книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

282

ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МПОГООНРАЗИЯХ

Согласно

(5.10)

ясно,

что

u(t,

•) — единствеишое решение

уравне­

ния (5.1). Таким образом,

уравнение

теплопроводности

(5.1) для

т ензорных полей решается единственным образом.

Далее рассмотрим уравнение

(5.4)

для дифференциальных форм.

Пусть

а

(х) =

i

х )(dx1•Д d x Д•••

Д d xl‘'

является р-формой.

Так как

риманова

связность есть

связность без кручения,

то имеем

( ^

Л ..Лр_г =

J W

l)v—1Vi ot.

-

i-l

(5.13)

' .

tv 4--.iv

где знак

~

обозначает

пропуск. Комбинируя

это

соотношение с

(4.53),

легко

видеть,

что

(И г^-.Л р-! =

-

jrif,V/£0Ciii...ip_ i: =

-

.

(5.14)

В силу

(5.13)

и (5.14)

ЯГ

< *«)., V

,

-

2

( -

(

S

d

a

)

V

V iva i i r

..?v ...ip*

Далее, ясно, что

(U a)i1i2...ip =

У У{агрг .Лр — ^2 (— 1)

(У

У Угу) ан,..Ду.-Л

Отметим тождество Риччи

(5.15)

(v,vh-

y ky l)oLilit...i{l =

Д

^

: ;осч...ч,_1Лч.+1...{р

где

B)hl

= —%f/’j l ----—, (ft*;}

+

(Ь

it U’a)

(A jl

li’al)

d x

O x 1

(— a)i1i.r ..ip —

^2 (

1) R-h-ivahi1...?v...i

- 2

|X<VS

( - i r v< 4 * , M 1r . . V . Vу

Vv

(5Л6)

Соотношение (5.16) называется формулой Вейтзенбока

[132],

[39].

Для 1-формы а = аi(x)dxi

C .ja)i = (Аос)» + В\а:,

(5.17)

§ 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

285

гГ"Ч>

н;) v i

ц;( 0 ) -

EilV ..ip(0, г) = мартингал +

t

+

+

T Ao<M)E;lj2...;p)(s, w(s)) ds -

О

/,

f

г>

. .

{

E

(

-

к о ^ > ( * ) ) ^ , и *» +

0

'v”=>

+ h '2%

V ( - i r

+^ / f e : : j

! I',j*‘+s- iv'Jv и - ^ (a, W) J H 1 (W is)) X

j i <

v

x

V}i}r..}ll(s,

H7(s))Jda = мартингал +

t

+

M i

v +

i

^ « 4 л . л , < * ” W>*' (5'20)

координатную

окрестность

U и

систему локальных координат

ж = (ж\ ж2, ..., жД в U так, что xd^

0 для всех x^U, а ж е ( / П дМ

тогда и только

тогда, когда

xd=

0. .Касательный в точке ж дМ

280

ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

вектор п ( х ) = n i (x ) ^ i i задаваемый равенством;

n,(x) = gti{x)/1gti(x), i = 1, 2,

d,

(6.1)

IL{x)==ni{z)lL(x),

X <==дМ,

(6.2)

называется нормальной производной

функции

/ в

точке х. Пусть

„ijij.-.ip

__

fij'S.-' .

4

°h>2~’p —

a ei1»2...id— кососимметрическое

(0, d) -тензорное

поле, определен­

ное равенством

гНЧ- Ч(J ) =

V

det (*tf(*)) $ Х

Л-Ч‘

(6.3)

*

2

,(*)

l!2 -iP(x)

(6.6)

“ jpj.-.jrf--P(*) =

P

и

;

lh (r)•• . g'pip

абч-

'P (x) =

(OCj :

}p(x).

•'l'2

0ПГГП

0 * 0tan>

Пусть Т1(ж)— дифференциальная 1-форма такая, что

т|Ьм(ж)= r\i{x)dx\ xezdM,

(6.7)

где тр(а:)= gu{x)ns(x), а п’ (ж)

определен

равенством

(6.1). Тогда

легко видеть,

что сужение

(— l),'w“ ,,,‘H' 1 [* (*0

Д П] А П Iэм

/ьформы ( —

[* (*0 < т])] Д ц

единственным

'образом

определяется по 0 и совпадает с 0nOrm.

§ 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

287

О п р е д е л е н и е 6.1. Будем

говорить,

что дифференциальная

форма

0

удовлетворяет

абсолютным граничным

условиям,

если

0„„гга =

0

И (<20)norm =

0 ([148]).

(5.4) с абсолют­

Мы хотим решить уравнение теплопроводности

ными граничными условиями, а именно решить задачу

д а

dt =

Т

(6. 8)

Я [/—0 =

/>

Я цоггп =

0 ,

(<2а)погт =

О,

где

является

заданпой р-формой.

Чтобы

избежать

неже­

лательные осложнения мы ограничимся случаем

1-форм.

Вблизи

границы мы можем выбрать координатную окрестность U и систе­

му локальных координат х = (х\ х2, ..., xd в U

так, что

выпол­

няются следующие условия: *)

(III)

тензор

метрики

g{x) = ( g a ( x ) )

удовлетворяет

равен­

ствам gi<i(x)= 0 для г = 1, 2,

..., <2— 1.

Легко видеть, что в этой

системе локальных координат

0 e A t(A/)

удовлетворяет

абсолютным

граничным условиям тогда и только тогда, когда

Qd(x) =

0 н г^ОН*) =

0,

i =

1, 2,

. . . , d — 1, х €= U П дМ.

(6.9)

Лт"

Действительно,

0 П О Г И 1 ===

( * ^ ) ^

® ( d 0 ) n o r m

откуда и следует

(6.9).

ортонормированных

реперов

над

М.

Пусть О(М) — расслоение

Если F»(r)= ([Ее];(г))

является скаляризациен

1-формы

0,

т.

е.

[^eli (г) =

0j (■*)е\,

г =

(z\

е]),

то (6.9)

выполняется в том и только том случае, если

fa l^elj (г) =

0 и

1\^

f/'’оЬ (') =

0,

г =

1, 2,

. . . ,

d — 1,

(6.10)

где (/])

является

обратной

к

(ej)

матрицей. Таким

образом, за­

дача Коши (6.8)

для дифференциальных 1-форм эквивалентна сле­

дующей

задаче

Коши

для

R '-зиачпых

эквивариантных

функций

§ 6. СЛУЧАЯ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

289

образом, как и в § 4, мы паходим, что если

то для всех

15= О

gki (Х(0))е-(0)е'(0) =

6и,

gk,(X{t))eUt)e](t) =

8„

выполняется

почти

наверное,

т. е. если

(-Х'(О), е(0) ) е О(М), то

(X(t), e(f) ) е О(М)

для всех

t > 0 п. н. Таким образом, мы имеем

диффузионный процесс r(t) = (X(t), е (t))

на О(М). Этот процесс

ортонормалъных реперов О(М) с отражающей границей.

Пусть

Еи Ег, ...,

Ed— канопические горизонтальные векторные поля:

(LmF) (г) =

егт^г (г) — \ki}(x)eme'j'^(r), (г = (х, е = (е}))),

(6.13)

и i

d

^

&0(М

=

Em(Lm').

(6.14)

Положим

m=i

add (г) =

gdd (х),

(г) -

- ekm(A l (*) gM(*).

(6.15)

Т е о р е м а 6.1.

Пусть

r (t) =

( X (t), e{t) = (em(t))) — горизон­

(I)

Для любой гладкой функции F(t, г)

на [О,

°°)ХО(М)

dF (t, г (0) = (LmF) (t, г (()) dBm(0 +

+ (Y (Ао(М)Р) (t, г (t)) + j f ( t , r

(i))| dt + (l

dF ) (t , r (f)) dip(t)f

где Xd —- горизонтальный лифт векторного поля Xd—

задаваемый

в явном виде равенством

{X dF)(t,r) =

d^-d(t, r) +

« т*(г)

d F

(6.16)

дха '

a dd (г)

dem

(И )

dXd (t)-dXd(t) =

udd(r(t))dt

(6.17)

[dXd (t)-dem(t) =

ofi? (r(t))dt,

m, i = 1 , 2 , . . . ,

d.

Доказательство

(I)’ получается непосредственно из формулы

Ито.

(II) легко

доказывается, если

только заметить,

что

290

ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Из

теоремы 6.1 следует,

что процесс

(r(f))

па

О(М)

опреде­

ляется

дифференциальным

оператором

4“^о(л/)

с граничным

условием XdF = {) на дО(М).

Из (6.17) следует,

что

процесс

(г(£))'

на О(М) с отражающей

грапицсй

W (0(M ) ) = С([0,

<*>)-»• О(М)),

Рг — вероятностный закон

па W ( 0 ( M ) ) решения r(t) уравнения

(6.12) с г(0) = г, и r(£, w)— w(t)

для ш е \ У (0 (1 )).

Для борелев-

РДР) =

P r (P)p(dr),

Ве=$(\\(0(М ))).

Пусть ST=

ООП_______

р

для

любой

вероятности

р

— Л $ (W (О(Л/))) м п SFt =

существует В» такое, что В„ е J?( (W(0(J7)))

и Р„(Л А /?,,) = 0).

Мы

роятностном пространстве

(W (О(М)), ST, Рм). Записывая r(f,

w )= .

— (X(t) = X(t,

w),

e(t) =

e(t, w)),

мы

положим

_

cp(t) =

1

lim 1 f/ [0,е) (X d (s)) g lhi (X (s))ds

0

el0

f

Bi (t) =

С[e («Г 1]! • [dXH(s) -

fi3dq> (*)1.

0

Тогда

{B‘(t)} — d-мерное

t)-броуповское

движение

и

{r(t) =

— r(t,

w), ф(£)} удовлетворяет уравнению (6.12).

относительно

дей­

Л е м м а 6.1.

{Pr)

является

инвариантным

ствия

Та,

а е

0(d),

т.

е.

если

Taw ^ W (0 (M ))

определяется

для

w ^ W (0 (M ))

равенством

(Taw) (t) = Ta(w(t))

и

если

Та(Рг) —

мера-образ

меры

Рт при

отображении

w

Taw, mo

T*(Pr) = PTaT.

(6.18)

с

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

r(t) — решение

уравнения

(6.12)

В (t)

и

ф(£)

такое,

что г(0) — г.

Тогда

для

а е 0(d),

r(t) =

=

Та(г( 0 ) — решение

уравнения

(6.12)

с

B(t) = a~!B(t)

н

<p(i) =

= ф(£)

такое,

что

r(0) = Tar. B (t)~ другое

d-мерное броуновское

движение и, следовательно, (6.12) выполняется

в

силу

единствен­

ности

решения.