книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 6. МЛРТИНГАЛЬНЛЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ

8 1

Jт

F" (X n(s)) d <М> (s) -v J F" (X (s)) d <Л/> (s)

п. н.,

о

о

J* I {F (Х „(s) +

g<»> (*, X, •)) - F (Хп (s)) -

о х

-£<">(«,**

+

-))-F (X (s ))~

о X

- V

i+j

j {F (X (s — ) + / (s, X , •)) — F (X (s —))} JVp (<Ы*)

п. H.

и

t+

f {F (Xn (s - )

f

+ *<»> (*, x, •)) - F (X„ (* - ) ) } Яр(dsdx)

O

X

<+

j

J {F (X (s —) + g (s, x, •)) — F (X (s —))} Nv(dsdx) в

Jlv

Т е о р е м а 6.1.

Пусть

X(t) = (Xl(t), X2 (i), ...,

Xd(t)) — d-мер­

ный (@~1 )-семима.ртингал с

X 1(t) - X 1 (0 )e= jr£ ',oc

(6 .1 )

'

М 1(t) =

*) Григелионис

[33].

82

ГЛ. И. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА ИТО

и

<М\ Ms>(0 - 6 ut,

i, / =

1 , 2 , . . d.

(6.2)

Тогда X(t)— d-мерное (3F^-броуновское движение*).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно доказать, что

Е

|gr j

= e- f m(,- s) п . „ .

(6.3)

для всяких

и

t > s '> 0.

Пусть F(x) =

ei<5'*>. Применяя

фор

мулу Ито, находим, что

е « 5 .х (0 ) _

e i<l,A'(s)>

=

- 6i)

(6.4)

d

с

d

с

е ^ х(иМи.

2

J

Hhe ^ x^>dMk (и) +4- 2

J (

Ь=1

h = l

s

Очевидно,

(6.2)

влечет за собой, что М 1е

Ж\, и поэтому

•<

Е

J

:(u»dMk (u)\&-s

= 0 п. н.

(6.5)

Возьмем

любое

А е

Тогда,

умножая

обе

стороны

(6.4)

на

е -« 5 , *<«»/А и б е р Я

математическое ожидание, получаем

t

Ё [eUl.xw- *(*»/А] _

р (Л) = — Ш ! j

Е [вке.-г<и>-*(«»/А] du.

Из этого интегрального уравнения сразу находим, что

Е [е‘«.*(‘>-*(*)>: А] = Р (A) е“ 5|8,,(|-*\

что и доказывает

(6.3).

В частности, из этой теоремы вытекает, что непрерывный про­

цесс Х(1)

является

одномерпым

броуновским движением

тогда

и

только тогда,

когда

процессы

t

X (t)

и t >-»• X (t)z — t

являются

мартингалами. Этот результат известен как теорема Леви

(см. Дуб

[43J, глава VII, теорема 11.9).

...,

Xd(t))— d-мерпое

П р и м е р

6.1. Пусть X(t) = (Xi(t), X?(t),

(lEt) -броуновское движение и р =

{pi (£, ш)) — процесс, значениями

которого

являются ортогональные

d X d-матрицы,

и каждая компо­

нента Pi {t, ft»)

является

(ZEt) -предсказуемым процессом. Положим

M l (t) =

(1 )- Х * (0 )

и

d

.{

Xh{t) =

к =

1, 2, . . . .

d,

x b(0) + 2

I Pt (t, to) dMl (s),

______________

'=i о

§ 6. МАРТИНГАЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ

83

где

Т?*(0)— ^"о-измеримая

случайная

величина. Тогда

X(t) =

— {X^t), X2(t),

...,

X?(t)} — d-мерное

{SFt) -броуновское движение.

Действительно, если Mh(t) = Xh(t) — Хк(0), то получим

_

__

I d

Pm (S, to) p‘n(s, (o) d <Mm, Ж ") (s) =

<Mk, М'} (t) =

2

0

W,n«l

г

d

Pm (S, (O) p'm («, W)

=

6ftzf .

= )

2

0 m=l

Т е о р е м а

6.2. Пусть p — точечный процесс класса

(QL)

огио-

сителъно {N't)

с некоторым

пространством состояний

(X,

Т#(Х))

Д о к а з а т е л ь

с т в о . Идея доказательства, в

сущности, та

же,

что и в теореме

6.1. Пусть

O s ^ O

и

пусть

U,, U2, ..., Umе

е ^ ( Х ) — непересекающиеся

множества

с

Np((0,

t]X U k < °°,

k =

— 1, 2, ..., m. Достаточно доказать, что

для X,, Хг, ..., А,т > 0

охр -

2 (e~Kh- 1) Np ({s, t) X

Uh

.

(6 .6 )

h—l

Действительно, из (6 .6 ) легко можно

вывести,

что

TVP(F,),

Np(Ez), ... независимы,

если

Еи Ег, .

((0, ° ° ) ) Х $ ( Х ) — не-

f

m

xhxk

пересекающиеся.

Пусть

F (х1, хг,

. . . , хт =

охр

2

/* (f, х, to) = I Uk (х),

/ = (/1 , / 2,

. . . , / т).

Тогда

fc=i

J

[

/h(s, ЛГ,

•) TVP (dsdx) =

TVP ((0, f]

X £/*)

о

x

и по формуле Ито

(полагая N {t) = {Np{ (0,

t]X U ,), ..., TV„((0,

£]X

X Hffl) ))

F (TV (*)) — F (N (s)) = f j

[F (TV (u - ) +

/ (“ . *,

*)) -

— F (TV (u —))] Np (dudx) = мартипгал

+

1 1 |F (TV (H) +

s

X

+ / (и, X,

.)) —

F (TV(M))],TVp (rfudr).

Т е о р е м а

6.4. Пусть X(t) = {Xl(t),

X2(t), ..., X ’(t)) — d-мер-

пое (&",)-броуновское

движение, а а — (@~t)-момент

остановки с

о < ° ° п.н.*).

Пусть

X*(t) = X(t + a)

и

е [О, °°).

торое не зависит от

0 = 3го.

теореме

о преобразовании

сво­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

бодного выбора M*‘(t) = X‘ {t + a)~ Х‘(а) является локальным

мар­

тингалом относительно

(/iF*)

и,

кроме

того, <Л/*', M*J> (£) =

= 8u(t + а — о) = 8,}t,

i, / = 1, 2,

...,

d. Тогда утверждение теоремы

следует из теоремы 6 .1 .

Пусть

X(l) = (X'{t),

X2(t),

...,

X''(t))— d-мерное броуновское

движение

на полном вероятностном

пространстве и пусть

( £ ■ ? ) -

семейство а-полен, порожденное выборочными

траекториями

X(t):

= о {X (.<?): si^.t} у Ж. Здесь

JP

обозначает

совокупность

Р-пу-

левых множеств.

Л о м м а 6.1.

н-о =

.

p(t,

х) задан

посредством

(1-7.1),

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

и положим ***)

(Н,1)(х)= $ p ( t , x - y ) j ( y ) d y ,

/<= C0 (R ").

*)

Если предположить всего лишь Р(а <

оо) > 0, то вывод остается вер­

ным на сужении Q до Й П { а < о о ) и с заменой Р на Р(») «= Р(«П {о < ° ° })/

/Р(о <

оо).

**) См. Ито [73], где эта теорема называется свойством силысого восста­

новления.

всех

непрерывных функций на Rd с

***)

C0(R'i) — банахово пространство

lim |/

(х) |= 0, а норма И/ 1|■= шах |/

(х) |.

1x1-»оо

xeRd

8 8

ГЛ. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА ИТО

Пусть В‘ (О = Х !У )-Х \ 0 ), г = 1, 2,

d. Тогда*)

Т е о р е м а 6 .6 . Пусть М =

{Mt) е

Л г{@~*)

(л1°с (P'j1)). Тогда

найдутся такие Ф; е

(И?™0

=

1 , 2 , ..., d, что

d

r

(6.13)

М (t) = S

J Ф« (s) dBl (s).

представим в виде суммы стохастических

интегралов по о с н о в ­

ным (базо вым ) мартингалам В\ i — i, 2,

..., d.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предполагаем, что

Х ( 0 ) — константа. До­

что d = 1, т. е.

X (t )~ одномерное броуновское

движение

и B(t)=*

= X(t)—Х(0).

Достаточно доказать (6.13) на

каждом

конечном

потока (&~t ) с t е

[О, Г].

Пусть

Л * =

|л/ (i) =

j Ф (*) dB (5) : Ф е

S ’, J<= Л\.

Теорема утверждает, что

Л г = Л*. Чтобы

доказать это, мы

сна­

чала покажем, что каждый мартипгал М е Л г можно

представить

в виде

М (t) = Л/, (t) + M2(t),

(6.14)

где JV/j е

Л*, Мге Л 2 и

удовлетворяет условию <Л/2,

N) = 0 для

всех N ^ Л г. Очевидно, что если такое разложение существует, то

оно единственно.

Пусть

Ж = {Л/х (Т): М1е

Л*\. Нетрудно видеть,

что

Ж —

замкнутое

подпространство

пространства S ’liQ, Р). Пусть

Жх —

90

ГЛ. ГГ. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ II ФОРМУЛА НТО

для

каждого N е Л\. Положим

{Л/°"; » = 1, 2, .

А/<=дР).

плотно в Л г, и если M = M t+ Mz— разложение

вида (6.14)

для

М ^Ж , то

оба мартингала М, и М2 ограничены. Достаточно

пока­

зать, что Мг= 0. Это вытекает из следующей леммы.

такой,

Л е м м а

6.3. Пусть

М ^ Л 2— ограниченный

мартингал

что <Л/, N} = 0 для каждого N е

Л *. Тогда М =

0.

З а м е ч а н и е 6.1. Условие

<Л/, N> — 0

для

каждого

N ^

Л.г

t

эквивалентно условию (.М, ВУ = 0 , поскольку

<М, N) (t) =

[ Ф (s)x

t

о

X d <Л/, Я> (s), если N (t) = | Ф (s) dB (s).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

О

что

1Л/(<)|*£а,

где

а —

Предположим,

положительная константа, и положим D (to) =

1 + М(Т, ш)/2а. Тогда

П ( ю ) > 1/2

и £'[D((i))] = 1 . Определим новую вероятностную меру Р

на

Т>(В) =

E[D(a)IB(<A 1,

B ^ T h

Тогда для каждого @~t - момента остановки oefO,

71]

Е [В (о)] =

Е [D (и) В (а)] = E[E\D (и) |

В (а)] =

=

Е [В (а)] + ± Е [М (а) В (о)] = Е [В(а)] = О,

потому что

<Л/, ВУ = 0.

Аналогично, Е[В(а)2— а] = 0, поскольку

B(t)2— t = 2 § B ( s ) X

о

ными

-мартингалами

относительно

вероятности Р.

Согласно

теореме 6 . 1

функция

t<-~B(t) —

-броуновское

движение от­

носительно

Р. Отсюда,

очевидно,

вытекает, что Р — Р

на т и,

следовательно, должно выполняться равенство 0 = 1

п. н., а значит,

М = 0 п. н.

С л е д с т в и е

1. Л.2

?) =

Л\ {&"*)■

С л е д с т в и е

2 . Пусть

F е

3?г (О, ЯГт, Р) для

положительной

константы Т > 0.

Тогда найдется

такой

{@~t)-предсказуемый про­

цесс f{s) ( O ^ s ^ T ) , что

Г т

Е

j / 2 (s) ds <

оо

.о