книги / Теория функций комплексной переменной

(Re z > 0, Im z > 0) на правую половину ОА\АчО' прямоуголь­ ника (рис. 6.15), при котором положительная часть мнимой оси плоскости z перешла в отрезок 00'. Тогда на основании прин­ ципа симметрии (см. с. 166) функция, являющаяся аналитиче­ ским продолжением fi(z) в область (Re z < 0, Im z > 0), осу­ ществляет конформное отображение данной области на левую часть исходного прямоугольника. При этом в вершины А\ и переходят соответственно симметричные точки действительной оси z. То же имеет место для вершин Ач и A 3. Поэтому можем установить следующее соответствие точек:

Соотношения (6.73), (6.74) устанавливают соответствие трех граничных точек. Поэтому произвольно задать точку ач на дей­ ствительной оси z, переходящую в вершину Ач прямоугольни­ ка, уже нельзя. Положим, что в вершину Ач переходит точка ач

действительной оси z, имеющая координату р значение которой

будет определено в дальнейшем. Очевидно, 0 < к < 1 .

Итак, функция, осуществляющая конформное отображение верхней полуплоскости на заданный прямоугольник, может быть представлена в виде

Остается определить постоянные С и А; из соответствия точек а\ и ач действительной оси z вершинам А\ и А4. Отметим, что ин­ теграл (6.76) не выражается в элементарных функциях. Это так

называемый эллиптический интеграл х) I рода}который обычно

*) См. вып. 1.

Г Л А В А 7

ПРИМ ЕНЕНИЕ АН АЛ И ТИ Ч ЕСК И Х ФУНКЦИЙ

К РЕШ ЕНИЮ КРАЕВЫ Х ЗАДАЧ

Методы теории функций комплексной переменной весьма широко и эффективно применяются для решения большого чис­ ла математических задач, возникающих в различных областях естествознания. В частности, применение аналитических функ­ ций дает во многих случаях достаточно простые способы реше­ ния краевых задач для уравнения Лапласа, к которым приво­ дятся различные задачи гидро- и аэродинамики, теории упруго­ сти, электростатики и т.д. Это определяется тесной связью, су­ ществующей между аналитическими функциями комплексной переменной и гармоническими функциями двух действительных переменных. В настоящей главе мы остановимся на некоторых общих вопросах применения аналитических функций к реше­ нию краевых задач для уравнения Лапласа и приведем ряд при­ меров решения физических и механических задач.

§1. Общие положения

1.Связь аналитических и гармонических функций.

Пусть в области Q комплексной плоскости z задана аналити­ ческая функция f(z) = и(х7у) 4- iv(x,y). Тогда всюду в этой

области функции и и v связаны условиями Коши-Римана:

Так как аналитическая функция имеет в области Qпроизводные всех порядков, то и действительные функции и(х,у) и v(x,y) имеют в соответствующей области плоскости ху частные произ­ водные любого порядка. Это позволяет дифференцировать вы­ ражения (7.1) по переменным х, у любое число раз. Продиф­ ференцировав первое из равенств (7.1) по х, второе — по у и

7 А.Г. Свеш ников, А .Н . Тихонов

Аналогично продифференцировав первое из равенств (7.1) по у, второе — по х и вычтя одно из другого, получим

(7.3)

откуда следует, что функции и(х,у) и v(x, у) являются гармони­ ческими в данной области плоскости ху. Итак, действительная и мнимая части функции f(z), аналитической в области G, яв­ ляются гармоническими функциями в соответствующей области плоскости ху. При этом данные гармонические функции связа­ ны условиями (7.1). С другой стороны, если в области Qплоско­ сти ху заданы две гармонические функции w(rc, у) и v(x, у), удов­

летворяющие в этой области условиям (7.1), то функция f(z) = = и(х, у) + iv(x, у) комплексной переменной z = x + iy является аналитической в соответствующей области плоскости z. Тем са­ мым необходимым и достаточным условием аналитичности функции f(z) = и(х,у) +iv(x,y) в области Q является тре­ бование, чтобы функции и(х,у) и v(x,y) были гармоническими и удовлетворяли условиям (7.1) в соответствующей области плоскости ху. В гл. 1 (см. с. 37) было показано, что заданием лишь одной действительной (или одной мнимой) части анали­ тической функции комплексной переменной последняя опреде­ ляется с точностью до постоянного слагаемого. Отсюда следу­ ет, что все аналитические функции комплексной переменной, для которых заданная гармоническая функция двух действи­ тельных переменных является действительной (или мнимой) ча­ стью, различаются только на аддитивную постоянную.

Установленная связь между аналитическими и гармониче­ скими функциями позволяет использовать для изучения раз­ личных свойств гармонических функций свойства аналитиче­ ских функций. Так, например, из формулы среднего значения аналитической функции (см. гл. 1 , с. 52) непосредственно полу­ чается формула среднего значения для гармонической функции

(7.4)

•О

где точка жо>2/о является центром круга CRQ радиуса RQ, цели­ ком лежащего в области гармоничности функции и(х,у).

2 . Сохранение оператора Л апласа при конф ормном отображении. Пусть в области Qплоскости ху задана гармо­ ническая функция и(х,у)-, т. е.

(7.5)

§1 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 195

С помощью невырожденного преобразования независимых пе­ ременных

отобразим область Qплоскости ху на новую область Qплоскости £г). Заметим, что задание двух действительных функций (7 .6), двух действительных переменных я, у, эквивалентно заданию в области Q комплексной плоскости z одной функции £ = f(z) = = £(я, т/) + г‘77(я, У) комплексной переменной z — я + гу. При этом функция f(z) осуществляет отображение области Qкомп­ лексной плоскости z на область Q1 комплексной плоскости £. В силу условия (7.7) уравнения (7.6) однозначно разрешимы отно­ сительно старых переменных, и тем самым в области Q\ плоско­ сти £77 определена функция U(£, у) = м[я(£, ту), ?/(£, 77)]. Выясним, при каких условиях на преобразование (7.6) функция Н(£, 77) бу­ дет гармонической функцией переменных £, 77. Предполагая, что функции (7.6) дважды непрерывно дифференцируемы в области Q, выразим частные производные второго порядка от функции

Подставив эти выражения в (7.5), получим следующее уравне­ ние для функции £/(£,77):

Для того чтобы это уравнение было уравнением Лапласа, долж­ ны выполняться следующие соотношения:

Соотношения (7.10) означают, что функции £(я, у) и 77(я,у) должны быть гармоническими в области Q. Перепишем (7.11) в виде

Рассмотрим основную идею этого метода на примере решения задачи Дирихле.

Пусть требуется найти функцию u(x,z), удовлетворяю­ щую уравнению Лапласа

где а{Р) - заданная непрерывная функция точки Р контура Г.

Как известно1), решение этой задачи методом разделения пере­ менных может быть получено лишь для ограниченного класса областей Q с достаточно простой границей Г.

Метод конформных преобразований дает достаточно универ­ сальный алгоритм решения задачи Дирихле для плоских обла­ стей. Начнем с решения задачи Дирихле для круга радиуса а. Введем полярную систему координат г,(р с началом в центре круга. Тогда функция а(Р) будет функцией лишь переменной <р. Постараемся выразить значение неизвестной функции u(r,ip) в произвольной внутренней точке (го, <ро) круга через ее гранич­ ные значения а(ср). Для этого построим конформное отображе­ ние заданного круга на единичный круг |гу| < 1 плоскости гу, при котором точка го, (ро перейдет в центр w = 0. Решение этой задачи легко получить с помощью дробно-линейной функции, рассмотренной в гл. 6 (см. § 2). Отображающая функция имеет вид

где постоянная Л выбирается из условия, чтобы граничные точ­ ки z = аег(рзаданного круга перешли в граничные точки \w\ = 1 единичного круга плоскости ги; при этом |А| = a argA, опре­

деляющий поворот круга |ги| 1 вокруг его центра w = 0, мо­ жет быть выбран произвольным. В результате произведенного преобразования искомая функция и(г,(р) перейдет в функцию U(pi'ip) = где р, ф — полярные координаты на плоскости w, связанные с координатами г, (р соотношением (7.15). При этом заданная граничная функция a(ip) перейдет в функцию А(ф) = а[у?(1 , ф)]. Так как функция Щр^ф) являет­ ся гармонической функцией своих переменных, то ее значение в центре круга может быть найдено по формуле среднего значе-

0 См. А. Н. Т и х о н о в , А. А. С а м а р с к и й . Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.

198 ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ГЛ. 7

ния (7.4), откуда

Из (7.16) мы получим явное выражение решения задачи Дирихле для круга, если выразим функцию А(ф) через первоначально заданную функцию a(ip). Заметим, что для соответствия гра­

Поэтому, сделав в интеграле (7.16) замену переменной интегри­ рования ф = ф(<р), где связь переменных ф и ip определяется формулой (7.17), получим

О

Формула (7.18) и дает явное аналитическое выражение решения задачи Дирихле для круга радиуса а через функцию граничных условий a(ip). Эта формула, носящая название интеграла Пуас­ сона, может быть получена и рядом других способов, например методом разделения переменных или с помощью функции ис­ точника1).

Полученные результаты позволяют в принципе решить зада­ чу Дирихле для любой области Q, которую можно конформно отобразить на единичный круг |ги| ^ 1 плоскости w. Действи­ тельно, при конформном отображении уравнение Лапласа со­ храняется, а решение задачи Дирихле для круга нами получе­ но. Совершив в интеграле (7.18) или (7.16) замену переменной интегрирования, исходя из связи граничных точек области Q и единичной окружности \w\ = 1 при данном конформном отобра­ жении, мы и получим выражение решения задачи Дирихле во внутренних точках области через граничную функцию (7.14).

П р и м е р 1. Решение задачи Дирихле для полуплоско­ сти. Пусть требуется определить ограниченную на бесконечно­ сти функцию и(х,у), гармоническую в верхней полуплоскости

*) См. сноску на с. 197.