Вмеханике сплошной среды тензоры, как правило, яв ляются функциями координат и времени.
Тензорная функция
(П2.1.1)
описывает тензорное поле.
Положение точки в Евклидовом пространстве описывается радиус-вектором:
(П2.1.2)
В произвольной криволинейной системе координат Евкли дова пространства при движении вдоль координатной линии меняется значение только одной координаты, в то время как значения двух других постоянны. Эти координаты обозна чаются с помощью верхнего индекса. Координаты декартовой системы обозначаются с помощью нижнего индекса.
Уравнения, описывающие тензорное поле, т.е. дифферен циальные уравнения в частных производных от тензорных ве личин, удобно представить в системе независимых коорди нат, которым соответствуют базисные векторы.
Базисные векторы
(П2.1.3)
являются касательными к координатным линиям.
В соответствии с условием (П1.1.8) контрвариантный ба зис строится с помощью нормалей к координатным плоскостям
Длиной базисного вектора (абсолютной величиной векто ра)- является длина дуги сегмента на координатной линии. Направления базисных векторов и их длины различны в раз личных точках пространства.
где v -,например, температура в некоторой области. Изменение температуры по направлению выбранного линей
ного элемента dreg^dx1 равно:
dv=gradp*dr=y .dx1 .
(П2.2.3)
/ 1
ГРАДИЕНТ ВЕКТОРА* Градиентом вектора называется тен зорное произведение набла-оператора на вектор. При обоз начении градиента вектора первая буква является заглав ной, при обозначении градиента скаляра - строчной:
-*■
(П2.2.4)
Gradp=Vp=g1 (p^g.)
J
I1
(p-'g-j)
■* п
(П2.2.5)
igj+p3
Представим равенство (П2.2.5} в базисе сЦ. Для этого
частные производные от базисных векторов приведем к само му базису:
gk~Ck е1'
(П2.2.6)
.еп
(П2.2.7)
gk,i-Ck fi^l'
el/=cirgj
(П2.2.8)
Из формул (П2.2.7), (П2.2.8) имеем
равенство:
(П2.2.9)
■
Умножая обе части равенства (П2.2.9) скалярно на д-* получим:
Гki
1'
(П2.2.10)
®k,i*r>-c? /ck,i
Формула (П2.2.10)
является определением
символа Кристоф-
феля 2-го рода* Символ Кристоффеля 2-го
рода симметричен
по отношению к нижним индексам, т.е.
Г
■
ik
С его помощью .частные производные от базисных векторов
приводятся
к базису.
Символ Кристоффеля 1-го рода получается с помощью мет-
ческих коэффициентов из
символа Кристоффеля 2-го рода:
Учитывая,
что
l,ki"gljrkie
(П2.2.11)
<^
>,i= <Sk >,i=0=5\ i'9k+«k, i '93
из уравнения (П2.2.10)
получим:
rji="9?i'9k-
(П2.2.12)
„
-»к
Умножая обе части равенства (П2.2.12) скалярно
на g и
переставляя местами индексы j и к получим:
дк .=-Г^.д^.
(П2.2.13)
ГЛ.
J!
Заменим во втором ^слагаемом формулы (П2.2.5) индекс суммирования j на к и ■, выражаемое формулой (П2.2.9),
подставим в формулу (П2.2.5). Получим:
(P^9j )Д в ( Р Д +Гк1р
j
*
(П2.2.14)
Формула (П2.2.14) позволяет написать выражение для ковариантной производной:
pS|i=P'i+r^ipk‘
(П2.2.15)
Таким образом, получаем смешанный тензор 2-го ранга:
•
ж
{П2 .?. 16)
Gradp=p-* j^gxgj.
Покажем, что ковариантная производная является тензором.
Выполним преобразование в базис д^„, воспользовавшись
таблицей П1.2.1. Для первого слагаекого в формуле
(П2.2.15)
имеем:
*
-1»
j-1 =С-* 1
PJ =cm Р"»
Dj
=С^"
=С^
+С^ С3" rjm
р ,i"
(Сш р ',i" ci"( m р
',.1 ci"Cm p
,l+Ci"Cm,lp '
С учетом равенства (П2.2.12) второе слагаемое запишем в виде:
r k"i"Pk "=-9j Д » 9 к .Рк”- ^ Д . 5 пРП= - 4 ” <Cm'9” l , l9nP”=
" t = ^ c i - ? fien+c i . ( ^ ; i ^ , p ^ . ^ i p n-c i.c 3 ;i,“.
Подставим оба слагаемых в равенство (П2.2.15):
Dj"
=С1 cj”
зm
,С1 cj" Dm_cl cj"
n
2
.
P |
ci"cm P
J1+Ci" m,1P
Ci"Cn,lP
*
(П2.2.17)
Отсюда следует, что ковариантная производная является
тензором. С другой
стороны, частной производной и символу
Кристоффеля по отдельности не присущи свойства
тензора.
Они не имеют также
физического
смысла.
ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРА. Дивергенцией вектора называется
скалярное
произведение
набла-оператора на
вектор:
divp=V-p=g1 ( ) '-(р3д.)} 91 J
divp=g1 •(р3#i5j+P',rjig]c)•
Переименовав индексы получим:
(П2.2.18)
(П2.2.19)
divp=g1 •5j (
i+P^ki>'
, учитывая равенство (П2.2.15):
•
(П2.2.20)
divp=p3 .i .
ВИХРЬ (РОТОР) ВЕКТОРА. Вихрем (ротором) вектора назы вается векторное произведение набла-оператора на вектор;
->
,
-xfp.g3)?
(П2.2.21)
rotp=Vxp=g^’( )
/1
J
rotp= (g ^ g ^ )p . .+pj(g xg3
.).
(П2.2.22)
J/■*-
J
9 X
Множитель во втором слагаемом равенства (П2.2.22) в соответствии с формулой (П2.2.12) равен:
g1xg^'±- Г )•
Вследствие асимметричности векторного произведения и симметричности символов Кристоффеля относительно переста
новки нижних индексов
справедливо равенство:
•
•
g-*1x
•*!!g J •=«0 .
/ А
Отсюда, для вихря (ротора) вектора с учетом формулы
(П1.5.8) получим:
•
•
(П2.2.23)
r o t p = ( g 1 xg^ ) P j ^ 1= е 1;*к р j ^ ^
Символы Кристоффеля в тензорном анализе имеют важное значение, они выражаются через компоненты метрического тензора и их частные производные. В соответствии с равен ствами (П2.2.10) и (П2.2.12) имеем:
1 -»
-*1-
:
(П2.2.24)
Г ..=д.
.•д
ЧУ
-»1 -»
(П2.2.25)
ГЛ =‘д
Дифференцируя базисный вектор gj-g^g* по х1 получим:
-* _ -*i -»i 9j,l_9ij,lg +gij9 ,1 *
Обе части этого равенства умножаем скалярно на gm . С учетом равенств (П2.2.10) и (П2.2.12) тогда имеем:
r j i - 9 1I'9 ij / i - 9 i j g nnr 1In*
Тензорное произведение со сверткой обеих частей этого соотношения на д ^ приводит к формуле:
gmkrjl+gijrkl=gij,l'
Путем циклической перестановки индексов i,j,k получим также следующие формулы:
gmjrTk+gilrjk=glj,k‘
Умножая обе части на 0,5 и складывая с первой формулой, обе части которой умножаются на “0,5, получим с учетом симметрии и переименования индексов:
gmlr.jk"(gkl,j+glj,k"9jk,l)/2.
Тензорное произведение со сверткой обеих частей этого ра
венства
на
приводит к следующей формуле:
rjk=gll<9kl,j+gij,k”gjk,l)/2 *
(П2.2.26)
2.3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРА 2-ГО РАНГА
Рассмотрим произвольный
тензор
2-го ранга:
P=Pklgkgr
(П2.3.1)
Образуем
тензорное
произведение
-»
А
набла-оператора 7
и р.
Получим
тензор 3-го
ранга,
который обозначим
л
Q:
Q=Vp=Gradp=gm (Зр/Эхт ).
(П2.3.2)
л
формуле
Компоненты тензора Q выводятся аналогично
(П2.2.15)
при
выражении
градиента через
лковариантную
производную
от
компонент тензора
2-го ранга р:
< п 2
- 3 ' 3 >
При этом подстановка (П2.3.1) в (П2.3.2) дает формулу за висимости ковариантной производной от контрвариантных компонент тензора:
kl
kl +рп1г к +ркпг 1 .
( П 2 . 3 . 4 )
Р |шР
,ш г пш ^ пт
В выражении для ковариантной производной от компонент тензора 2-го ранга наряду с обычной производной появляют ся два дополнительных слагаемых, содержащих символы Кристоффеля.
Выражение для полного дифференциала тензора 2-го ранга в градиентной форме имеет вид:
dp=dr•Gradp. (П2.3.5) Эта формула в компонентных обозначениях записывается сле дующим образок:
, kl
kl
. m
(П2.3.6)
dP
=P
|mdx .
2.4.ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ
Вчастном случае ортогональной системы координат, ко торая находит наибольшее практическое применение в кон кретных задачах механики, приведенные в предыдущих разде лах формулы значительно упрощаются. Частным случаем орто гональной координатной системы является декартовая систе ма координат.
Основное свойство ортогональной системы координат зак лючается в ортогональности ковариантных базисных векторов д^. Отсюда вытекает аналогичное свойство для контрва
риантных базисных векторов g
Зависимость базисных векторов д. ортогональной коорди-
натной системы от базисных векторов е^, декартовой систе
мы координат имеет вид:
(П2.4.1)
9j-cj
Условие ортогональности базисных векторов записывается следующим образом:
*0 при
i=j;
(П2.4.2)
9ilgН О при
i*j.
Тогда
с учетом равенств
(П1.2.20) -
(П1.2.22) в
матрицах
Пд^П
Ндл'-,1 отличны от
нуля
только
диагональные
элемен
ты:
'9 ц
0
0 •
"д..«=
о
смсм
О
-
0
0
дзз-
11
л
л .
Ид^И*
д
0
0
0
g2i
0
1
О
о
Ы ы
VQ
1
(П2.4.3)
(П2.4.4)
Метрические коэффициенты этих матриц связаны простыми за висимостями:
д±1д ■ и■ -if (i=i,2,3).
(П2.4.5)
Это свойство метрических коэффициентов позволяет получить простые соотношения при перестановке индексов вверх и вниз.
Компоненты вектора с учетом недопустимости суммирова ния , если индексы заключены в скобки, равны:
a 4 (ii4 ; а.=д
*
(П2.4.6)
i'
Аналогичные формулы имеют место для базисных векторов:
«
Л •
• I
-*
•
-»1
(11)-»
-»1
(П2.4.7)
g - g l
gj,?
Ч = я {щ я •
Это означает, что базисные векторы ковариантных и контр вариантных координатных систем одинаково ориентированы относительно друг друга.
Определитель матрицы llg^jll равен:
(П2.4.8)
g“ lgij 1=9ц522 д33*
Следует отметить, что в ортогональной координатной системе контрвариантные и ковариантные физические компо-
нты вектора а равны между собой:
i=J.=/И7.а1-А Т1ГГа..
(П2.4.9)
а1“ад."^ g (ii)a д '
Эти физические компоненты можно также вычислять как сред ние геометрические величины ковариантных и контрвариант
ных компонент вектора а:
*i * / 1
а =а .=/а а (.}.
2.5.ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
Рассмотрим интеграл:
I-J(дф/дх1)dx1dx2dx3,
(П2.4.10)
(П2.5.1)
V
где tp - скалярная функция декартовых координат х1 . Интег-
рирование осуществляется по объему тела V сначала в нап
равлении оси х1. Прямая г параллельная оси х*, пересекает поверхность тела в отдельных точках. Точки телаг соответ
ствующие прямой при движении внутрь тела, обозначим т.. J
Точки тела, соответствующие прямой при движении из тела, обозначим п^Тогда:
3 (j)
dx2dx3 <
(П2.5.2)
3
Этот
интеграл является интегралом по площади А'
в сечении
тела
1
Элемент
-
2
3
плоскостью х =const.
площади ?dx dx
проекция элемента dA поверхности тела на эту плоскость.
В точках на прямой, пересекающей тело при движении во внутрь:
dA-cosfn^1) = - dx2dx3 .
В точках на прямой, пересекающей тело -при движении из нутри :
dA*cos{n,x1) = dx2dx3 .
Здесь п - единичный вектор нормали к поверхности тела. Отсюда следует, что:
I=J(a<p/ax1)dx1dx2dx3=JVcos(n,x1)dA.
(П2.5.3)
V
А
интегралом
Последний
интеграл в формуле (П2.5.3) является
по поверхности тела. Эр/ах1 - проекция вектора-градиента функции <р на координатные оси.
Можно записать выражения для интегралов, аналогичные (П2.5.3), для проекций вектора-градиента функции <р на оси
23
хи х . Если каждый из трех интегралов умножить на еди ничный вектор соответствующей координатной оси и затем сложить эти интегралы, то получим:
