Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

20.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3631 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

пипеда, так как строки матрицы Якоби включают базисные векторы.

Базисный вектор контрвариантного базиса ортогонален к плоскости, в котором лежат два других базисных вектора ковариантного базиса.

1.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА

Объектами тензорного анализа являются тензоры, свой ства которых не зависят от выбора системы координат. В каждой системе координат тензор описывается совокупностью его компонент. Для обозначения тензора используется сим вольная запись "л". Преобразование компонент тензора при переходе из одной координатной системы в другую опреде ляет, является ли тензор совокупностью функций. Другими словами, понятие тензора сводится к свойствам преобразо вания его компонент. Компоненты тензора в новой системе координат однозначно выражаются через его компоненты в старой системе координат.

Математические уравнения, записываемые с использова нием тензорных переменных, инвариантны относительно раз ных систем координат. Понятие "тензор” появилось в связи с введением тензора напряжений в механике сплошной среды. Рассмотрим преобразование системы координат. Две произ вольные криволинейные системы координат связаны с декар

товой системой координат	соотношениями:
x W i ( z k ');		(П1.2.1)
п 11 4п	V 9	(П1.2.2)
У3 “У3	(Z ) ,	(П1.2.2)

для которых определитель матрицы Якоби удовлетворяет не

равенству (П1.1.3).		координат		равны:
Базисные векторы систем
д^=(32	1 g			(П1.2.3)
	/ 0х-* )е^г t
*♦	If^	-1п	^	(П1.2.4)
gj..= (3z	/dxJ		)ek ,

Из формул (П1.2.3) и (П1.2.4) следуют выражения для ба зисных векторов декартовой системы координат:

ek,*(flx^/dzk#)gj ,

(П1.2.5)

Справедлива взаимно однозначная зависимость:

	Kk=xk (yj " ) ,				(П1.2.7)
	Vk4		k"(xj ).		(П1.2.8)
Подставляя е^,		,	определяемое	формулой	(П1.2.5), в
соотношение	(П1.2.4)	получим:
	gj,r=(92k,/3y^’)(axm/azk )gm=
	=(axm/ay ^" )gm- c j ,,gm.				(П1.2.9)
Аналогичная	формула	для обратного		преобразования имеет
вид:
	S.=(8Zk '/a*j) ( V W ' > v . =
	=(8ym "/axj)gm„=c^"gm„.				(П1.2.10)

Для коэффициентов преобразования справедливо равенство:

V	п ,f		1с	.	(П1.2.11)
С . „ С 3		=6	ш
3	ш

Аналогичным образом выводятся зависимости для преобразо вания контрвариантных базисных векторов:

gk=ck ..gj ” ,		( n i .2. 12)
g	g-1.	(П1.2.13)

Произвольный вектор а может быть описан в каждом из бази-
сов:	дк,дк„,д		,д	Имеем следующие равенства:
	4 -*	-*к	-*к"
	ц	1г4	Vи	4]г	-*1г«	(П1.2.14)
	a = a g k=a			дк„=aRg =ак„д		(П1.2.14)

Величины ак ,ак” называются контрвариантными компонентами

вектора в базисах

, д^„ , а величины а^ , а^„ - ко-

-*к -*к” вариантными компонентами вектора в базисах д , д

Соотношения для преобразования компонент вектора а имеют такой же вид, как и для компонент базисных векто ров :

ак=4 .аЭ”; ак	а .	(П1.2.15)
	Ditt

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА. Если происходит преобразование каждого из п нижних индексов ковариантных базисных векто ров или каждого из п верхних индексов контрвариантных

базисных векторов,		то речь идет	о компонентах тензора
n-го ранга	(при п=0	имеем скаляр,	при п=1 - вектор, при
п=2 - тензор 2-го ранга).
Положение индекса определяет тип компоненты тензора.
Компоненты	тензора являются:

-ковариантными, если индексы нижние;

-контрвариантными, если индексы тензора 2-го ранга как нижние, так и верхние.

Например, в		выражении Б^д^ср, и, соответственно,
■	величины	а также	S^j и S1^ - компоненты тен
зора 2-го ранга,обозначаемого			S.
Орт©нормированный декартовый базис, определяемый по
условию	(П1.1.8),	может являться контрвариантнык базисом.

В этом случае контрвариантный и ковариантный базисы не различаются и индексы могут быть нижними.

Для косоугольной и криволинейной систем координат эти базисы различаются. Когда в процессе постановки задачи используется декартовая система координат, это приводит к упрощениям.

Формулы преобразования одной координатной системы в другую удобно представляются, если использовать компонен

ты базисных	векторов:
	2 j. -»а. £i-» , -*1'		1.1	иt	(П1.2.16)
	f“fj9 -£ g ^ f ^ g	=f	g	иt	(П1.2.16)
е= е ^ д	g J=e Jgj g;j=ejLl,..,„q,tg	gJ	=e	J gi „g j„ .	(П1.2.17)

Из этих равенств следуют правила преобразования при ска лярном умножении на базисные векторы в одинаковой после довательности как для тензоров 2-го ранга, так и тензоров более высокого ранга. Коэффициентами преобразования яв ляются скалярные произведения базисных векторов старой и

новой	систем		координат.
Основные			правила суммированы в следующей таблице:
				Таблица П1.2.1.
	Тождества				Скалярное	ум	Результаты
					ножение	на
							i"
	fi9i=fi"31 '				'5j		fj=Cj
	fi9i=fi"31 '				'5j
					■gj
_	9			-*"1	■3i)gk		Skl=Ck C1 Si"j"
	9	—^j_njfi9 9J			■3i)gk		Skl=Ck C1 Si"j"
I I			Я ав 1 ■а	• »
„П-* -»		„1 1		• »	±1, Sk		Skl-c£„C^„S3-"i"
S	J9£9jeS			9j^i9ji.	±1, Sk
S	J9£9jeS			9j^i9ji.	•g )-g

В этой таблице:

cn„=gmgn,./

(П1.2.18)

при этом используются условие (П1.1.8) и следующее прави ло "перестановки":

ai=5iaj*

(П1.2.19)

1.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНДЕКСОВ ВВЕРХУ И ВНИЗУ

Ковариантные и контрвариантные смешанные компоненты тензоров связаны взаимно однозначными зависимостями. Они определяются таким же образом, как и коэффициенты преоб разования. Единственное отличие состоит в том, что ска лярное произведение по формуле (П1.2.18) включает базис ные векторы одного базиса и обозначается другим образом. Основные правила приведены в таблице П1.3.1.

В этой таблице использованы зависимости:

CT.	. =CT . . a g . - g				(П1.3.1)
i j		j i	-»i	-*j	(П1.3.2)
g	-gJ		=g	-gJ f	(П1.3.2)
	«	•	1
	Л	±1	•»]		(П1.3.3)
	5j=g		gJ,		(П1.3.3)

Тождества	Скалярное	ум	Результаты
	ножение	на
fл.д -f g±			■
fл.д -f g±			fj=9jifl
figi=f±gi	■P		fj-gijfi

-lOi x -c1		3 7.	7,	-1. -»k
s	g^9j—s	giltgj „		•g	)-g
где	• I	I	обозначают		ковариантные, контрвариант
	g1^	и 5j

ные и смешанные компоненты метрического тензора (такие же обозначения4*справедливы для фундаментального или метри ческого тензора).

Метрический тензор:

п-> -»	«.л.-» -»т	(П1.3.4)
g=g Jgi gj=gi jp	gJ=5jgi9	(П1.3.4)

является единичным тензором, так как его произведение на произвольный вектор а со сверткой дает сам вектор а:

a=g-а=а-g

(П1.3.5)

Так как в формуле (П1.3.5) вектор а можно разложить по напрвлению ковариантного, или контрвариантного, или любо го другого базисного вектора, то можно* получить зависи мости, представленные в таблице П1.3.1.

Так как:

то	аai=5iak—о^а	г
то	гJL	(П1.3.6)
д	Jgjk=*k -	(П1.3.6)

При представлении в матричной форме компонент ковариант ного, контрвариантного, смешанного метрического или еди-

ничного тензора из равенства (П1.3.6) имеем:

llg1^l!=llgijir1 .

Отметим, что из равенств (П1.3.1)-(П1.3.3) с учетом обо значения (П1.1.7) следуют равенства:

V" 1"-»	ч	к"	1"	к"	1"
®	1 с	"	^*j 5k"l"=^i		(П1.3.8)

На основании теоремы о произведенииопределителей зна чение определителя метрического тензора равно квадрату величины определителя матрицы Якоби:

9=|gi j M C j ” l2=|J|2'

<п1.з.9)

По формуле (П1.1.9) объем параллелепипеда равен:

,•* 4 ■»	(П1.3.10)
v=[g1g2g3] =v/ g7

1.4. СЛОЖЕНИЕ ТЕНЗОРОВ

,При сложении тензоров одинакового ранге в одном базисе складываются их компоненты:

•• I

f “t H c 3-; sij=aij+bjLj•

(П1.4.1)

При сложении тензоров, определенных в различных базисах, сначала их надо преобразовать к общему базису.

1.5. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТЕНЗОРОВ. СВЕРТКА. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТЕНЗОРОВ СО СВЕРТКОЙ

При умножении тензора к-го ранга на тензор m-го ранга получаем тензор (к+ш)-го ранга:

„ijklm-*		ч	ijk-* ■ * ч	lm±	±		(П1.5.1)
с			з ^ к ®	9 i V			(П1.5.1)
		cijк1т=д1jkglm					(П1.5.2)
. Если	базисные	векторы одного тензора				связаны	скалярно
с базисными векторами			другого тензора,		то. ранг произведе
ния этих	двух тензоров		уменьшается	на	2.	в этом	случае

говорят, что такое произведение тензоров является сверты вающим, или произведением со сверткой. Относительно ре зультирующего тензора говорят о его свертывании или сжа тии. При этом возникает вопрос: из каких базисных векто ров образуется скалярное произведениеЁ При символьной за писи считается, что первая точка, обозначающая скалярное произведение, относится к базисному вектору первого тен зора и первому базисному вектору второго тензора. Каждая следущая точка относится к скалярному произведению преды дущего базисного вектора первого тензора на последующий базисный вектор второго тензора. При координатном способе записи соответствующие индексы приравниваются и в резуль тате суммируются. Например, произведение двух векторов является тензором 2-го ранга:

s • • • с ..		(П1.5.3)
1J	1 J
Свертывающее произведение	(при	i=j)
S=S11+S22+S33		(П1.5.4)

является	тензором нулевого ранга (скаляром), который на
зывается	также следок	Двойное тензорное произведение
со сверткой можно представить следующим			образом:
	А Л	* •	(П1.5.5)
	w=s--e=s	J6 j£ .	(П1.5.5)

В конкретных задачах механики сплошной среды (ориенти рованный плоский элемент, кручение твердого тела, теорема об импульсе вращения) используется векторное произведе ние:

c-axb.

(П1.5.6)

Как известно, с -вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат векторы а и й, образует правую координатную систему (а,Й,с). Абсолютная величина вектора с (т.е. его

длина) равна |а[ •|b|.;sin(a*b).

Для того, чтобы записать равенство (П1.5.6) в тензор ной форме, введем так называемый тензор перестановки:

е=е Я Я (П1.5.7)

Его компоненты равны:

.4 4

4 4 -4

Из равенства (П1.5.8) инеем:

/ — ■

v 9 при цикличной перестановке (=1,2,3);

при цикличной перестановке (=1,3,2) ?(П1.5.9)

Одля остальных случаев

исоответственно:

(	1
---- при цикличной перестановке (=1,2,3);
/	Г
	9
.ijkj	1
/Г при цикличной					перестановке (=1,3,2);(П1.5.10)
	0 для	остальных			случаев,
где g=det(g^)		-	определитель метрического			тензора*
Равенство	(П1.5.6)		теперь		запишется в виде:
				•* , г*. ■»		(1115 11)
				с=(е-Ь)*а,		(1115 11)
или при записи через				компоненты:
			ci“cijka^bk*			(П1.5.12)
В частном	случае при			-4 4
В частном	случае при			a=gij и b=g^
					■
			9		j k^ г	( П1 . 5 . 13)

(i ,j,k=l,2,3'переставляются циклично).

1.6. СИММЕТРИЧНЫЕ И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕНЗОРЫ

• •

Тензор 2-го ранга S1-* называется симметричным,если

SXW \

(П1.6.1)

и антисимметричным, если

Любой тензор 2-го	ра__	южно представить в виде сум
мы симметричного	тензора,	равного
		(П1.6.3)
и антисимметричного тензора
		(П1.6.4)
т.е. справедливо	равенство:
		(П1.6.5)
В случае смешанных компонент:
		(П1.6.6)

т.е. симметрия не имеет непосредственного выражения. Од нако, имеется тесная зависимость между обоими видами ком понент, если тензор является симметричным, вследствие че го безразлично, где располагается верхний индекс - до или после нижнего индекса:

(П1.6.7)

Для тензоров высшего ранга имеем следующие определения. Тензор высшего ранга называется симметричным относи

тельно индексов т и п , если:
к...ш...n...r_sk...п..,ш...г	(П1.6.8)

Тензор высшего порядка называется антисимметричным от

носительно индексов ш и п , если:
к...ш...п...г__к..,п.,.т...г	(П1.6.9)
	(П1.6.9)

Если симметрия или антисимметрия имеют место при пере становке любых индексов, тогда тензор называется полно стью симметричным или, соответственно, антисимметричным.

Из формул (П1.5.9) и (П1.5.10) следует, что тензор е является полностью антисимметричным тензором 3-го ранга. Очевидно, он имеет лишь одну независимую компоненту:

е	123	=е	231	=е	312	—-е	132	=-е	213	„321	(П1.6.10)
										—-с

Все другие компоненты отсутствуют. Например, для е115 имеем при перестановке первых двух индексов:

С 112—“ Б 112 t

что справедливо только при е112=0.

1.7. ФИЗИЧЕСКИЕ КОМПОНЕНТЫ ТЕНЗОРА

Ковариантные или контрвариантные конпоненты тензора используют при решении конкретных физических задач (нап ример, при сравнении расчетных напряжений в твердом теле с допускаемыми), если их величины являются известными.

Например, в равенстве

-* I**	I-» .	, 3"*
а=а д ^ а	д^+а д2+а д3

длина вектора а1^ определяется величиной компоненты а1 и

абсолютной величиной |д^| базисного вектора д

Длина

вектора a^jg^l называется физической компонентой вектора

а в направлении дг и обозначается а*.

Длина вектора

равна:

|g1l=v/g^5"1 = / д ^ ,

(ni.7.1)

итогда:

Вобщем случае:

*i i / -	(П1.7.2)
а =а v

(ii)

Аналогичную формулу имеек для ковариантной компоненты:

ai=ai / g (ii)

(П1.7.3)

Таким образок, для вычисления физической компоненты тен зора необходимо его соответствующую компоненту умножить индексным способом на абсолютные величины соответствующих базисных векторов.. Для тензора 2-го ранга имеек следующие равенства:

^ W V g ^ g ^ ,

(П1.7.4)

(П1.7.5)

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3631 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202311.41 Mб10Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек..pdf
#
12.11.202317.13 Mб0Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач..pdf
#
12.11.2023813.41 Кб0Приложения определенного интеграла..pdf
#
12.11.202316.84 Mб8Применение аналоговых микросхем..pdf
#
12.11.2023862.08 Кб1Применение инновационных технологий и конструктивных решений в транспортном строительстве..pdf
#
12.11.202320.57 Mб12Применение метода конечных элементов к расчету конструкций..pdf
#
12.11.202316.27 Mб5Применение метода конечных элементов..pdf
#
12.11.202311.69 Mб8Применение методов теории вероятностей и теории надёжности в расчётах сооружений..pdf
#
12.11.20237.2 Mб0Применение постоянных магнитов в электромеханических системах..pdf
#
20.11.202321.81 Mб23Применение присадок в топливах.-1.pdf
#
13.11.202325.61 Mб36Применение присадок в топливах..pdf