книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

8.7. УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ОБОЛОЧЕК

ПОЛОГАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПАНЕЛЬ. На рис. 8.7.1 показана пологая цилиндрическая панель с жестким защемлением при равномерно распределенной нагрузке. В силу симметрии рас­

Рис. 8.7.1. Пологая цилиндрическая панель.

На рис. 8.7.2 представлена зависимость между внешнимдавлением и прогибом в центре панели (сплошная линия), полученная при расчете прогибов панели с учетом геометри­ ческой нелинейности по формуле (6.5.23). Пунктирная линия на этом рисунке соответствует результатам, приведенным в [50].

ЗАМКНУТАЯ КРУГОВАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА. На рис.

8.7.3показана замкнутая круговая цилиндрическая оболочка

сшарнирно опертыми торцами. Влияние отношений R/d и R/L (R- радиус оболочки, d- толщина, L- длина) на величину

верхнего критического давления исследуется методом, опи­ санным в 6.5. В силу симметрии рассматривается 1/8 часть цилиндра, которая в зависимости от длины оболочки модели­ руется 320, 384, 448, 512 КЭ. На рис. 8.7.4 для отношений R/d=100, 200, 300 сплошными линиями показаны зависимости верхнего критического давления от отношения R/L. Пунктир­ ные линии соответствуют приближенному аналитическому ре-

шению:

Сопоставление численного решения с приближенным сви­ детельствует о близости результатов.

Рис. 8.7.4. Влияние геометрических параметров на верхнее критическое давление.

8.8. ИЗГИБ ТРЕХСЛОЙНОЙ УГЛЕПЛАСТИКОВОЙ ПЛАСТИНЫ

Для этой задачи известно точное решение по теории уп­ ругости [209], которое используется многими авторами [97,106,209] в качестве тестового при расчете многослой­ ных пластин и оболочек по МКЭ. Рассмотрим пластину еди­

(рис. 8.8.1). Пластина состоит из углепластиковых одно­

вавания внешних нонослоев совпадает с осью х (<р=0 ), а средний нонослой армирован в ортогональном направлении (Ф=90°).=900). Данные по геометрии и нагрузке следующие: L=24 м, Ь=1 м, h=2,4 м, qQ =0,6895 МПа.

Рис. 8:8 .1. Трехслойная углепластиковая пластина.

При решении этой задачи исследовалась сходимость реше­ ния, полученного с помощью рассмотренной конечноэле­ ментной модели в зависимости от числа КЭ и числа квадра­ турных точек по толщине. 6 таблице 8.8.1 приведены значе­ ния прогиба в центре пластины, полученные при разбиении половины пластины на 3 и 6 КЭ с использованием 6 квадра­ турных точек по толщине пакета (по 2 точки в монослое) и 9 квадратурных точек (по 3 точки в монослое). Полученные результаты сопоставлены с точным решением по теории упру­ гости [195] и с решением на основе гибридных схем МКЭ [97,209], в которых,в отличие от рассматриваемой модели, порядок матриц жесткости КЭ зависит от числа слоев.

Таблица 8.8.1 Прогибы в центре пластины

Приведение результаты показывают, что в данной задаче достаточно точный результат достигается на сетке из трех элементов. При этом, как и следовало ожидать, достаточно двухточечной квадратуры по толщине каждого слоя, что соответствует принятому линейному распределению по толщи­ не.

учетом соотношения жесткостных характеристик слоев по формуле (3.9.30) и равном в этой задаче 0,583. В случае априорного задания коэффициента сдвига к1=5/б=0,833 точ­

ность результатов существенно снижается и ошибка в опре­ делении максимального прогиба возрастает до 14% .

На рис. 8.8.2 представлено распределение по толщине

пакета слоев нормальных напряжений cx=crx/q0 в сечении

х=Ь/2 и напряжений поперечного сдвига т =т /qn в сече-

нии х=0, полученных с помощью предлагаемого КЗ при опре­ делении коэффициентов сдвига и напряжений поперечного сдвига по приведенным выше соотношениям. Полученные ре­ зультаты сравниваются (рис. 8.8.2 ) с решением по теории упругости [195] и с результатами для гибридного КЗ SIW4crl2 [97]. Согласие результатов является вполне удов­ летворительным .

Рис. 8.8.2. Результаты расчета.

На рис.8 .8.2 дополнительно показано распределение нап­ ряжений поперечного сдвига тЛ2, полученных по соотноше-

ниям закона Гука к не удовлетворяющих статическим усло­ виям сопряжения слоев. Рис. 8.8.2 показывает, что пред­ ставленная выше методика определения напряжений попереч­ ного сдвига, учитывающая соотношение жесткостей слоев, позволяет в рамках модели типа Тимошенко для пакета слоев получить неоднородные распределения напряжений попе­ речного 'сдвига по толщине, удовлетворяющие статическим условиям сопряжения слоев и хорошо согласующиеся с реше­ нием по теории упругости.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

Для описания напряжений и деформаций в твердом теле используются физические величины, которые называются тен­ зорными. Частным случаем тензорных величин являются век­ торы. Векторы так называемые тензоры 1-го ранга.

В технической литературе в настоящее время широко ис­ пользуется тензорная форма изложения, позволяющакя су­ щественно обобщить основные уравнения механики. Тензорное исчисление позволяет с очень высокой степенью общности разрабатывать математические модели для процессов формо­ изменения, движения и устойчивости деформируемых тел для любых физических законов состояния и нагружения. Этим объясняется целесообразность рассмотрения основ векторно­ го и тензорного исчисления в учебном процессе, с другой стороны, тензорное исчисление позволяет добиться высокой формализации алгоритмов расчета и более эффективно ис­ пользовать вычислительную технику в практических расче­ тах.

В данной книге применяется преимущественно индексный способ записи, и математические величины представляются индексированными переменными:

В тензорном исчислении выбор заглавных букв, как пра­ вило, не ограничивается. Условимся, что индексы, пред­

С21' С22 * Индекс п используется для обозначения координатной

системы размерности 2П или Зп в зависимости от обозначе­ ния координаты греческой или латинской буквой .

Верхние и нижние индексы и их последовательности опк-

пространства записывается в виде:

к'=1

Вкниге повсюду используется правило суммирования Эйнштейна, которое заключается в том, что в одночлене по повторяющемуся индексу (повторяющийся индекс называется немым) осуществляется суммирование от 1 до п (в частнос­ ти, если индекс латинский, то п=3 - размерности соответ­ ствующей координатной системы). Это правило не имеет си­ лы, если повторяющийся индекс заключен в круглые скобки.

Введем в Евклидовом пространстве криволинейную систему

i

координат xJ, в которой декартовые координаты точки могут быть представлены непрерывно дифференцируемыми функциями:

Предполагается, что в области определения функции опи­ сываемой формулой (П1.1.2), определитель матрицы, состав­ ленной из коэффициентов преобразования (называемой матри­ цей Якоби) отличен от нуля и положителен:

1'

‘,1

Отметим, что векторы д^ в силу сделанного предположе­

ния (П1.1.3) являются линейно независимыми и некомпланар­ ными. Такой базис называется ковариантным. Он обозначает­ ся с помощью нижнего индекса.

Распространим правило суммирования Эйнштейна на произ­ водные. Индекс, обозначающий дифференцирование " может быть введен как и другие индексы в правило суммирования Эйнштейна. Если такой индекс обозначающий частную произ­ водную, расположен вверху (внизу), то индекс другой пере­

обозначают элементы матрицы преобразования Якоби из де­ картовой системы координат в криволинейную систему коор­ динат. •

Введем контрвариантный базис gJ (обозначается с помо­ щью верхнего индекса), который определим при последующем изложении.

Ковариантный и контрвариантный базисы обладают свойст­ вами:

1 при i=j?

(П1.1.8)

t 0 при i*j.

Здесь 5?=31^=5^ - символ Кронекера. Контрвариантный ба­

зис образует взаимный базис с ковариантным. Контрвариантные базисные векторы могут быть также об­

разованы с помощью параллелепипеда, построенного для из­ вестных ковариантных базисных векторов, объем параллеле­ пипеда равен:

v“[у 1*2^31=5i'(5гх5з >=^2*(53х51)=53*(gxxg2)=|j|.(ni.i.9)

(i,j,k =1,2,3; индексы переставляются циклически). Условие неравенства нулю объема параллелепипеда V*0

вытекает из (П1.1.3).

Определитель матрицы Якоби равен объему параллеле­