книги / Теория функций комплексной переменной

Чтобы найти эту постоянную, заметим, что в силу (6.18) она

Согласно (6.19) модуль этого числа равен единице. Отсюда сле­ дует, что tp (w i) = 1. Следовательно, W2 = <p(wi) = w\. Это и

доказывает, что не существует двух различных функций, осуще­ ствляющих заданное конформное отображение данной области Q на внутренность единичного круга.

З а м е ч а н и е . Сформулированные выше условия однознач­ ного определения функции /(г), осуществляющей конформное отображение заданной односвязной области Q на внутренность единичного круга |ги| < 1 , можно заменить требованием соответ­ ствия трех граничных точек границы 7 области Q трем точкам окружности |ги| = 1 .

Мы ограничимся лишь формулировкой данного утвержде­ ния, не приводя его доказательства.

Мы рассмотрели ряд основных общих свойств конформного отображения. Однако проведенные рассмотрения не дают об­ щих рецептов решения основной задачи построения конформно­ го отображения данной области Q комплексной плоскости z на заданную область G плоскости w. В самом общем случае ука­ зать такой рецепт и не представляется возможным, для решения конкретных задач приходится прибегать к различным специаль­ ным методам. При этом большую пользу оказывает достаточно полное представление о геометрических свойствах ряда функ­ ций комплексной переменной, наиболее часто используемых при решении практических задач.

§ 2. Дробно-линейная функция

Так называется функция комплексной переменной, имеющая вид

(6.21)

где а, Ь, с, d — заданные комплексные постоянные, которые, очевидно, должны удовлетворять условию

(6.22)

так как в противном случае функция f(z) тождественно рав­ на постоянной. Без ограничения общности можно считать, что b ф 0 и d ф 0, ибо в противном случае w переходит в уже изу-

§2 ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 173

Разделив (6.27) на (6.28), получим

W l — W3 _ Z\ — Zz Р + Z2

(6.29)

W2 — W3 Z2 — Z3 Р + Z\

Для произвольной точки z можем записать аналогичное соотно­ шение:

Исключив из соотношений (6.29) и (6.30) параметр /3, оконча­ тельно получим

Соотношение (6.31) и представляет собой неявное выражение искомой дробно-линейной функции. Очевидно, разрешив (6.31) относительно w, мы получим явное выражение коэффициентов Л, а, /3 дробно-линейной функции через заданные числа z\, z2, 2 3, гУх, w2, гиз, что и доказывает теорему.

Заметим, что поскольку дробно-линейная функция осуще­ ствляет конформное отображение полной плоскости z на полную плоскость га, то одна из точек Z{ и одна из точек ги*, заданием которых определяется дробно-линейная функция, могут быть бесконечно удаленными точками.

Рассмотрим геометрические свойства отображения, осуще­ ствляемого дробно-линейной функцией. Для этого несколько

Из соотношений (6.33) следует, что отображение, осуществля­ емое дробно-линейной функцией, представляет собой совокуп­ ность простейших отображений, осуществляемых линейными

функциями z\ и zz и функцией рассмотренными в гл. 1 . Тем

самым рассматриваемое отображение слагается из подобных ра­ стяжений, поворотов и сдвигов комплексной плоскости, а также преобразования инверсии в круге. При этом данное отображение обладает рядом важных свойств, на которых мы остановимся

подробнее.

Теорема 6 .1 0 (круговое свойство дробно-линейной функ­ ции). Дробно-линейная функция переводит окружности на плоскости z в окружности на плоскости из. При этом мы вклю­ чаем прямые в семейство окружностей, рассматривая прямые как окружности бесконечно большого радиуса.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, для доказательства теоре­ мы достаточно показать, что преобразование инверсии, осуще­

ствляемое функцией гу = - , обладает круговым свойством, так

как сохранение окружности при линейном преобразовании не может вызывать сомнений. Рассмотрим произвольную окруж­ ность, уравнение которой на плоскости z имеет вид

где А, В, С, D - действительные числа, удовлетворяющие усло­ виям А ^ О, В 2 + С2 > AAD. При А —0 мы, очевидно, получим прямую; при D — 0 окружность (6.34) проходит через начало координат (точку z = 0). При преобразовании, осуществляемом

функцией w = и + iv = i , координаты х, у связаны с координа­ тами щ v соотношениями

Поэтому окружность (6.34) в новых координатах примет вид

что и доказывает утверждение теоремы.

Заметим, что при D —0 уравнение (6.36) представляет урав­ нение прямой, т. е. окружность, проходящая через точку z = 0,

функцией w = - отображается в прямую.

Z

Рассмотренное свойство дробно-линейной функции находит широкое применение при решении многих конкретных задач конформных отображений, связанных с отображением обла­ стей с круговыми границами. Действительно, пусть надо осу­ ществить конформное отображение области Q, ограниченной окружностью 7 , на плоскости z на область G, ограниченную окружностью Г, на плоскости w. Как известно, положение окружности на плоскости полностью определяется заданием трех точек. С другой стороны, в силу теоремы 6.9, задав со­ ответствие трех точек z* плоскости z, лежащих на окружности 7 , трем точкам до* плоскости w, лежащим на окружности Г, мы полностью определим дробно-линейную функцию, осуществля­ ющую конформное отображение плоскости z на плоскость w. При этом согласно теореме 6.10 окружность 7 перейдет в окруж­ ность Г. Если при этом соответствие точек z* и Wk выбрано так, что сохранено направление обхода, то в силу теоремы 6.4 данная функция осуществляет конформное отображение области Q на область G. Заметим, что при этом область, внешняя окружности 7 на плоскости z, конформно отображается на область, внеш­ нюю окружности Г на плоскости w. Если соответствие точек z*

иWk установлено так, что направления обхода окружностей 7

иГ противоположны, то область Qконформно отображается на

область, внешнюю окружности Г на плоскости w.

П р и м е р 1 . Найти функцию, конформно отображающую единичный круг \z\ < 1 на верхнюю полуплоскость Im w > 0.

Для решения поставленной задачи установим следующее со­

и найдем коэффициенты Л, а, /? дробно-линейной функции, осу­ ществляющей искомое отображение. Как легко видеть из усло­

вий (6.37') и (6.37"/), сразу определяются значения а и /?, после чего искомая функция принимает вид

Последний коэффициент Л определяется из условия (6.37"):

1 5

откуда Л = —%. Тем самым функция, осуществляющая искомое отображение, имеет вид

Отметим, что функция (6.38) осуществляет конформное отобра­ жение области \z\ > 1 на нижнюю полуплоскость Im w < 0.

Как следует из рассмотренного примера, построение иско­ мой дробно-линейной функции проводится наиболее просто в том случае, когда заданными точками плоскости w являются точки зд = 0 игу = оо. В этом случае сразу определяются зна­ чения коэффициентов а и /?.

178 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ГЛ. 6

Отсюда Xzo = еш, где а — произвольное действительное число, и решение нашей задачи получаем в виде

Заметим, что мы получили решение, определенное с точностью до одного произвольного параметра а, который, очевидно, опре­ деляет поворот окружности \w\ = 1 вокруг центра. Задание зна­ чения аргумента производной функции w в точке z = ZQ полностью определяет функ­

цию w.

П р и м е р 3. Найти функ­ цию, конформно отображаю­ щую эксцентрическое кольцо на концентрическое.

Пусть требуется постро­ ить конформное отображение области, ограниченной двумя окружностями с несовпадаю­ щими центрами (рис. 6.10), на какое-либо концентрическое кольцо. Поскольку мы имеем дело с двухсвязными областя­

ми, то теорема Римана о существовании конформного отобра­ жения здесь уже не имеет места и, как мы увидим, нельзя про­ извольно задать отношение радиусов окружностей концентри­ ческого кольца, на которое требуется конформно отобразить за­ данное эксцентрическое кольцо. Для удобства дальнейших рас­ смотрений положим, что центр большей окружности С находит­ ся в точке z = 0, ее радиус равен R, а центр меньшей окруж­ ности С', радиуса г, лежит в точке z = а на действительной оси. Найдем точки Р\ и Р2, которые являются симметричными одновременно относительно обеих окружностей С и С'. Очевид­ но, эти точки лежат на действительной оси (рис. 6.10). Тогда их

Из (6.44) и (6.45) следует, что х\ и Х2 являются корнями ква­ дратного уравнения

Дискриминант этого уравнения (R2 — г2 + а2)2 —4a2R2 положи­ телен, так как имеет место очевидное соотношение R —г > а. Построим дробно-линейную функцию

где х\ и Х2 — абсциссы точек Pi и Рг, найденные из уравне­ ния (6.46). При отображении, осуществляемом функцией (6.47), окружности С и С ' перейдут в некоторые окружности К и К 1 плоскости w, внешняя к окружностям С и С' точка Рг — в точку w = оо. Симметричная относительно окружностей С и С1 точке Рг точка Pi должна при этом перейти в точку, симметричную точке w = оо относительно окружностей К и К'. Но точка, сим­ метричная бесконечно удаленной точке, есть центр окружности. Следовательно, при отображении (6.47) точка Pi перейдет в об­ щий центр окружностей К и К*. Тем самым искомое отображе­ ние построено. Заметим, что в выражении (6.47) у нас остался произвол в определении параметра А, однако изменение послед­ него приводит лишь к подобному растяжению плоскости w, что не может изменить отношения радиусов окружностей получен­ ного концентрического кольца.

В заключение данного параграфа рассмотрим вопрос о при­ менении дробно-линейной функции для построения конформ­ ного отображения двуугольников. Двуугольником называется плоская фигура, образованная пересечением дуг двух окружностей, вообще говоря, разных радиусов (рис. 6.1 1). Очевидно, углы при вершинах двуугольника равны друг другу. Пусть дан двуугольник с вершинами в точках A{z\) и B{z2 ) и углом а при вершине и требуется построить конформное отображение вну­ тренней области данного двуугольника на верхнюю полуплос­ кость Im w > 0. Рассмотрим вспомогательную функцию

С = 7— ? (С “ € + « » )•

Дробно-линейная функция (6.48) производит конформное ото­ бражение полной плоскости z на полную плоскость при кото­ ром точка z — z\ переходит в точку ( = 0, а точка z = Z2 —в точ­ ку £ = оо. В силу кругового свойства дробно-линейной функции при отображении (6.48) окружности, образующие двуугольник, переходят также в окружности. Но окружность, проходящая че­ рез точки С = 0 и С = оо, имеет бесконечно большой радиус. Это