|
МЕТОД ВИНЕРА-ХОПФА |
301 |
В |
силу условий нормировки (при £ -)■ оо) получим /(£) = |
= — 1 |
(единичный поток при £ -> +оо направлен в отрицатель |
ном направлении оси £). |
на ц и снова проинтегрируем от — 1 |
Теперь умножим (94) |
|
|
1 |
|
до 1. Введя обозначение К(£) = f |
получим |
|
|
- 1 |
|
|
~ = 1 |
или /С(О = ^ (0) + 4, |
(98) |
где в силу (95) |
|
|
о
(99)
- 1
Уравнение (94) является интегро-дифференциальным, так как неизвестные функции р(£) и /(£ ,р ) связаны интегральным со отношением (88). Однако легко получить интегральное уравне ние для функции р(£). Решая обыкновенное дифференциаль ное уравнение (94) относительно функции /(£,р), в силу (95) получим
(100)
Проинтегрировав (100) по ц от —1 до 1 , получим интегральное уравнение для функции р(£):
1 ОО
(101)
0 0
Изменив в (1 0 1) порядок интегрирования, получим окончатель ное уравнение для плотности нейтронов в сечении £:
оо |
( 102) |
р(£) = / ® (f - V)P(V)dv- |
о |
|
Как видим, это есть интегральное уравнение в полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности:
1
Уравнение (10 2) обычно называется уравнением Милна, ко торый впервые получил это уравнение при исследовании про цессов переноса излучения в звездной атмосфере.
Отметим, что во многих случаях удобным оказывается несколько иное представление ядра, получающееся при замене
в интеграле X(t) = f exр |
~ |
|
переменной интегрирования |
№~ |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
,-\t\udu |
|
|
|
X(t) = |
/ |
* |
и |
• |
(104) |
Интеграл (104) часто называется функцией Хопфа. Интегри рованием по частям легко может быть получено его асимптоти ческое разложение при больших положительных значениях t:
х « = 2г { 1 - ? + | - | + - } - |
(105> |
5.2.Исследование решения уравнения Милна. Уравнение
(10 2) принадлежит к типу уравнений, рассмотренных в п. 3, и для его решения может быть применен общий алгоритм метода Винера-Хопфа. Мы не будем проводить здесь подробного реше
ния этого уравнения и исследования его физического смысла*), а ограничимся лишь рядом замечаний.
Во многих практических задачах основной интерес предста вляет определение лишь функции распределения нейтронов, вы ходящих из данной среды, т.е. функции / ( 0, /i) при р < 0. Со гласно (100) эта функция определяется выражением
ОО ОО
Д 0,д) = - J - / e',/'V(’?) <*п= |
2jT| f e~n^^p(v) di), |
l i < 0 . |
M 0 |
w о |
|
|
|
(106) |
Как легко видеть, в силу (29) последний интеграл есть не что иное, как одностороннее преобразование Фурье функции р(г))
» * при к —— , т.е.
Тем самым в указанных задачах достаточно найти не само решение интегрального уравнения (10 2), а лишь его преобразо вание Фурье.
*) Подробнее см, например, широко известную работу Хопфа: Н о р f, Mathematical Problems of Radiative Equilibrium. — Cambridge, 1934.
Согласно общей схеме метода Винера-Хопфа для решения последней задачи следует найти преобразование Фурье ядра ин тегрального уравнения, а затем произвести факторизацию (51)
функции L(k) = |
1 — л/2тг XV(к). В нашем случае Л = 1 и |
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V(k) = |
- ^ = |
[ |
elkxv(x)dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
V 27T |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
J |
e,kxdx J |
х / ц d/.L |
+ J |
eikxdx J |
- x / f i d f i |
|
|
2 \/2ж |
ех^ |
|
|
|
|
|
1 |
b-oo |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
_ 1 |
|
1 |
|
1 |
arctg к _ |
1 |
|
1 * 1 + ik |
|
f |
|
dfi _ |
|
(108) |
V^F J |
k2 + l//i2 /a2 |
>/27r |
|
A: |
|
2*A: П 1 - |
ik' |
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(k) = 1 - |
y/2irXV(k) = |
|
К |
|
|
(Ю9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция L(k), очевидно, является |
аналитической |
в |
полосе |
—1 < Im к < |
1 , стремящейся к нулю в этой полосе при \к\ ->■ оо. |
Точка к = |
0 является нулем второго порядка этой функции. |
Последнее обстоятельство несколько затрудняет факторизацию функции L(k).
Согласно замечанию 2 |
(см. с. 296) построим вспомогатель- |
|
fc2 + 1 |
|
|
ную функцию |
К ■L{k), удовлетворяющую всем условиям лем- |
мы 2 , и рассмотрим функцию |
|
Ф(к) = In [ ^ ± 1£(&)] |
= In [ ^ ± 1 ( l - Н Ё1 * ) ] , |
(НО) |
которую легко представить в виде Ф(к) = Ф-(к) + Ф+(&), где функции Ф_(&) и Ф+(к) являются аналитическими соответ ственно в нижней Im к < т+ < 1 и верхней Im к > т_ > — 1 полуплоскостях. При этом
оо+гт_
$ + w = 2к / |
* « > & • |
(110,) |
—оо+»т_
а функция L+(k), являющаяся числителем в формуле фактори зации (51) функции Ь(к):
Цк) = L+(k)
может быть выбрана в виде
Функция L+(k) является аналитической в верхней полуплоско сти Im к > т_ и при \к\ -> оо растет, как первая степень к, по скольку в силу сходимости интеграла (ПО') Ф+(&) ограничена при \к\ оо. Поэтому функция R+(k) определяется по форму ле (52):
* *(* > = ш |
= А ¥ е~ф+(к)- |
<1 1 2 > |
Отсюда следует, что для определения функции распределения нейтронов, выходящих из полупространства х > 0, необходи мо найти Ф+(/с). Это может быть сделано с помощью формулы (110'). Для вычисления этого интеграла положим т_ = 0 и при ведем его к следующему виду:
ОО |
1 |
ОО |
ф+« = h I |
|
2тгг / ф« |
' ) ^ |
—00 |
L-oo |
о |
(113) Воспользовавшись четностью функции Ф(£) и сделав в первом интеграле замену переменной интегрирования £' = —С, окончательно получим
*+<*) = й / ф« ) А - |
<114 ) |
О |
|
Последний интеграл может быть легко табулирован, что и позволяет найти / ( 0,д) при д < 0 с точностью до постоянного множителя А. Для определения последнего воспользуемся усло вием нормировки (97) и следующими соображениями. Умножим
уравнение (94), справедливое при $ > 0, на ~^=егк^ и проинтеV27T
грируем его по f от 0 до оо. Пусть к — комплексная величина с малой положительной мнимой частью. Тогда, применив фор мулу интегрирования по частям
i |
s |
^ = - ^ Д |
М - ^ + ( М |
) , |
(115) |
получим |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—ikfiF+(k,р) - |
^ = / ( 0 ,д ) = |
- F +(k,fi) + |
iR+(*0> |
(116) |
МЕТОД ВИНЕРА-ХОПФА |
305 |
ИЛИ |
|
F+(kyfi) — - | = / ( ( Ы + 1 я + (*) |
(117) |
|
1 — ik y |
Результат интегрирования (117) по ц от —1 до 1 в силу очевид-
1
ного соотношения R+(k) = |
f F+(k,n) dy и условия (95) дает |
|
|
|
- 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
\ ~ l |
°r |
/(0, /x) |
|
|
|
|
|
|
L / |
dp |
] |
1 f |
(118) |
|
Ч |
1 - i k y |
1 |
у/2тг J |
1 — iky |
|
|
-1 |
|
) |
|
-1 |
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
- |
1 |
I n 14*** - |
arctg к |
(119) |
|
|
к 5 |
- 1 |
— iky. |
2ik |
1 —ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
то окончательно получим |
|
|
|
|
|
R |
|
о ■ - |
|
[ |
/(0„tL[л dp. |
(120) |
- |
W , |
|
-J1 1-*'ik y |
|
Разложим правую часть (120) в ряд Лорана в окрестности точки
к = 0. Воспользовавшись равенством*) |
|
о |
1 |
|
/ |
/ № /Ом dfj. = f / ( 0, у)у dfj, = j(0) = - 1 |
(1 2 1) |
- 1 |
- 1 |
|
и введенным ранее обозначением (99), получим |
|
|
R+ (k) = -- ± = ± {l+ iK ( 0 ) -к + |
(12 2) |
Сдругой стороны, можно найти первые члены разложения
вряд Лорана в окрестности точки к = 0 функции, стоящей в правой части формулы (1 1 2).
Вычислим сначала Ф+(0). Обратимся к формуле (НО') и вы берем в качестве пути интегрирования действительную ось с обходом точки £ = 0 по дуге полуокружности в нижней по луплоскости. Устремив радиус последней к нулю и учтя, что в силу нечетности подынтегральной функции интеграл по участ кам действительной оси равен нулю, получим
Ф+(0) = 1 limb [ £ ± 1 (1 - S f t ) ] = Ш-1 |
(123) |
О Равенство (121) имеет место в силу (95) и условия нормировки (97).
11 А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов
Используя (123), находим, что разложение функции R+(k) в окрестности точки к —0 имеет вид
£ + (* ) = W 3 p { l + iC fc+ ...}. |
(124) |
Сравнив (12 2) и (124), определим значение постоянной А:
Подставив полученные результаты в формулы (107), (112), (114), окончательно получим при /х < 0
/ ( 0,м) =
СО
О
что и дает функцию углового распределения нейтронов, выхо дящих из полупространства х > 0.
5.3.Дифракция на плоском экране. Рассмотренные до сих
пор интегральные уравнения являются уравнениями Фредголь ма второго рода. Однако ряд физических задач естественным образом приводит к интегральным уравнениям первого рода в полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности аргументов. В качестве примера рассмотрим задачу дифрак ции электромагнитных волн на плоском экране. Пусть в одно родном пространстве помещен плоский идеально проводящий экран, совпадающий с полуплоскостью х > 0, у = 0, —оо < < z < оо. Пусть вне экрана расположены локальные источники электромагнитного поля, создающие периодические электромаг нитные колебания частоты w, поляризованные таким образом, что вектор Е напряженности электрического поля параллелен оси z и не зависит от координаты z. Тогда для амплитуды и(х,у) вектора Е получим скалярную задачу
Au + k ?u = -f(x ,y ),
и(х, 0) = 0, х > 0.
Кроме того, функция и(х,у) должна удовлетворять усло виям излучения на бесконечности, определяющим отсутствие
волн, приходящих из бесконечности *). Здесь к = — — волновое
с
число (с — скорость света в среде вне экрана), /(ж ,у) — задан ная функция, определяющая плотность источников. Будем ис-
х) Подробнее постановку задач дифракции см. в кн. : А. Н. Т и х о н о в , А. А. С а м а р с к и й . Уравнения математической физики. — М. : Наука, 1972.
кать решение задачи (127) в виде и(х,у) = щ (ж,у) + и(ж,у), где функция «о (ж, у) — поле, создаваемое заданными источниками
вотсутствие экрана, которое через функцию /(ж, у) выражается
ввиде волнового потенциала1)
« о ( * > !/ )= zff Ho\kr)f(^y)didV< |
128) ( |
S |
|
где H ^\z) — функция Ханкеля первого рода, г = [(ж—£)2+ (у—
—77)2]1/2, а интегрирование ведется по всей области 5 , в которой расположены источники. Для функции v{x,y) получим задачу
Av + k*v = 0, |
т |
v(x, 0) = —щ(х, 0), |
х > 0. |
Кроме того, г;(ж, у) должна удовлетворять условиям излучения на бесконечности. Решение задачи (129) будем искать в виде волнового потенциала простого слоя
С»
где г' = [(х — £)2 + 2/2]1/2, a /z(£) — неизвестная плотность, для определения которой с помощью граничного условия при у —0, ж > 0 получим интегральное уравнение первого рода
ОО |
|
/ нк1)(к\х-(\М $<% = -щ(х,0), 1 > 0 . |
(131) |
О |
|
Мы опять получили неоднородное интегральное уравнение в полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности аргументов. Однако, в отличие от (79), это уже уравнение перво го рода. Данное уравнение также может быть решено с помощью метода Винера-Хопфа, однако мы не будем останавливаться на деталях этого исследования.
6 . Реш ение краевы х задач для уравнений в частных производны х методом В и н ер а-Х о п ф а. Метод Винера-Хоп фа может быть с успехом применен не только для решения ин тегральных уравнений, но и для решения краевых задач для уравнений в частных производных. При этом конкретная фор ма применения данного метода может несколько отличаться от
*) Определение и свойства волновых потенциалов см. в кн.: А. Н. Т и-
хо н о в , А. А. С а м а р с к и й . Уравнения математической физики. —
М.: Наука, 1972.
изложенной выше, хотя общая идея, заключающаяся в факто ризации выражений вида (63), (65), всегда составляет основу метода. В качестве типичного примера рассмотрим следующую краевую задачу для уравнения Лапласа.
П р и м е р 3. В верхней полуплоскости у > 0 найти гармо ническую функцию, удовлетворяющую при у = 0 смешанным краевым условиям
и(х, 0) = е“ ах, |
а > 0, х > 0, |
(132) |
^ ( х ,0 ) = 0 , |
х < 0, |
(133) |
и стремящуюся к нулю при у —> оо.
Для решения этой задачи мы воспользуемся приемом, часто употребляемым в математической физике. Решим сначала кра
евую задачу (132), (133) для уравнения |
|
Аи — х 2и —0, |
(134) |
где х 2 = IUQ, щ > 0, а затем в полученных формулах перей дем к пределу при к 0. С помощью метода разделения пере
менных1) легко получить интегральное представление общего решения уравнения (134), убывающего при у —>■ оо, в виде
ОО
и(х,у) = J f(k)e~y,yetkxdk^ |
(135) |
-ОО |
|
где f(k) — произвольная функция параметра k} а ц = у/ к2 + >tr2, причем взята та ветвь корня, которая является непосредствен ным аналитическим продолжением арифметического значения корня /х = \к\ при ус — 0. Отметим, что при этом Re f i > 0
при —оо < к < оо, что и обеспечивает убывание функции (135) при у -¥ +оо. Функция (135) будет удовлетворять граничным условиям (132), (133), если функция f(k) удовлетворяет функ циональным уравнениям
ОО
J |
f(k)eikxdk = е“ ах, |
х > 0, |
(136) |
—ОО |
|
|
ОО |
|
|
|
/ |
f(k)L(k)eikx dk = 0, |
х < 0, |
(137) |
— ОО
где введено обозначение L(k) = у,(к) = у/к2 + я1. Решение зада чи (136), (137) легко может быть построено, если функция L(k)
J) См. А. Н. Т и х о н о в , А. А. С а м а р с к и й . Уравнения математической физики. — М. : Наука, 1972.
является аналитической функцией комплексной переменной к в полосе т_ < Im к < т+ (т_ < 0, т+ > 0) и в этой полосе может быть представлена в виде
Цк) = (к2 + a?)L+(k) • £_(*), |
(138) |
где Ь+(к) —функция, отличная от нуля и аналитическая в верх ней полуплоскости Im /г > т, причем при |&| -> оо Ь+(к) стре
мится к нулю медленнее, чем к2, а функция L-(k) — аналити ческая в нижней полуплоскости Im к < т+ , равномерно стремя щаяся к нулю на бесконечности.
При выполнении этих условий непосредственной проверкой легко убедиться, что уравнениям (136), (137) удовлетворяет функция
= (fc2+ a2)L+(fc) = L(k) |
^139^ |
где постоянная С определяется из условия
Действительно, подставляя в интеграл (136) первое из равенств (139), замыкая контур интегрирования дугой полуокружности бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости, инте грал по которой в силу леммы Жордана равен нулю, на осно вании (140) получаем, что интеграл (136) равен е~ах при х > 0. Аналогично с помощью леммы Жордана, примененной к инте гралу по дуге полуокружности бесконечно большого радиуса в нижней полуплоскости, при х < 0 легко установить справедли вость (137) для функции f(k), определенной второй формулой (139). Итак, решение рассматриваемой задачи связано с возмож ностью представления (138). В данном случае функция Цк) =
= у/к2 + х 2 в силу указанного выше выбора ветви корня явля
ется однозначной аналитической функцией, отличной от нуля |
в полосе Im (ix) |
< Im к < —Im (ix) |
(Im (ix) |
< 0). Рассмотрим |
функцию |
L(k) _ |
у/к2 + х 2 |
|
|
|
|
у/к2 + а2 |
у/к2+ а2‘ |
|
Эта функция при а > — Im (ix) также является аналитической
и отличной от нуля в данной полосе, причем L(k) -> 1 при \к\ ->• оо. Поэтому в силу леммы 2 требуемая факторизация функ
ции L(k)} а следовательно, и L(k) возможна. Легко видеть, что функции
М * ) |
= н г |
L-(fc) = ^ 5 5 |
(142) |
T V / |
к + га |
4 ' к —га |
4 |
' |
удовлетворяют всем поставленным требованиям. Тогда на осно вании формул (135), (139), (142) получим интегральное пред
ставление решения уравнения (134), удовлетворяющего услови ям (132), (133) и убывающего при у -¥ +оо, в виде
СЮ
|
" < ■ ' » > - / л т е г п д " ' " е* ' л ' |
( ш ) |
|
|
—оо |
|
|
|
где постоянная С на основании (140), (142) равна |
|
|
|
|
С = ^ 'а + ы . |
|
|
(144) |
|
|
|
27Г1 |
|
|
|
Перейдя в (143), (144) к пределу при х |
0, получим интеграль |
ное представление решения исходной задачи |
|
|
и(х,у) = |
^ e x p |
( - i f ) |
ОО |
|
2гт |
|
J у/к (к—га) |
|
|
|
|
|
eikx dk = |
^ x |
|
|
|
0 |
—оо |
|
оо |
|
|
|
|
|
э—к у + г к х |
|
|
|
|
|
|
ехр |
Н т ) / |
^ |
,( Г - , а ) ^ ' + еХР H i ) / у/к(к—ia) dk |
|
|
|
|
|
|
(145) |
Сделаем в первом интеграле (145) замену переменной интегри
рования, положив к1 = |
—к. Так как |
|
|
0 |
|
оо |
оо |
|
[ |
% ■ dk! = |
- [ |
dk = е™ [ |
S --T kx dk, |
J |
у/—к'(к* —га) |
J у/к(к + ia) |
J |
у/к(к + ia) |
—по |
|
п |
о |
|
(146)
то (145) принимает вид
|
ОО |
— к у —г к х |
|
|
|
ОО |
g—ky+ikx |
|
ехр |
М)/ |
у/к(к+ ia) |
|
|
H i ) / |
у/к (к —ia) |
dk |
|
— dk + ехр |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
—k y + i k x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= — R e |
ехр |
H |
i ) / |
4 =----------dk |
• (147) |
|
|
7Г |
|
у/к (к—ia) |
|
Для вычисления интеграла (147) рассмотрим интеграл
ОО
J ( a , P ) = J |
d£. |
(148) |
