книги / Теория функций комплексной переменной

Г Л А В А 2

РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В настоящей главе будут рассмотрены основные свойства функциональных рядов, члены которых являются функциями комплексной переменной. Особую роль в теории функций комп­

лексной переменной играют ряды аналитических функций и, в

ОО

ий

ные комплексные постоянные, ZQ —фиксированная точка комп­ лексной плоскости. Изучение этих рядов оказывается весьма су­ щественным как для выяснения ряда общих свойств функций комплексной переменной, так и для решения различных задач, связанных с применением методов теории функций комплекс­ ной переменной.

§ 1 . Равномерно сходящиеся ряды функций комплексной переменной

где {а*} — заданная числовая последовательность с комплекс­ ными членами.

Ряд (2.1 ) называется сходящимся, если сходится последова-

А=п+1

дящегося ряда сумму его n-го остатка обозначают через гп и обычно также называют остатком ряда (2.1). Для сходящегося ряда S = Sn+ r n и для любого е > 0 можно указать такой номер N , что |гп| < е при N. Из определения сходящегося ряда следует, что необходимым и достаточным признаком его сходи­ мости является критерий Коши1). А именно, ряд (2 .1 ) сходится тогда и только тогда, когда для любого е > 0 можно указать та­

п+р

кой номер IV, что Е а к < е при n ^ N и любом натуральном р.

к = п

Необходимым условием сходимости ряда (2.1) является тре­

бование lim ап = 0. Действительно, из сходимости этого ряда, п—юо

в силу критерия Коши, следует, что для любого е > 0 можно указать такое IV, что |on+i| = |5n+i — Snl < £ при п ^ N.

Если сходится ряд

ОО

к= 1

сдействительными положительными членами, то, очевидно, сходится и ряд (2.1 ), который в этом случае называется абсо­ лютно сходящимся. Одним из наиболее часто употребляемых

способов исследования сходимости ряда с комплексными члена­ ми является рассмотрение ряда с действительными членами, яв­

ляющимися модулями членов исходного ряда. Как известно2), достаточными признаками сходимости ряда с действительны­ ми положительными членами являются признаки Даламбера и Коши.

Согласно признаку Даламбера ряд (2.2) сходится, если, на­

Отметим, что если, начиная с некоторого номера N, отноше­

ние Оп+1 ^ 1 , то ряд (2.1 ) с комплексными членами расходится.

(In

Действительно, в этом случае все члены ряда (2.1), начиная с apf, удовлетворяют соотношению |ап| ^ |а^| Ф 0, т. е. не выпол­ нен необходимый признак сходимости ряда.

Согласно признаку Коши ряд (2.2) сходится, если ^/|ап| ^ 4 q < 1 Для всех N. Если, начиная с некоторого N, для

всех n > IV имеет место соотношение (/|an| ^ 1, то ряд (2.1) расходится.)*

*) Являющийся прямым следствием критерия Коши сходимости числовой последовательности {5Я}; см. с. 21.

2) См. вып. 1, гл. 13.

2. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Перейдем теперь к рассмотрению функциональных рядов, чле­ нами которых являются функции комплексной переменной. Пусть в области Qопределена бесконечная последовательность однозначных функций комплексной переменной (un(z)}. Выра­

жение вида

ОО

П=1

будем называть функциональным рядом. При фиксированном значении ZQ Е Q ряд (2.3) превращается в числовой ряд вида

(2.1).

Функциональный ряд (2.3) называется сходящимся в обла­

сти Q, если при любом z EQ соответствующий ему числовой ряд сходится. Если ряд (2.3) сходится в области Q, то в этой

области можно определить однозначную функцию f(z), значе­ ние которой в каждой точке области Qравно сумме соответству­ ющего числового ряда. Эта функция называется суммой ряда (2.3) в области Q. В силу данных определений в этом случае для любой фиксированной точки z Е Qи любого заданного по­

ложительного числа е можно указать такой номер N, что

П

< £ при n^iV(e,z).

k=i

Заметим, что в общем случае N зависит и от £ и от z.

В теории рядов функций комплексной переменной, так же как и в случае действительной переменной, особую роль играет понятие равномерной сходимости. Например, как помнит чита­

тель из курса анализа1), сходящийся ряд непрерывных функ­ ций далеко не всегда сходится к непрерывной функции. В то же время сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функ­ ций всегда является непрерывной функцией. Равномерно схо­ дящиеся ряды функций комплексной переменной, так же как и в случае действительной переменной, обладают рядом весьма важных свойств, к изучению которых мы и перейдем. Начнем с

определения.

Если для любого полооюительного числа £ мооюно указать такой номер iV(e,) что при п ^ N(c) неравенство

f(z) - ^ 2 uk(z) < £ к=1

выполняется сразу для всех точек z области Q, то ряд (2.3) называется равномерно сходящимся в области Q.

1) См. вып. 2.

членами1) следует, что при любом фиксированном z 6 Q по­ следовательность { 6^(2)} является сходящейся. Следовательно, при выполнении (2.5) ряд (2.3) сходится в области Qк некоторой

функции f(z) = lim Sn(z). Но в силу (2.5)

71—>00

\im \Sn+m{z) - Sn{z)\-\f{z) - Sn{z)\ < е при n^N{e)

m—>00

во всех точках области Qодновременно, что и доказывает рав­ номерную сходимость ряда (2.3) в области Q.

3. Свойства равномерно сходящихся рядов. Теоремы Вейерштрасса. Перейдем теперь к рассмотрению некоторых общих свойств равномерно сходящихся рядов.

Теорема 2 .1 . Если функции un(z) непрерывны в области G,

ОО

а ряд Y2 ип{%) сходится в этой области равномерно к функции

П=1

f{z)> то f(z) такэюе непрерывна в области Q.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим выражение |f(z + A z) —f(z)I, где точки z и z + A z принадлежат области Q.

для любых точек z и z + Az, принадлежащих области Q. В силу непрерывности функций в любой точке z Е G для задан­ ного е и выбранного N можно указать такое <5 > 0, что

при \Az\ < 6. Из (2.6), (2.7) и из того, что модуль суммы не пре­

восходит сумму модулей, следует, что для любого е > 0 можно указать такое <5, что \f(z + A z) — f(z)\ < е при |А;г| < 8. Это и

доказывает непрерывность функции f(z) в области Q. Теорема 2 .2 . Если ряд (2.3) непрерывных функций un(z)

сходится равномерно в области G к функции f(z), то интеграл от этой функции по любой кусочно гладкой кривой С, целиком лежащей в области Q, можно вычислить путем почленного3*

х) См. гл. 1, с. 21.

3 А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов

66 РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ГЛ.2

интегрирования ряда (2.3), т. е.

ОО

/ п о dc=Е / “»«)<*с-

Сп=1 С

До к а з а т е л ь с т в о . Так как ряд (2.3) сходится рав­ номерно, то для любого заданного е > 0 можно указать такой номер N, что для всех точек £ Е Q

что и доказывает теорему.

Отметим, что свойства равномерно сходящихся рядов с ком­ плексными членами, сформулированные в теоремах 2 .1 и 2.2, совершенно аналогичны соответствующим свойствам функцио­ нальных рядов с действительными членами, и проведенные до­ казательства фактически повторяют доказательства соответ­

ствующих теорем анализа1).

Перейдем теперь к рассмотрению важнейшего свойства рав­ номерно сходящихся рядов, характеризующего поведение ряда, членами которого являются аналитические функции.

Теорема 2.3 (теорема Вейерштрасса). Пусть функции

сходится равномерно в любой замкнутой подобласти Q' обла­ сти Q к функции /(г). Тогда:

1 ) f(z) является аналитической функцией в области Q\

2) /<*>(*) = Е «JP W ;

71=1

ОО

3) ряд UJI^(г) сходится равномерно в любой замкнутой

П=1

подобласти Q' области Q.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем доказательство каждого из вышеперечисленных утверждений.

1. Рассмотрим произвольную внутреннюю точку ZQ € Q и построим односвязную подобласть Q' области £?, содержащую точку го внутри.

Всилу теоремы 2.1 /(г) является непрерывной функцией

вобласти Q. Рассмотрим интеграл от /(г) по произвольному

*) См. выл. 2, гл. 8.

доказанному утверждению, r)i (z) представляет собой остаток

оо

ряда Y un\z). В силу равномерной сходимости исходного ря71=1

ОО

да Y un{z), для любого е > 0 можно указать такое N, что на

71=1

контуре С при n ^ N имеет место равномерная оценка |гп(С)| <

для всех z &Q' одновременно, что и доказывает утверждение 3. Приведенное доказательство относится к случаю односвязной области Q. Случай многосвязной области рассматривается ана­ логично. Итак, теорема доказана.

Заметим, что примененный метод доказательства позволяет доказать равномерную сходимость ряда из производных лишь в любой замкнутой подобласти Q’ области Q, даже если исход­ ный ряд (2.3) сходится равномерно и в замкнутой области. Как показывают простые примеры, из равномерной сходимости ряда (2.3) в замкнутой области Qне следует равномерная сходимость в этой области ряда, составленного из производных. Например,

составленный из производных членов исходного ряда, не может сходиться равномерно в круге \z\ ^ 1 , так как он расходится при z —1. Таким образом, утверждение п. 3 теоремы о равно­ мерной сходимости ряда, составленного из производных, лишь в замкнутой подобласти исходной области не может быть, вообще говоря, расширено.

Сделаем еще одно замечание. При доказательстве теоремы 2.3 мы предполагали равномерную сходимость ряда в любой за­

мкнутой подобласти Q1 области Q. Ясно, что теорема тем более будет иметь место при условии равномерной сходимости ряда

(2.3) в замкнутой области Q'. Как показывает нижеследующая теорема, последнее условие может быть заменено условием рав­ номерной сходимости ряда (2.3) на границе Г области Q.

Теорема 2.4 (вторая теорема Вейерштрасса). Пусть функции un(z) являются аналитическими в области у, непре-

___ ОО

рывными в Q' и ряд Y un(z) сходитсяравномерно на границеТ

71=1

п=1

До к а з а т е л ь с т в о . Разность частичных сумм данного ряда, функция Sn+P(z) —Sn(z), как конечная сумма аналитиче­

ских функций, является аналитической в Qи непрерывной в Q. Из равномерной сходимости на Г следует, что

\Sn+p(0 —<$п(С)| = lun+p(C) + • ♦ • + ^n+i(C)l < £

при n ^ N для любого натурального р и всех точек £ е Г одно­ временно. Следовательно, по теореме о максимуме модуля ана­ литической функции |<Sn+p(;z)—5 п(2г)| < е при га > N для любого

натурального р и для всех z е Q. Тем самым для данного ряда выполнен критерий Коши, что и доказывает теорему.

З а м е ч а н и е . Очевидно, что все доказанные выше свой­ ства функциональных рядов справедливы и для функциональ­ ных последовательностей.

4. Несобственные интегралы, зависящие от парамет­ ра. В гл. 1 мы, рассматривая свойства интегралов, зависящих от параметра, ограничились лишь случаем собственных инте­ гралов по кривой С конечной длины. Теорема Вейерштрасса позволяет обобщить полученные результаты на случай несоб­

ственных интегралов. Будем рассматривать зависящий от пара­

метра несобственный интеграл первого рода F(z) = f f(z,()d£

с

по неограниченной кривой С. Пусть функция двух комплексных переменных /(z, £), определенная при z € Qи £ £ С, удовлетво­ ряет тем же условиям, что и у?(;гг, £) в § 7 гл. 1, а именно:

а) функция /(^, С) ПРИ любом значении £ Е С является ана­

рывными функциями по совокупности переменных z, £ при z £ Qи £ Е С.

Пусть несобственный интеграл первого рода f f(z,()d£ схо-

с

дится_равиомерно по параметру z в любой замкнутой подобла­

сти Q' области Q. Это означает, что при любом выборе по­ следовательности конечных кривых Сп, составляющих часть С, при Сп С функциональная последовательность un(z) =

= f f{z, С) dC, сходится равномерно в Q' к функции F(z).

сп

Легко показать, что при выполнении всех перечисленных

условий функция F(z) является аналитической в Qи

Р’Н =J%Ы)<К-

с

Действительно, как доказано в §7 гл. 1 , собственные инте­

гралы — функции un(z) J f(z,() d( являются аналитическими

On

{n„(z)} сходится к F(z) равномерно в любой Я1. Следовательно, по теореме Вейерштрасса функция F(z) — аналитическая в Qи

с

§ 2 . Степенные ряды. Р я д Тейлора

1 . Теорема Абеля. В предыдущем параграфе рассматри­ вались общие функциональные ряды (2.3), причем вид функций un(z) не конкретизировался. Очень важными являются так на­ зываемые степенные ряды, для которых un(z) = Cn(z —zo)n, где Cn — некоторые комплексные числа, a ZQ — фиксированная

ются аналитическими функциями на всей комплексной плоско­ сти, поэтому для исследования свойств данного ряда могут быть применены общие теоремы предыдущего параграфа. Как было установлено, многие важные свойства являются следствием рав­

номерной сходимости. Тем самым при исследовании степенного

ОО

ряда °n(z ~ zo)n важно установить область его равномерной

п=0

сходимости. Сразу заметим, что область сходимости степенно­ го ряда определяется видом коэффициентов <v Например, ряд

ОО

n\(z —z0)n сходится лишь в одной точке z = ZQ. Действи-

п=о

тельно, отношение модулей двух последовательных членов ряда

2 Ф zo, начиная с некоторого N(z)}что, согласно рассмотрениям на с. 62, свидетельствует о расходимости данного ряда. С дру­ гой стороны, с помощью признака Даламбера легко установить

Для определения области сходимости степенного ряда суще­ ственной оказывается следующая теорема.