыми для аналитических продолжений элементарных функций в комплексную область?

Установим, что тождество (3.17) остается справедливым и в комплексной области. Для этого рассмотрим функцию

F(z) = sin2 z + cos2 z — 1

комплексной переменной z. Согласно общим свойствам аналити­ ческих функций (см. гл. 1, с. 36) F(z) является целой функцией z, причем для действительных значений z = х (в силу (3.17)) F(x) = 0. Отсюда по теореме единственности мы и получим, что на всей комплексной плоскости z выполняется соотношение

Подобные же рассмотрения могут быть проведены и для дока­ зательства справедливости в комплексной области выражения

*) См. вып. 2.

(3.18) и других соотношений, связывающих различные аналити­ ческие функции одной комплексной переменной. Однако нет ну­ жды каждый раз проводить специальное исследование, а можно сформулировать общую теорему.

Пусть дана функция F[wi, ..., wn] комплексных переменных

... ,т%, аналитическая по каждой переменнойl) Wi Е Di и та-

dF

кая, что она сама и ее частые производные ------- непрерывны по

OW i

совокупности переменных w i,... ,wn. Обладающую указанными свойствами функцию F[wi, ... ,гип] будем называть аналитиче­ ской функцией многих комплексных переменных. Пусть даны п функций /г(г),..., /п(г) комплексной переменной z, определен­ ные в области Qкомплексной плоскости z, причем fi(z) Е D{.

Будем говорить, что функции fi(z) удовлетворяют соотно­ шению F[fi(z)}... ,/ n(z)] = 0 на множестве М , если это соот­ ношение удовлетворяется во всех точках z Е М. В дальнейшем будем рассматривать соотношения, задаваемые только аналити­ ческими функциями многих комплексных переменных. Имеет

место

Теорема 3 .1. Если функции fo(z) являются аналитически­ ми функциями z в области G, содержащей отрезок [а, Ь| дей­ ствительной оси х, то из соотношения F[f\(x), .. . , / п(х)] = О при а ^ х следует соотношение F[fi(z), ... , /n(z)] = 0 при ztQ .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для доказательства теоремы до­ статочно показать, что при сформулированных условиях функ­ ция Ф(г) = F[fi(z), ..., fn{z)] является аналитической функ­ цией комплексной переменной z в области Q. Доказательство проведем для случая двух переменных Wi, т.е. когда Ф(г) = = F\fi[z)tf2 {z)\- Фиксируем в области Q произвольную точку zo Е Qи обозначаем fi(zo) = tuj и / 2(^0) = ^2- Составим выра­ жение

Ф(го + A z) - Ф(^о) = F[wi + A i y i , + Аги2] - F[w\,гу®]» (3-22) где Awi, AW2 суть приращения функций fi(z) и / 2(2 ), соответ-

1) Назовем функцию многих комплексных переменных F(zi, ... ,zn), определенную для значений z, 6 Di, аналитической функцией каждой из своих переменных Zi (t = 1, 2,..., m; т ^ п), если при любом i — 1, 2,..., т соответствующая функция Ф,(г*) = F(zi, ..., zf_ 1, zt-, zf+1,..., z°) одной комплексной переменной Zi, получающаяся при произвольных фиксирован­ ных значениях остальных переменных Zj = Zj (j ф г), является аналитиче­ ской функцией данной переменной. Производные функции Ф,(г,) по соот­ ветствующим переменным будем называть частными производными функ-

(JZ%

Подробнее см. Приложение 3.