книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

291

вилу *): для а = (а-) и b =

(bj),

аЪ = (с]), где

cj =

a^L

(6.19)

Пусть Р = Ы ), где

если

i = d и / =

d,

1,

Р) = О

в противном случае,

пространстве (W (О (М)),

fF, Рй). Определенный выше процесс

r(t, w) = ( X (t, w), e(t, w) =

w))) (также обозначаемый просто

R" ® R d-3Ha4Horo процесса К ( t ) =

(X j (t, ю))>

которое описывается

следующим образом:

О

(I) для

любого t > 0

такого,

что

(6.20)

X (t)^ M

dKl (t): = dK (t) P =

К (t) \e {t)~4e (t) +

j

R (X (*)) dt}px (6.20)„

где R (x) = (/?) (я)) — тензор Риччи;

(II) для

любого t > 0

dK* (t): = dK{t)Q = К (f) [e (*)-1 de {t) + j R

(X (*)) dfj I^ (X (f)) Q;

(6.20)b

(III) с вероятностью единица, отображение

t >->■K l (t) =

К (t)P

непрерывно справа и имеет пределы

слева. Кроме того, Kl(t) = 0,

если X(t)^dM, и начальное значение задается равенством

Kl{0 )^ I M(X{Q))e{Q)P,

К2(0)= e(0)Q.

(6.21);

*) Это соглашение используется только в этом параграфе.

U*

292

ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

З а м е ч а н и е

6.1. (а)

Точная формулировка

(6.20)а следующая:

если непрерывный процесс У (t) определяется

семимартингальпым

интегралом

«

У (I) =

J К (s) |е (s)-1 de (s)+

± R (X (s)) ds} P,

0

то, с вероятностью единица,

K 4 t ) - K l(s )= Y (t) - Y (s )

для всех s <

о

[st £].

t таких, что Х(и) е М для всякого и е

(Ь)

Из

(6.20) (II)

автоматически

следует,

что функция

вивалентной

форме стохастического интегрального уравнения.

Л е м м а

6.2.

Согласованный с

потоком

R'1® W -значный

процесс K(t)

является решением вышеприведенного стохастическо­

го

дифференциального

уравнения

(6.20)

с

начальным условием

’6.21) тогда и только тогда, когда

Kl {t)\ = К (i) Р =

=

/<*<« [е (0) +

J К (и) [в (и)"1 de (и) + ±

R {X (и)) du]j Р +

+ I{t>О) [

К {и) [е (и)-1 de (в) +

y f l {X (и)) dwj Р, (6.22)

т’(/)

K2(t): = K (t)Q =

t

=

е (0) Q +

JК {и) |е (u )-1 de (и) +

- j R (X (и)) duj I ^ (X (u)Q,

где

о

inf {s; X (s) e dM},

(6.23)

а = oo, если

{ } = 0 ,

— момент первого достижения границы дМ для X(t), а

fsup {s; s

t, X (s) е

дМ},

Т ^ ~~ (О, если { } = 0 ,

(6.24)

З а м е ч а н и е 6.2. [

• попимается, конечно, как Y ( t ) — Y ( x ( t ) ) ,

x\t)

t

294

ГЛ. У. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

опять

(6.28), имеем для g,

t

Е» [||фт (t) -

ф 00 (t) li2] < к | Е» [\ U s)-У ] (s) f ] ds,

t s [О, Л .

О

(6.30)

Т е о р е м а

6.2.

Стохастическое

дифференциальное

уравнение

(6.20)

с начальным условием (6.21)

имеет одно и только одно ре­

шение К ( ( ) e S .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть | „еЕ , п = 0, 1, . . . определяются

так: g0= 0 и |п =

Ф(£п- 1 ), п = 1, 2,

.... Воспользовавшись (6.30)

' Пусть

К (t) = (К) («, гг))

— решение

уравнения (6.20)

с на­

чальным

условием (6.21), и

определим

М (t) = (М ) (t, wf)

равен­

ством

М {t, w) = К (t, w)e{t, гг)-1, t ^ 0 .

(6.31)

Т е о р е м а 6.3. M = {M(t,

w)} является К1® Позначным

МОФ

броуновского

движения

на 0{М)

с отражающей границей-*)

т. е.

(I) M(t, w) (&~,)-согласован,

w)M(t, 0S, w)

n.

(И) для всяких t,

0, M{t + s, w) = M(s,

где оператор сдвига 0S: W(0(Hf)) -»-W( 0 ( . V ) )

определяется равен­

ством (Qsw) {t)= w{t + s).

Д о к а з а т е л ь с т в о

(I) очевидно. Чтобы доказать (II), за­

фиксируем s

и положим R (t)= K(t + s,

w), X(t) = X(l + s,

w)

и

e (t)= e(t + s,

w). Тогда

ясно, что

R(t)

удовлетворяет вышеприве­

денному стохастическому дифференциальному уравнению (6.20)

от­

носительно

(X(l), e(t)). С другой стороны, применив оператор сдви­

га 0, к K(t) находим, что K (t)— K(t,

dsw) удовлетворяет тому же

уравнению

относительно (А'.(I,

Q,w), e(t, Q3w) = (X(t), e(t)). Если

положим

K'(t) = K(s,

u-)e(s,

w)~lK(t),

то

K' (0) = К (s, w) e(s, w)~l (/^ (X (.9, w)) e (s, ir) P + e(s, w)Q) =

= К (S, K>)

(R (S, If)) P + (?) = К (9, w)

§ 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

295

Умножая

обе части этого

равенства

справа

па

e(t + s,

w)~l =

"°e(t, Qsw)~l получаем

(II).

Следующие леммы описывают некоторые свойства МОФ

M = {M (t, и?)>.

Л ем м а 6.3. Если X (0) е

дМ, то

Pe(0)~'M(t)= 0

для всех

t >

0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно доказать, что

Ре(0)~'К^)= 0

для всех t > 0. Если Х ( 0 ) е дМ, то

Ре (О)-1 К (0) = Ре (О)-1 (7^ {X (0))е (0) Р + е (0) Q) =

PQ = 0.

Так как

R(t) = Pe(0)~lK(t)

удовлетворяет

уравнению

(6.20), то в

силу единственности решения R(t)= 0.

Л ем м а 6.4. Имеет место формула

М (t, Taw) =

аМ (t, w) я-1,

t ^ 0, а ^ О (d).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как*)

X(t,

Taw) — X(t,

w)

и

e(t, Taw)= ae(t, w), то

сразу

находим,

что

K(t,

Taw)— aK(t, w)

в

силу единственности решения

уравнения

(6.20).

Таким

образом

M(t, Taw )= aK(t, w)[ae(t, н?)]-' =

aK(t, w)e(t, w y'cr'

=

aM(t,w)a~\

чем и заверн1 ается доказательство.

вимся

о следующем

соглашении в

дополнение к

правилу

умно­

жения

(6.19): для d-мерного Ь = (Ь{)

и а = (я]) е

Rd ® Rd,

аЪ= е

является d-мерным вектором с =

(с,),

определенным равенством

Ci =

а\Ьу

(6.32)

При этом соглашении

(6.11) переписывается в виде

^ = \{b<KM)U + JU),

U\l=0 = Ff,

(6.11)

296

ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

U(t ,

r) = (£/j(f, г)) на О ( М ) :

если г =

(х, е) е

дО (М),

где Г<г(ж)<= Rd ® Rd определяется равенством

r d(x) = ({dM (a:))-

Если U(t,

г)— 0(с7)-эквивариантная функция, то отсюда

следует,

что U(t, г) = еО (ж), г = (ж, е), где £7 (ж) — гладкая К^-эпачпая функ­

ция на М, и, следовательно,

Таким образом,

в случае эквивариантных функций

задача

Коши

(6.33) сводится к задаче Коши (6.11). Построим полугруппу, соот­

ветствующую задаче Коши (6.33), посредством

применения

МОФ

М.

Пусть

Со(0(Д/)-*- Rd)— множество

всех

ограниченных

непре­

рывных функций F(r) на О ( М )

со значениями в R* таких, что

Pe_,F (r)= 0 ,

если

г = (ж, е )е дО(М).

(6.34)

Для F е С0(О(М) -► RJ) и £ 3* 0 положим

(HtF ) ( r ) = Er[M(t, w)F(r(t, и;))].

(6.35)'

Т е о р е м а

6.4.

(I) Ш,}

определяет однопараметрическую полу­

группу операторов на С0(О(М) -*■Rd) .

функция,

то

и

HtF та­

(II)

Если F — 0(й)-эквивариантная

кая же

для

всех

£ 3^ 0.

лемме

6.3

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если г^дО(М), то согласно

Pe~l(HtF) (г) =

0. Непрерывность по г функций

HtF(r), t >

0,

сле­

дует из непрерывности отображения*)

г --*■ Prе

5я (W (О (М))),

что

со своей стороны является следствием единственности решений сто­

хастических дифференциальных уравнений. Полугрупновое свойст­

во для (ЯД очевидно, так как М является МОФ. Наконец,

(II)

сле­

дует из лемм 6.1 и 6.4.

функция на

Т е о р е м а

6.5. Пусть F (t, r) = (Fi(t, г))— гладкая

[О, °°)Х О(М)

со значениями в Rd такая, что

для

каждого

£ 3s 0,

r>-bF(t,r) представляет собой функцию из С„(Р(М))

Rd).

Тогда,

s 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

297

С вероятностью единица,

t

М (i) F (t,r (t)) - М (0) F (0, г (0)) =

J М (и) (LaF) (и, г {и)) dBa (и) +

О

t

+ jjtf ( « ) ( [ £ (и, г (и)) +

у {k0(M)F (и, Г(и)) + J (r(u))F(u, r(w))}]jdu+

О

t

+JМ (и) е (и) Qe (it)-1 та (“ * r (w)) — т т (w> г (“ ))

{А } (X (и))

(ц)+

о

д х

дет

+

е (и) r d (X (и)) е (w)-1 F (и, г (w))| d<p (и).

(6.36)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как мы

отмечали выше,

диффузия

(r(t))

М>)А*

I

(6.37)

I

g (s) df (s,

(«)) =

j g (s) dj (s, r (s)),

где интеграл понимается

в

смысле

стохастического

интеграла по

семимартингалу s-< * •

/ (

«

.

А(«)Д(

)

) определяется,

подобно^

тому,•

г ( s

как и в замечании

6.2, а сумма

понимается

как

предел по

ssD

вероятности конечной суммы

• при е I 0.

A (s ) - A (s - )> e

Спачала мы докажем следующую лемму.

Л е м м а 6.5. Для любого t такого, что !Х( е

М,

dM(t) = ± M (t)J (r (t))dt,

(6.38)

т . е. если » E D, т о

для всяких

s < t таких,

что

[s,

f ] c ( 4 ( t t - ) ,

Л(и)) имеем

М (t) — М (я) = i-jМ (и) / (г (н)) du.

(6,39)

§ 6. СЛУЧАЙ 0 ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

299

.4»метив, что P e(t)-lF(t, г) = 0, если г^дО(М ), и что

г(Л(н))«=

-

К2 (Л ( * - ) ) <?е(Л (.9

- ) ) _1 F (Л (S - ) ,

г (Л (.9 - ) ) ) ] .

(6.42)

В силу

(6.20)

и того факта, что

f

0^ находим

\1дм(Х (u))du =

о

d,K* (и) =

К (и) [е (u)-1 de {и) + - j R (X (и)) йм] Q —

— К(и)е (и)-1 de (и) 1Ш(X (и)) Q.

Поэтому, ясно, что d{K2(u)Qe(u)~'F(u, г(и))} имеет вид

gi(u)de(u)+ g2(u)du + gs{u)d{e{u)-‘l)+ g^(u)dF(и, r(u ))~

— IdM(X(u))K(u)e(u)~tde(u)Qe(u)~iF(ut r(u )),

где к »

g{ (и),

i = 1, 2, 3, 4, являются непрерывными справа

(IFi)-

опять

общей формулой (6.37), находим, что второй член в

(6.42)

заменяется выражением

А (8) А*

2 *

f

d[AL2(H)(?e(n)-1 P(M, r(u))l =

i

t

t

t

= j gi (u) de (и) + f g2 {u) du +

j g.4 (u) d (e (u)"1) +

j gt (u) dF (и, r (M)) =

о

о

о

0

= K 2(t) Qe (ty 1 F (t, r (0) - A:2 (0) Qe (0)“ ’ F (0, r (0)) +

t

+ J I<JM(X (и)) К (и) e (u)_1 de (u) Qe (w)-1 F (u,r («)).

О

В силу

(6.12) и поскольку

1ди(Х(и) )Pe(a)~‘F(u, г(и ))= 0,

полу»

чаем

t

j 1дм (X (и)) % (и) е (w)_1 de (и) Qe (w)~1 F (и, г (и)) =

О

t

=

— ]оК (и) е (и)-1 е (и) Г* (X (w)) е (u )'1 F (и, г (и)) dcp(и) =

t