книги / Теория функций комплексной переменной

стает независимо от способа стремления точки z к точке Z Q , что

и доказывает теорему. Заметим, что, если доопределить функ­ цию ip(z) в точке zo, положив ip{zo) = c_m Ф 0, формула (4.19) может быть переписана в виде

где ip(z) — аналитическая функция и ф(го) ф 0; число тпназы­ вается порядком полюса.

Имеет место и теорема, обратная теореме 4.4.

Теорема 4.5. Если функция f{z), аналитическая в окрест­ ности своей изолированной особой точки Z Q , неограниченно воз­

растает по модулю независимо от способа стремления точки

zк точке Z Q , то точка ZQ является полюсом функции f{z).

До к а з а т е л ь с т в о . По условию теоремы для любого числа А > 0 можно указать такую е-окрестность точки Z Q , в ко­

торой \f(z)\ > А. Рассмотрим функцию g(z) = -т~-г. В указанной f\Z)

Е-окрестности точки ZQ эта функция является аналитической и lim g(z) = 0. Поэтому на основании теоремы 4.3 точка ZQ явля-

Z -+ Z Q

ется устранимой особой точкой функции g(z), и функция g(z) в силу формулы (4.17) в окрестности точки ZQ может быть пред­ ставлена в виде g(z) = (z — zo)mip(z), где <p(z) —аналитическая

функция, причем cp(zo) ф 0, а т > 0. Тогда в окрестности точки Z Q для исходной функции f(z) имеет место представление f(z) =

ставлением (4.20), где ф(г) — аналитическая функция. Отсюда и следует, что точка Z Q является полюсом порядка т функции

f(z). Теорема доказана.

Заметим, что точка Z Q , являющаяся нулем порядка т анали­

тической функции g{z), является полюсом того же порядка т

функции f(z) = —Ц, и наоборот. Это устанавливает очень про-

9\z)

стую связь между нулями и полюсами аналитических функций. 3° Ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки ZQ содержит бесконечное число членов с отрица­

В этом случае точка ZQ называется существенно особой точкой функции f(z). Поведение аналитической функции в окрестности ее существенно особой точки описывается следующей теоремой.

Теорема 4.6 (теорема Сохоцкого-Вейерштрасса). Каково бы ни было е > 0, в любой окрестности существенно особой точки ZQ функции f(z) найдется хотя бы одна точка zi, в которой значение функции f(z) отличается от произвольно

заданного комплексного числа В меньше чем на е.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что теорема неверна, т.е. при заданном комплексном числе В и заданном е > 0 най­ дется такое т]о> 0, что во всех точках z из 770-окресгности точки ZQ значение функции f(z) отличается от заданного В больше чем на е:

Рассмотрим вспомогательную функцию ip(z) = — —- . В силу

J\Z) в

(4.21) функция 'ip(z) определена и ограничена в 770-окрестности точки ZQ. Следовательно, по теореме 4.3 точка ZQ является устра­ нимой особой точкой функции ф{г). Это означает, что разложе­ ние функции ф(г) в окрестности точки ZQ имеет вид

Тогда, в силу определения функции ^(z), в данной окрестности точки ZQ имеет место следующее разложение функции f(z):

точкой функции f(z), и разложение в ряд Лорана последней должно содержать лишь конечное число членов, что противоре­ чит условию теоремы. Полученное противоречие и доказывает теорему.

Теорема 4.6 дает следующую характеристику поведения ана­ литической функции в окрестности \z —Z Q \ < щ существенно

особой точки: в существенно особой точке ZQ не существует ко­ нечного или бесконечного предельного значения аналитической функции. В зависимости от выбора последовательности точек, сходящейся к точке Z Q , м ы можем получить последовательно­

сти значений функции, сходящиеся к различным пределам. При этом всегда можно выбрать последовательность, сходящуюся к любому наперед заданному комплексному числу, включая и оо.

Очевидно, нет необходимости доказывать теорему, обратную теореме 4.6, так как если при z — ¥ Z Q не существует конечного

или бесконечного предела функции f(z), то в силу теорем 4.2 и 4.4 точка ZQ не может быть ни устранимой, ни полюсом.

бой точкой функции f(z), причем f(z) ф 0 в некоторой окрест­ ности точки 2о, то и для функции g(z) = 1 /f{z) точка ZQ явля­

ется существенно особой точкой.

Рассмотренные три случая исчерпывают возможный вид разложения аналитической функции в ряд Лорана в окрестно­ сти ее изолированной особой точки и имеют решающее значение для выяснения общего хода изменения аналитической функции в окрестности ее особых точек.

Из проведенных рассмотрений следует, что возможны две различные точки зрения на классификацию изолированных осо­ бых точек однозначной аналитической функции, приводящие к одинаковым результатам. Мы исходили из аналитической точ­ ки зрения, основанной на характере разложения функции в ряд Лорана, и установили, как ведет себя сама функция при стрем­ лении к особой точке. Возможен и другой, геометрический под­ ход, при котором в основу классификации кладется поведение функции в окрестности ее изолированной особой точки. При этом, если функция ограничена в окрестности особой точки, то эта точка называется устранимой и, как следует из теоремы 4.3, разложение данной функции в ряд Лорана в окрестности этой особой точки не содержит отрицательных степеней. Если при стремлении к особой точке функция имеет бесконечный предел, то эта точка — полюс и разложение в ряд Лорана имеет конеч­ ное число отрицательных степеней. И наконец, если функция при стремлении к особой точке не имеет конечного или беско­ нечного предела, то это — существенно особая точка, разложе­ ние в ряд Лорана содержит бесконечное число отрицательных степеней.

Взаключение данного параграфа остановимся на вопросе

оповедении аналитической функции в окрестности бесконеч­ но удаленной точки. Бесконечно удаленная точка комплексной

плоскости является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции f{z), если можно указать такое значе­

ние R, что вне круга \z\ > R функция f(z) не имеет особых то­ чек, находящихся на конечном расстоянии от точки z —0. Так как f(z)

или если при z -> оо существует конечное предельное значение функции f(z), не зависящее от способа предельного перехода. Если со = с_ 1 = ... = c_m+i = 0, с-т Ф 0, то бесконечно уда­ ленная точка является нулем т-го порядка функции f{z).

2° Точка z = оо называется полюсом порядка т функции

f(z), если разложение (4.23) содержит конечное т число членов

т

с положительными степенями z, т.е. f(z) = ^ 2 cnzU (тп > 0),

п=—оо

или если эта функция неограниченно возрастает по модулю при z —>■ оо независимо от способа предельного перехода.

3° Точка z — оо называется существенно особой точкой

функции f(z), если разложение (4.23) содержит бесконечное число членов с положительными степенями z, т. е. f(z) =

ОО

=Y1 или если в зависимости от выбора последователь-

п=—со

ности {zn} —> оо можно получить последовательность значений {f{zn)}, сходящуюся к любому наперед заданному пределу.

Очевидно, доказательство эквивалентности всех приведен­ ных выше определений характера изолированной особой точки z = оо может быть проведено так же, как и для случая конечной изолированной особой точки.

Кроме того, как легко видеть, преобразование z — —переводит точку

оо плоскости z в точку С = 0> характер же особой точки при этом преобра­ зовании не меняется в силу следующей общей теоремы.

Теорема 4.7. Пусть тонка ZQ является изолированной особой тонкой функции f(z ), аналитинеской в области Q. Пусть аналитинеская функция С = rp(z) устанавливает взаимно однознанное соответствие между обла­ стью Q и областью Q' комплексной плоскости £, в которой определена обратная функция z = у>(£). Тогда тонка £о = ф(го) является изолирован­ ной особой тонкой аналитинеской функции F (£) = /[у>(С)]> принем харак­ тер этой особой тонки тот же , нто и тонки Z Q .

Эта теорема является очевидным следствием свойства аналитических функций, установленного в гл. 1, в силу которого аналитическая функция от аналитической функции является аналитической, а также геометриче­ ских свойств аналитической функции в окрестности изолированной особой точки.

П р и м е р . Рассмотрим функцию f(z) = --т-1 : . Данная v l + z2

многозначная функция имеет две точки разветвления z = ±i. Точка z —оо — ее правильная точка. Поэтому в круговом коль­ це 1 < \z\ < оо определены две ветви этой функции, являющие­ ся однозначными аналитическими функциями в данном кольце. Выберем ветвь, являющуюся непосредственным аналитическим

Г Л А В А 5

ТЕОРИЯ ВЫ ЧЕТОВ И И Х П РИ Л О Ж ЕН И Я

§ 1. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке

1. Определение и формулы вычисления вычета.

Введем важное для приложений понятие вычета однозначной аналитической функции в изолированной особой точке.

Пусть точка ZQ является изолированной особой точкой од­ нозначной аналитической функции f(z). Согласно предыдущим рассмотрениям в окрестности этой точки функция f (z) может быть единственным образом разложена в ряд Лорана

ОО

Вычетом аналитической функции f(z) в изолированной осо­ бой точке ZQ называется комплексное число, равное значению

интеграла — f f(C)d(, взятому в положительном направле­

нии по любому лежащему в области аналитичности функции f (z) замкнутому контуру 7 , содержащему единственную осо­ бую точку zo функции f(z). Для обозначения вычета обычно применяются выражения Выч [f(z),z0] или res [f(z),zo\. Мы в дальнейшем будем пользоваться первым обозначением. Очевид­ но, что если точка ZQ является правильной или устранимой осо-

2° Пусть точка ZQ является полюсом порядка т функции f(z). Согласно предыдущему в окрестности этой точки имеет место разложение

Взяв производную порядка (т—1) от обеих частей этого равен­ ства и перейдя к пределу при z —>• zo, окончательно получим следующую формулу.

Формула вычисления вычета в полюсе порядка т:

Выч[/(г),го] = (m 1 ц, ~ *o)mf(z)]- (5-13)

Как легко видеть, формула (5.6) является частным случаем по­ следней формулы.

П р и м е р 2. Пусть f(z) = у- 1-2.п-. Особыми точками

этой функции являются точки ,2 = ±г, причем обе эти точки

представляют собой полюсы порядка п. Вычислим Выч [/(-г),г]. Согласно (5.13) получим

2. Основная теорема теории вычетов. Перейдем те­ перь к рассмотрению важнейших применений введенных поня­ тий. Для многих теоретических рассмотрений и практических применений весьма существенной является следующая

Теорема 5 .1 (основная теорема теории вычетов). Пусть функция f(z) является аналитической всюду в замкну­

той областиQ, за исключением конечного числа изолированных особых точек Zk (к = 1 , ...,1V), лежащих внутри области Q- Тогда

N