книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы
..pdf
|
|
s 3. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ |
171 |
дуот, |
t |
|
__ |
что сг,\г = OJV п. н., и тем самым доказана потраекторная един |
|||
ственность решений |
(3.1). Из теоремы 1.1 и из |
теоремы 2.3 сле |
|
дует |
существование |
единственного сильного |
решения*) урав |
нения |
(3.1). |
|
|
Существование сильпого решения может быть доказано более непосредственно с использованием метода последовательных при ближений следующим образом. Для простоты предполагаем, что условие Липшица (3.2) выполняется глобально, т. е. существует константа К > О такая, что
II о (х)— о (у) II2 + 1Ъ(х) — Ъ{у) II2 < К |х — у I* для всех ж, у <= Rd. (3.3)
Тогда, изменив при необходимости константу К, мы можем пред положить, что
||а(.г)||2 + ЦЬ (*) |2 ^ К{ |х|4 + 1) для всех a ; e R d. |
(3.4) |
Дальше мы в принципе повторяем то же доказательство, что и для теоремы Ш-2.1. Пусть x ^ R d фиксировано. Для задаппого r-мерпого броуновского движения В = (B(t)) определим последова тельность d-мерпых непрерывных процессов Х„ =(X„(t)), п = = 0, 1, 2, ..., равенствами
XQ(t) = |
x, |
|
|
|
||
|
|
|
t |
|
t |
|
Xn(t) = |
x + j |
a(Xn^1(s))dB(s) + |
j b(X n- i («))& , n = |
1, 2, . . . |
||
|
|
|
0 |
|
0 |
(3.5) |
|
|
|
|
|
|
|
Положим |
|
|
|
|
||
И |
H ) — X n ( t ) = |
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
i |
|
= |
J 1° (X„ (*)) - |
a (Xn^ (S )) dB (8) + |
j [b (Xn(s)) — b (Хп_г(,))) ds = |
|||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
= ^i(i) + T2(f). |
|
Согласно неравенству Колмогорова — Дуба |
|
|||||
Я (sup |
l / 1( s ) n < 4 £ ( | /1(«)n = |
|
|
|||
= 4E ( j |
1 a (Xn(,)) _ a (Xn_ x (*)) f |
ш \ е {\Хп(*) _ X |
^ (*) |*)ds. |
|||
') Пространство Wd здесь заменяется через W d.
172 |
ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так же, если t е [0, |
2’], |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
\\\b(Xn(s ))-b (X n^(s))\\ds |
|
|||
|
|
|
|
.0 |
|
|
|
|
< ТЕ ( j |
IIЪ (Хп(S)) - |
|
Ъ (Хп^ (s)) f |
d s ] < |
ТК f Е (| Хп(s)-X n^{s)\*)ds. |
|||
Vo |
|
|
|
|
/ |
о |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е ( sup 1Х „+г(s) - |
Хп(S) |2\< |
2К (4 + Т) f Е (\ Хп (s) - |
Хп-г (s) |a)ds, |
|||||
\0 |
|
|
|
/ |
|
|
Q |
|
и поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
Е ( sup |
I Хп+1 (s) — Хп (s) \*\< |
|
|
|
|
|||
\ Q < s < 4 t |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
*1 |
* n —1 |
|
|
|
< { 2 Я ( 4 |
+ |
Г)}И| Л 1| ^ 2 . . . |
f d tn E ^ X .iQ -X ^ tn )^ ). |
||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
Так как |
|
|
|
2E (Iо (x) В (t) 1* + |
|
|
||
E (| X, (t) - X0 (t) |2) < |
|b[(x) |a ta) < |
|
||||||
|
< |
|
2 (Iо (x) |Pt + |
1|b (x) f |
ta) < 2K (1 + |
T) T (1 + |x \% |
||
то имеем
E ( sup |Xn+1 (t) - Xn (t) П < const {2К (4 + T)}n T n/n\.
\0<«r |
) |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
P f sup I Xn+1 (t) - X „ (t) |> 1/2” l < |
const {8Я (4 + |
Г)}" Tn/n\. |
|
\o<(<r |
J |
|
|
Согласно лемме |
Бореля — Кантелли |
мы находим, |
что с вероят |
ностью единица Xn(t) сходится равномерно на [0, Г], и так как Т было произвольно, то l i m Хп(t) = X (t) определяет d-мерный
П -»оо
непрерывный процесс, который, очевидно, является решением (3.1) .
Это |
решение имеет вид Е ( х , В) для некоторой функции F(x, |
w) |
|||
на |
R1 ® W , |
так как |
каждый Хп имел такой вид. Таким образом, |
||
X — сильное |
решение |
(3.1); |
единственность очевидна н силу |
тео |
|
ремы 3.1. |
Липшица |
(3.2) |
для потраекторной единственности |
ре |
|
Условно |
|||||
шений уравнения (3.1) можпо значительно ослабить п случае |
d = |
||||
= 1. Для простоты мы формулируем теорему в глобальном виде, предполагая, что о(х) и Ь(х) ограничены, по она может быть ло кализована, подобно теореме 3.1, очевидным образом.
|
|
|
|
§ 3. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ |
|
173 |
U |
Т е о р е м а |
3.2. |
Пусть*) d — r = 1, и предположим, |
что о(х) |
||
Ь(х) |
ограничены. Предположим далее, что удовлетворяются сле |
|||||
дующие условия-. |
|
на [0, |
°°) |
|||
|
(I) |
существует строго возрастающая функция р(и) |
||||
такая, чтор (0) = О, |
J р~2(и) du=с» и |о(ж)— о(у) I < p(|z —у\) |
для |
||||
всех **) |
х, у е |
R1; |
0-г |
|
|
|
|
на [0, °°) |
|||||
|
(П) |
существует возрастающая вогнутая функция к(и) |
||||
с |
&(0) = 0, [ к~1 {и) du = оо и \Ь(х) —Ь(у)\ < к(\х — у\) |
для |
всех |
|||
|
у е |
о+ |
|
|
|
|
х, |
R 1. |
|
|
|
|
|
Тогда для уравнения (3.1) выполняется условие потраекторной единственности решений и, следовательно, оно имеет единственное
сильное решение.
С л е д с т в и е . Если о удовлетворяет условию Гёлъдера с пока зателем 1/2, а Ъ удовлетворяет условию Липшица, то для уравне ния (3.1) в случае d = 1 выполняется условие потраекторной един ственности решений.
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы |
3.2. |
Пусть 1 > а 1> а а> . . . |
|||||
. .. > а„ > |
. .. > |
0 определяются равенствами |
|
|
|
|||
1 |
|
|
°1 |
|
ап—1 |
(«)du=га, ... |
||
\p~2(u)du^ 1, |p~2(u)dw=2 , |
J |
р - 2 |
||||||
оу |
|
|
а2 |
|
аП |
|
|
|
Очевидно, |
что |
а„ |
0 при п -► °°. Пусть фп(и), |
п = 1, 2, |
. . — не |
|||
прерывная фупкция такая, что ее носитель содержится в |
(ап, ап_,), |
|||||||
|
|
|
|
|
“n-i |
|
|
|
|
0 |
^ |
Фп(“ X |
2р~2 (и)/ге и |
j |
фп(и) d u = I. |
|
|
°п
Ясно, что такая функция существует. Положим
Иv
фп(х) = j dy j ф„(и) d u , x <= R1.
оо
Легко видеть, что (pnGC^R1), [фп(^)|^1 и ф„(а;)1 Ы при и -*-<». Предположим, что нам заданы два решения (X,(t), B,(t)) и (X2(t), B2(t) ) на одном и том же вероятностном пространстве с
одним и |
тем |
же потоком |
такие, что Х 1(0 )= Х2(0) = ж и |
" B2{t) (= B(t)) п. н. Тогда имеем |
|||
X i (t ) - |
(t ) = |
( |
t |
j [oiX, (,s)) - |
o{X2{s))] dB (s) + J[b ( X ^ - b i X ^ d s |
||
|
|
о |
0 |
*) г может быть произвольным. Мы 'предполагаем г = 1 только для про
стоты.
**) Это изящное условие для а найдено Ямадой [186], усовершенствовав шим идею Танаки [162].
174 ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
и, согласно формуле Ито, t
Фи (X, ( t ) - Х 2 (t )) = J Ф; {X, (s) - Х 2 ( S ) ) [о (Хх (s)) - <т(Х2 (s))] dB (s) + |
|
О |
|
t |
|
+ f ф; (X, (s) - |
Х 2 (s)) [b (Xx (s)) - b (X2(s))] ds + |
О |
t |
|
|
+ -J j |
(Xx (S — x 2(s)) [o (Xx (*)) — о (X2 (s))]a ds. |
0 |
|
Так как математическое ожидание первого члена в правой части равенства равно нулю, то
t
E[<pn(X1( t ) - X 2(t))] = E |
j |
Фп (Х^.?)—X 2(s)) {b(X1(.9))-b(X2(s))}ds |
+ |
||||||
|
: + Т * |
| ф; (X, (s) - |
Х 2 (s)) {о (X, (S)) - |
а (Х2 (з))У d e l |
= |
11 + |
/ 2. |
||
|
|
|
О |
|
|
J |
|
|
|
По неравенству Иенсена |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
K |
X |
f £ [ 1 4 ^ (s) ) - b ( X 2(*))(] |
|
|
|
|
|||
|
|
О |
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
< |
J E [к (I X, (s) - |
X 2 (a) I)] ds < |
f к [Я (IX x (*) - |
X a (*) |)] d* |
|||
|
|
|
о |
|
' |
о |
|
|
|
И |
1< |
-j j( 5[4P~2 о |
|
|
|
|
|
|
|
I ■/ , |
- |
* 2 (S I) P2 (I X, (s) - X 2 (s) 1)] ds < |
t/n->0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
при |
га—►oo. |
||
Следовательно, устремив n к °°, получим
<
Я (| X x (t) - x 2 (t) I X J к [E (I X x (s) - X 2 (s) |)] ds.
0
Так |
как [ к-1 (и) du = + оо, |
то из верхнего неравенства следует, |
что |
0+ |
поэтому X,(t)= X2(t) п. н. Тем са |
£"(IX ! (t)—Х2(<) 1)== 0, и |
мым доказана потраекторная единственность для (3.1).
Условие непрерывности для функций о в теореме является в известном смысле неулучшаемым. Действительно, предположим для
$ 3. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ |
175 |
||
простоты, что Ъ{х) = 0 и с { х ) — такая функция,- что |
о(ж0) = 0, |
||
*„ie |
|
|
|
J о '2 (y)dy<i оо я а{х)> i для \х— ха\> е. Тогда уравноние |
|||
«о-в |
|
|
|
dX (t) = |
a(X(t)) dB(t), |
(3.6) |
|
. X (0) = |
х0 |
||
|
|||
имеет бесконечно много решений. Очевидно, X(t) = x0 является ре шением. Кроме того, для одпомерпого броуповского движения b(t)
с Ь(0) = 0 положим |
для каждого р > 0 %(t) = ха + b(t), Ap(t) = |
ОО |
t |
■=2 J q>(t,y)c~2(y)dy+ (xv(t,x0 = § c ~ 2{l(s))ds+pq(t,x0 a X p(t)=
—оо |
о |
|
= |(ЛрХ(4)), где Ар1— обратная функция к |
Ap(t), a <р(£, у) — |
|
локальное время процесса*) |
%{t). Тогда Xp(t) |
является регаепием |
(3.6), так как Mt = X p(t)— ха— непрерывный мартингал с
A p \ t )
t
<Ar>£=V(0= J |
оЧ1(*))^Р(5) =|о2(ВД)* |
о |
о |
(см. предложение 2.1). Нетрудно видеть, что вероятностные зако ны процессов А'р различны для различных р.
До сих пор мы рассматривали только условия для потраскторпой единственности**). Существуют также важные результаты о едипственпости решений по распределению, принадлежащие в ос новном Струку и Варадану [157] и Крылову [94]. В частности, Струк и Варадан доказали, что выполняется условие единственно
сти решений |
для |
уравнения (1.3), если |
только |
матрица a(t, х) = |
|
|
|
|
Г |
= о (i, x)a(t, |
х)* |
(покомпонентно, ay (f, х ) = |
2 СТИ t, x)dk{t, х)) |
|
непрерывна, |
ограпичепа н равномерно |
|
fc=l |
|
положительно определена, |
||||
а b(t, x) = (b'(t, х)) ограпичепа и измерима по Борелю. Здесь мы довольствуемся рассмотрением только одного частпого случая это
го красивого и важного результата. |
|
уравнение |
|
Т е о р е м а 3.3. Рассмотрим однородное во времени |
|||
(3.1). Если а(х) = а(х)а(х)* |
равномерно положительно |
определе |
|
на, ограничена и непрерывна, |
а Ь(х) ограничена |
и измерима по |
|
Борелю, то выполняется условие единственности решений. |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы |
предполагаем, что |
Ъ(х) = |
0; общий |
случай получается преобразованием сноса, которое обсуждается в
*) Глава III, § 4.
**) Кроме случаев, которые покрываются теоремами 3.1 и 3.2, мало что
известно о потраекторной единственности и существовании сильного решения. См. [129] и [50].
*76 |
ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
|
следующем параграфе. Положим |
|
|
|
Ап*) - т 2 |
с ’ («')• |
|
i»j=l |
|
Согласно предложению 2.1 достаточно доказать, что если Рк— ве роятность на (Wd, &(W d) ) такая, что
(I) |
Pxiw: ш(0) = х} = 1, и |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
(И) |
/ (ш (i))— / («?(0))— J (Af) (w(s))ds является |
(JP « , (Wd))- |
||||||||
мартингалом для |
/ е |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
Сь (Rd), |
|
|
|
|
|
|
||||
то |
определена |
единственным |
образом. Как |
мы |
увидим в след- |
|||||
ствии |
теоремы |
5.1, |
достаточно |
доказать, что |
г ~ |
_ |
||||
Ех |
|е |
Mf{w(t))dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Li> |
|
|
определяется единственным образом для каждого |
/ e C t (Rd) , т. е. |
|||||||||
для любых двух |
вероятностей Рк и Рх |
на (Wd, ^ (W d)), удовлет |
||||||||
воряющих (I) и |
(II), |
Г 00 |
|
|
|
|
||||
|
|
оо |
|
"1 |
|
|
”1 |
(3.7) |
||
|
Ех |
§ e-ktf{w(t))dt\ = Е'х |
j |
e~ktf(w (t))dt I |
||||||
|
. 0 |
|
J |
lo |
|
|
J |
|
||
для каждого / е |
C(,(Rd). Мы получим |
этот результат с |
применени |
|||||||
ем метода возмущений к винеровской мере. Сперва мы покажем, что существует положительная постоянная е такая, что если а(х) — = (аи(х)) удовлетворяет условию
\ai!(x)—6Ч|«£ е для всех x e R * и г, / = 1, 2, ..., d, |
(3.8) |
то для любого х и любых двух вероятностей Рх и Рх, удовлетво ряющих (I) и (II), выполняется равенство (3.7).
Теперь мы перечислим некоторые аналитические свойства опе раторов, связанных с броуповским движением, которые нам пона
добятся в последующем изложении. Положим |
|
||
gt (*) = |
(2nt) ~ d/2 exp ( - !|12) , |
t > 0, |
х е= Rd, |
|
СЮ |
|
|
vx(x) = |
j e~ugt(x)dt, |
Я > 0 , |
x e R d, |
И |
О |
|
|
|
|
|
|
(Vi.f){x) = J v%{x — y)j (y) dy.
Rd
Тогда справедливы следующие предложения. Пусть к > 0 фикси ровано.
|
|
|
|
|
8 3. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ |
|
|
|
|
|
|
177 |
|||||||||
(1) |
V *,— ограниченный |
оператор, |
отображающий |
S ’, (К*) |
в се |
||||||||||||||||
бя, такой, |
что |
HVjJI, |
HvA = |
1Л,. Это |
предложение является |
след |
|||||||||||||||
ствием |
хорошо |
известного |
неравенства |
Хауедорфа — Юнга. |
|
||||||||||||||||
(2) |
Если |
|
|
|
1, |
то |
существует |
константа АР, |
|
зависящая |
|||||||||||
Только от р и d, такая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
I |
^ / ( ж)К Л 1 /| р |
Для всех |
|
(R d) |
и a?'eR d. |
|
|
|||||||||||||
Действительно, согласно неравенству Гёльдера |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
и |
|
IУif (*) К II Vxiq|/ ||р, |
где |
i/p+[l/q = l, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
_—Tl |
— ^ |
|
|
|
|
|
||
|
Йvx|g |
0 |
|
II |
|
|
|
const § e~Ktt |
2 ' |
9 'd t< o o t |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eCjm4 |
( l - i . ) = |
|
| ; < 1- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(3) |
Для каждых |
i |
и |
uV f |
для ♦) / е С к (R d) |
может |
быть |
||||||||||||||
j |
|
||||||||||||||||||||
продолжен до ограниченного оператора, отображающего |
2 ’P(R<) в |
||||||||||||||||||||
себя для каждого |
|
р > |
1, т. е. существует константа |
Ср, |
зависящая |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
d V ,/1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
только от р и d, такая, что |
д х гдх* |
pj |
C J /L . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
—:—И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Доказательство |
|
в |
случае |
р = 2 |
|
легко проходит с |
применением |
||||||||||||||
преобразования |
Фурье, |
а |
в |
общем |
случае |
приходится |
|
обратиться |
|||||||||||||
к глубокой Й’р-теории для сингулярных интегралов |
(см. |
[152]). |
|||||||||||||||||||
Предположим, |
что |
a(x) = (ai}(x)) |
удовлетворяет |
(3.8), |
и |
пусть |
|||||||||||||||
Рк— вероятность |
на |
(Wd, |
&(W d ) , удовлетворяющая |
вышеприве |
|||||||||||||||||
денным условиям |
(I) |
и |
(II). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex [/ (w (*))] = |
/ (х) + |
j Ех [(Af) (w (s))] ds |
для |
/ <= Сь (Rd) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, для фиксированного %> 0 и х е |
Rd |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ЬЕХ | e~uf {w (*)) |
|
= |
/ (х) + |
Е х р |
(Af) (w(* )) * ] . |
|
||||||||||||||
Поэтому, |
обозначив Е х |
J e~Mg (w (t)) |
|
через |
p * (g), имеем |
|
|||||||||||||||
|
|
>“ ■( y |
- 1 |
д/ ) |
- |
/(x ) + 4 |
н |
( |
д |
« « (•) J£ |
J (•)). |
|
|||||||||
•) CK (Rd) —пространство С00-функций на ft* с компактными носителями,
12 С. Ватанабэ, Н. Икэда
478 |
|
|
|
ГЯ. IV . СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
cii(ij)^ ail(y)~ б«- Положив |
/ = VJi |
для |
h е |
C%(Rd), |
полу |
||||||||||
чаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
» |
- |
|
1 |
{ 4 * |
4 |
divxh |
'l |
|
|
||||
|
|
v ih (x) + |
|
2 |
/ |
Д |
7 |
<->)■ |
|
|
||||||
Применив вышеприведеппыо свойства |
(2) |
и |
(3) |
для р > d/2 V 1, |
||||||||||||
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|П, (h) К |
Ар|h ||р+ |
|
d2Cp sup |
|^ |
(/) 11|h |р. |
|
|
|||||||
Следовательно, если sup |р*,(/) I = |
IM-xle< |
°°» |
то мы можем заклю- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
ИЛ1р<1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чить, что ll^ll9 ^ ^ p / ( i — Y ^ C p ) |
для |
всех |
е > 0 |
таких, |
что |
|||||||||||
1— 1 d1 Cp > |
0. Это можно проверить следующим образом. Положим |
|||||||||||||||
|
2/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y m(t, w) = |
w |
|
A ту |
t е |
[к/2т , (/с + |
1)/2т ), |
|
* - |
0, 1, |
|
|
|||||
Ж |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xm(t, w) = х + § a(Ym(*)) |
(s), |
|
|
|
|
|||||||
где B = (B (t, |
w) ) — d-мерное |
(Jf, (Wd) ) -броуновское |
движение |
та |
||||||||||||
кое, |
что |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w(t) = x + |
[ о (w (s)) dB (s) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. теорему II-7.1). Тогда легко видеть, что распределение РЫ |
||||||||||||||||
процесса (Xm(t)) |
сходится слабо к Рх и, в частности, |
|
|
|
||||||||||||
|
lAm)(/): |
|
Я* |
J e -w/(X m(t))* |
М/)> |
|
/ e C b(Rd). |
|
|
|||||||
Так |
как |
(u;(£), t <= [/c/2m, |
(& + l)/2 m)} |
является |
относительно регу |
|||||||||||
лярной |
условной |
вероятности |
Рт(• |
|
(V)) линейным |
преоб |
||||||||||
разованием d-мерного броуновского движения посредством постоян
ной матрицы a(w(k/2™)), то из |
(2) мы видим, что |
|
| р П , - sup |
]e ~ Mf(X m(t))dt^ |
о о . |
Мр<1 |
|
|
Далее, аналогичными рассуждениями получаем |
|
|
U w)lg< ^ |
/ ( 1 - | r f 4 7 p) . |
|
§ 3. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ |
№ |
Наконец, устремив т к |
получим |
П т | | р П ,< AV/ (l - f d * C p)
|
|
т - * о о |
/ |
V |
|
' |
||
Пусть Рх — другая вероятность |
на (Wd, ЗВ(Wd)), удовлетворяю- |
|||||||
щая |
вышеприведенным |
условиям |
(I) |
и (II). Тогда для каждого |
||||
фиксированного х и |
/ е |
Ск (Rd) |
имеем |
|
||||
где |
Рх(/) = |
(х) + |
Рх№ ./) |
и Рх ( /) = ^ x/fa) + M Kif)> |
||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ V |
|
|
|
* х Ш |
= 4 - 2 |
cW(^) |
(У% |
||||
|
|
|
|
i,j=l |
|
|
dx^dx1 |
|
a |
определяется |
так |
же, как и |
р*, |
|
только по мере Рх- Следо- |
||
ватсльпо,(рх — рх)(/)==(рх — Рх) (#*/)• Но ЦЯа/11р< 1 Г бСр1/11р- По этому
„suP | (р х — Р х ) (/)1 |
еСр su p |
I (Р*. - |
Р х) (/)1. |
Н/11р^1 |
М \ р < 1 |
|
|
и, следовательно, если выберем |
е > 0 |
такое, |
что -g-eCp< 1, то |
Рх(/) = Рх(/)-
Таким образом, мы доказали единственность вероятностей
{Px}x^ d |
в том случае, если |
av(x) удовлетворяет условию |
(3.8) |
для е > 0 |
сР |
1. Очевидно, матрица (б«) |
может |
такого, что -j еСр< |
быть заменена любой положительно определенной постоянной мат
рицей |
С = (Си), а е > 0 |
может |
быть выбрано независимым от Су |
||
если |
только |
А ^>,(С,)^ ^ (С ,) < |
В для пекоторых |
положительпых |
|
копстант А |
и В, где X (С) |
и к (С) — паимепыпее и |
наибольшее соб |
||
ственные значепия матрицы С соответственно. Теперь мы изба вимся от ограничения (3.8) следующим стандартным методом ло кализации. Положим
т (и?) = inf t; max |av (w ( t ) ) — ali (w(0)) j ^ e
Тогда из получепного нами результата следует, что для любой {Р'х\*
удовлетворяющей |
(I) и (II), |
|
|
|
|
|
||
Рх \wx е А) = |
р'х \wx е |
А) |
для каждого- х |
и |
А е 9g (W d), (3.9) |
|||
где |
Wx е W d определяется |
равенством |
wj (и) = |
ш(т Д и). |
Обозна |
|||
чим |
Рх {и>т е 4 }, |
х <= Rd, i e |
AS(Wd), |
через |
р{х, А). По |
теореме |
||
12*
180 ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Дуба о преобразовании свободного выбора нетрудно убедиться в том, что если в — (&t(Wd) ) -момент остановки такой, что PX(Q< «>)==
=1, |
то для |
Рх-почти всех w |
PW(A) = |
Px{w$ е А\ ^ e (W d)), |
4 е |
|||||||||
<=,$(W*), удовлетворяет вышеприведенному условию (II) |
и*) |
|
||||||||||||
|
|
|
p ' w ( w w' ( |
0 |
) |
w(Q= |
(w))) = |
1 . |
|
|
||||
Здесь u?e e |
W d определен равенством |
( W Q ) ( U ) |
= w(Q + и). Исполь |
|||||||||||
зуя это предложение, нетрудно вывести следующее: пусть |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
т0И |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
t 1(w) = |
x(w), |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
т2(ш) =ii(w ) +т(и?^), |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Тп+х и |
= |
Т„ (ц>) + |
т|(и^п) |
|
|
|
||||
И Фnw = fw t)-/ |
+ \, |
п = 0, 1, . |
. |
тогда |
|
|
|
|
||||||
Рх{w\ ф0и>е Ай, ФХИ7 e |
i „ . |
. |
Ф„н; е |
Ап} = |
|
|
|
|||||||
= |
j р{х, dwa} |
j р (ш0 (т (w0)), d w j ... |
J р (^п_1(т(и;п_ 1)), dwn) = |
|||||||||||
|
А 0 |
|
A y |
|
|
|
|
|
|
А п |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Р* {ю; Ф0н> <= Л» Фх» е= Аг, . . . , Фпн; <= Л,}. |
|||||||||
Так как т„ (ш) |
оо для каждого w, то отсюда следует, что Рх = |
Рх. |
||||||||||||
|
§ 4. Решение посредством преобразования сноса |
|
|
|||||||||||
и замены времени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Некоторые стохастические дифференциальные уравнения могут |
|||||||||||||
быть решепы |
(т. е. мы можем |
показать |
существование |
и един |
||||||||||
ственность |
решений) несколькими вероятностными методами. Эти |
|||||||||||||
методы иногда применимы даже к тем уравнениям, которые не |
||||||||||||||
охватываются теоремами, полученными до сих нор. |
|
|
||||||||||||
|
4.1. |
Преобразование |
сноса. |
Пусть |
(й, |
ЗГ, Р) — вероятностное |
||||||||
пространство с потоком |
(^"i). В дальнейшем мы предполагаем, что |
|||||||||||||
(Й, ЗГ, Р) |
и |
|
о обладают |
нижеприведенным свойством: |
|
|||||||||
Допустим, |
что для каждого |
|
|
0 р( — вероятностная мера |
|
|||||||||
на (й, ^"(), абсолютно непрерывная относительно Р и такая, |
||||||||||||||
|
что сужение р, |
на ЗГ, совпадает с р, для любых t > s > 0. |
|
|||||||||||
Тогда существует вероятностная мера р на |
(Й, ЗГ) такая, |
что |
||||||||||||
|
сужение р на |
t совпадает с р( для каждого |
0. |
(4.1)’ |
||||||||||
*) Си. следствие теоремы 1-3.2.