книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ I! БРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ

141

V

-V

то (X (<)}

будет

процессом

ВМ°, не­

(Х(<)},

согласно (4.27), по р,

зависимым

от

3~9. Очевидно,

X(t )= а ~ Y(A+(a)~ t)

для

^ Л f (а) — А+ (0) =

Л(а — 0) =

2

а [р (s)]. Проанализируем

«SD^,«<о—0

Р

0 + |>+(0)](О =

часть (У(г): г )= ^ Л +(0)}, где ц =

4 +(0 -)+ in f U:

■==«} =

inf \t: Y (f) =

а).

Для b s (0 ,

а),

согласно

(4.21),

P [0 >

£>]

— P {Arp+[(s, w \ 0 <

s ^ b, s +

m (w) ^

a] =

0) =

=

exp (— £ [N p+ [(s, IP); 0 < s ^ b ,

s + m (ip )> a ]]) =

-

ь

л

=exp

f

ь

- ■ds

=

exp.

S n + { w - , m { w ) ^ a - s } d s

-

J

0

L

о

=

(a — b)/a.

Этим показано,

что

величипа 0 = У(Л+(0)) = а — Х(А(а— 0)) рав­

номерно распределена на (0, а). Далее, если В е

38((0, °°)ХЖ+), то

Е [Ы 0, р+ (0))] = Е ^ sdS

s<0 Ы * <*Р+ (s)) I{s+m[p+(s)]>a)J =

= Е И ds

j

I R (s, w) T{s+mlw]>a} n+ (dw)

=

J

L°

w *

Следовательно, если A e

^f(W [0. »)), то *)

R 1 /а ((У (Л +

ty, 0 <

t <

Л+ (0) - T1))1 =

= E [/A{(0 +

[/>+ (0)] (t + oa_ e \p+ (0)]); 0 < t < a

[p+ (0)] —

— 0 0 -0 \Pb (0)1)}] — E

Г 0

[

Iл{(s + w (l -f

Ga- S(IP)); 0 <

t <

a («0—

j ds

r

1

—

0 o _ , (U >))} I (<7a _ s(u))<a(u))| П +

(d ip ) j =

=

E

j Pa (wa, <= A) n+ {oa_, <

a}ds

=

a

b

a

=

T

J

J

( “

4

G

^ ds‘

0

0

*) Когда

мы

рассматриваем

(У(д +

t):

0 ^

г =g; Л+ (0 )— ц)

как

траекто­

рию в WIOi „ „

то

полагаем

У(ц +

<) =

К(Л+(0))

для « ]5* Л+(0 — ц).

142

ГЛ. XXI. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Другими

словами, {У (ц +

s): 0 < s <

Л+ (0) — ц] яа {а + Х х (s):

0 <

<

s ^

тх} «

{сс2 + -^2 (т 2 — s): 0 ^

s ^ т2}, где (Х 4(s)} — процесс ВМ\

a {X2(S)} -B £ S ° (3 ),

GCI и

аг — случайные величины,

независимые

от

{X ,(s)}

и (X2(s)>,

соотвстствеппо,

равномерно

раснредслонные

на

(0,

а),

х2— inf (s: a + Xi(s) =

a t}

и

t 2 =

sup{s:

a2+ X 2(s) = a}.

Если

{X (0}/e[o,A+(a)] определить

формулой

X(t) = а — У(Л+(а) —

— t),

0s£

(a), то мы

знаем,

2?

0 ^

^

a„ =

что {X (t)}& {B(t):

=

in f{f: B(t) =

a}},

где

— процесс

BM°

и

также

то,

что X(s) =

X (s)

для

0 < $ < Л ( а — 0). Так

как (Х (г)) позависим

от

&~в,

то он

независим

от а — 0 =

Х(Л (а — 0))

и

{Y (s )= a —

—Х(Л +(а) — s ): 0 < s ^ Л+(0) = Л+(а) — А (а — 0)}.

Положим

62 =

= snp {t: t < Л+(a), X (l) —0). Тогда 62 =

Л+ (a) — ц и Л(a — 0) = 6t,

где

6j

определяется

из

равенства

sup

X (к) — X (б,).

Процесс

{X (i + 6,):

0 *£ i < б2 — б|)

совпадает

о<«<л2

0

<

с

{а— К(/1+(0)— t) :

^

Л+ (а) — г|}. Наконец, изучим (X (f + 62): 0 < t ^ А+(а)— б2). Если

/?Л/°-процесс {B(t)} представлен

в

виде

(4.17) посредством

каждого Л

& (W[of оо))

и ограниченного

(@~з)-пуассоновского про­

цесса

|3

Е\Ы Л\(в (s + fi2); 0 <

,9< 0 „ -

62) ] ]

= К [|Д л

(/> (е)оы[р(е)])] =

Е\

i i

^ Л а (р (s)o„[p(«)]) I[m(jj(«))>o]l

—

LsSDjJ,«<e

J

= E

j

Isds J n+ {w; U!^a<= Л, m (w) > a),

где

e — inf (s e DP: m [p (s)]> a l,

aa=

ini {s: B( t ) ~ a),

a

62 =

= sup {t <

a„: B(t) =

:

0> = A (e—). Отсюда

мы

легко

можем

заклю­

чить,

что

{ B ( s + б2)

0*£s ^

о«

— б2) независим от

i B ( s ) :

0< Ж

< б 2}

и его закон распределения совпадает с

н+ (

•

|a >

<ra) =

144

ГЛ. Ш . СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

где

<р(t,

0) — локальное

время X(t) . . в

нуле,

B (t) — другое бро­

уновское

движение,

независимое or

X {t),

с

5(0)*= 0

и </,/> =

=

\\x— — «\f(x)f{y)dxdyJ

.

Rl R*

(I)

доказывается

легко.

Действительно,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

согласно

свойству

автомодельпости

броуновского

движения

SB

_

для

каждого

X >

0. Отсюда легко заклю-

{X ( * ) } »

{я. I/2X(Xi)J

чить, что

{ф (£,

»p(Xt, /Х а )\

для каждого

X >

0. Далее,

ф=. J (f(kt, а) / (a) da

2

J<p(f, а/УТ,) f (a) da.

2

R1

Но

2 j <p(f, a/YT,)f(a)da при

X -+ <» сходятся к 2ср(t, 0) j f(a)da

R 1

R l

X

X

F (*) =

J f (и) dz и

G{x) = jF (у) dy.

— 00

О

Так как f{x)

имеет

компактный

носитель и нулевой заряд, т. е.

7 - 0 , то F(x) имеет компактный

носитель и функция G(x)

огра­

ничена. Соглисно формуле Ито

<

t

G (X (t)) = j F (X (s)) dX (s) +

-iJ/ (X (a) ds.

Поэтому

о

0

и

и

ТЩ j

/ (х (*))* =ГЩ G {X (Щ) -

- j j

F(X (a)) dX (s) = I1 +

I,

Ясно,

что h

-*■ 0 равномерно

по

t при

X -*■ оо п. н. Положим

и

( 0 - - ^

, 1

’ *’ (*(«)) <«(*)•

Для каждого

X > 0

Mx(t) — непрерывный мартингал такой,

что

м

<м х> (

О

*( *( •) ) **,

146

ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Согласно теореме

II-7.3

мы можем заключить, что

Zi (f) =

= У № В (ч (г , о)),

где

B (t) — броуновское движение

с В (0) =

цесса Z(t) определяется единственным образом. В частности, по­

казано, что

сходится по

распределению

к

процессу

Zi(t).

Утверждение (II)

следует, если

заметить, что

</,

/> = 2F2.

Прове­

ряется ото непосредственно следующим образом:

=■ — 2 j J ( j

dz If(x) f (y) dxdy =

— 2 J j

j / (x) f (y) dxdydz =■

» > y \y

)

x

> z

> y

o o o o

z

oo / z

\ 2

oo

«= — 2 j dz j / {x) dx j

f{y )d y = 2 j

I j

f(y)dy j

dz = 2 j F (z)® dz.

— 0 0

z

— 0 0

— 0 0 \ — 0 0

/

— 0 0

§ 5. Экспоненциальные мартингалы

Пусть

(0, ST, P)

и

( J i j o о

заданы,

как в

§

1, и рассмотрим

квазимартипгал Х (0

такой, что

Х ( 0 ) = 0 . Тогда

экспоненциальный

квазимартингал, определенный равенством

M (f) = exp{xt - i- < M x > (},

(5.1)

U

- i ,

М

что легко проверяется по формуле Ито и теореме 2.1.

Определим полиномы Эрмита

B A t,x] = tzJfL e x p g ) ^ e x p ( - y ,

п ^ О ;

имеем

00

2 упBn Wxх1 = ехР

— -^г) Для каждого

(5.3)

148

ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

Mt — единственное решение

уравнения

(5.2), то

j

(s)е= Ж .

Aft—1=

t М М

О

Если

E [e<x>^ ] < o o

для каждого

0,

(5.7)

то Mt, t > О, является непрерывным

(2Ft)-мартингалом, т. е.

E[MtJ = 1

для каждого

t >

0.

(5.8)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно теореме

Н-7.2'

па

расширении

(й,

Р) пространства

й с потоком (£Г()

существует (^,)-бро-

уповское движение B = B(t) с .6(0) =

0 такое, что X(f) = 6(<Z>(i))

и <X>(f) —

t) -момент

остановки

для

каждого t >

0. Положим

оа=

inf {t; В (г) ^ t — а). Тогда,

если а >

0, то для X >

0 имеем

Е\е~^а] = e-(Ti+2X-i)a#

(5.9)

Действительно,

полагали (f, ж) =

по

формуле Ито

получаем, что

§ 5. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ МАРТИНГАЛЫ

149

Е |ехр[в (oa) — -J-Cajj = е~аЕ [е х р (4 °а )] = 1.

Комбинируя этот результат с теоремой 5.2 и полагая

Y (t) = exp [в (oa< t) — Y Oa Д *),

мы можем показать, что Y ( t ) ,

t e [0, oo), является равномерно ин-

тегрйруемым

t) -мартингалом. Поэтому для любого

t) -момен­

та остановки а

Е [ехр [в (о„ А о) — J Оа А о)] = 1.

В частности,

1 = в[ехр (в(стаА<Х>() —уа0А<Х>')]=

=

Е [ / ^ а.«х>,} ехр [ - a + -J <та)]

+ Е [ / („0>Ш |) ехр ( х (f) -

i - <Х>,)].

Так как

Е [l{aa« x >t} exp ( — a +

4

°«)] < е~°Е [охр ( - j <Х>()],

то

Нш Е [/(0а>ц->1} ехр (х(0 -

4 <Х>()] = Е [exp (х(1) -

\<Х>()],

1

что и завершает доказательство.

З а м е ч а н и е

5.1. Небольшим видоизменением доказательства

вместо (5.7) предположим, что В[ехр(Х(£)/2)] < 00, то

(5.8) оста­

ется в силе.

является непосредственным

следствием

Следующий результат

теоремы 5.3.

X^JC. Если <Х>, локально

ограничен,

С л е д с т в и е . Пусть

т. е. для каждого t > 0

существует положительная постоянная С(t)

такая, что

<Х>, «£ C(t) п. «.,

(5.10)

то Mt — непрерывный

-мартингал.

§ 1. Определение решений

Пусть R" — d-мерное

евклидово

пространство и

пусть

W 1=

= С([0, < »)-> R ")— пространство всех непрерывных

функций

w,

определенных на [0, °°), со значениями в R1'. Для w„ w2е

Wd

положим

00

р К , щ) =

2- '1( шах

1н;, (I) — w2(I) |Д 1\,

Н=1

)

где М обозначает евклидову метрику в R 1 (см. § 4 главы

I).

W4

сительно этой метрики р. Пусть

— топологическое о-поле на

W", a

a ,(W J — под-о-ноле

порождснпоо w(s),

0 < s < t.

Другими словами,

■$<(W*1) — прообраз о-поля ^ (W 4)

относительно

отображения р(, обозначаемый через рГ1 [^ (W d)],

где

отображе­

ние р( : W" -► W" определяется равенством

(Р»и>) (s ) - w (l

A »).

О п р е д е л е н и е 1.1. Через

будем

обозначать

множество

всех функций a(t,

w ): [0, оо)х W" -► R1*® R'1таких, что

(I)

они $([0, °°))Х $ (W d /$(Rd® 11г)-измеримы;

(II)

для каждого t е [0, оо) функция Wd

>-»•a (t, w) = R tf 0 R r

является $ t(W d /3$(R'i ® Rf) -измеримой.

Через Rd ® Rr

мы здесь обозначаем совокупность действитель­

ных d X r -матриц;

^ (R 1® Rr) — топологическое о-поле

на R1® Rr,