книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

КЭГ описывается в работе[211]. Двумерная многосвязная область делится на простые подобласти-фрагменты. Внутри каждого фрагмента формируется регулярная сетка из тре­ угольных конечных элеменюв и (или) четырехугольных. При­ мер построенной сетки показан на рис* 7.3.3. При этом должны выполняться условия:

- стороны КЭ могут быть криволинейными?

-в качестве исходных данных выбираются координаты узлов на границе области;

-конечноэлементная сетка является однородной;

-координаты внутреннего узла вычисляются как координаты

Рис. 7.3.3. Автоматическая генерация сетки КЭ для перфорированной пластины (г - плотность элементов).

Алгоритм, использующий эти условия, позволяет пост­ роить квазирегулярную сетку конечных элементов. Примене­ ние графических средств в интерактивном режиме работы до­ пускает вмешательство в процесс генерации на любом шаге.

Более общие алгоритмы описываются в работах [79,173]. Моделируемая двумерная область делится на произвольные треугольные и четырехугольные фрагменты. Трехмерная об­ ласть делится на призматические и шестигранные фрагменты [173]. Исходными являются координаты вершин и число раз­

Неотъемлемой частью программы автоматической подготов­ ки данных для МКЭ являются программные модули оптимальной нумерации узлов [79,102,144,159,174]. Современные сервис­ ные программы включают также программные модули графичес­ кого изображения конечноэлементной модели с последующей коррекцией сетки КЭ . Алгоритмы с использованием компью­ терной графики реализованы в программах PLANIT [155] и ОКО [60]. Программа ОКО {Осмотр, Корректировка) позволяет в режиме диалога между пользователем и ЭВМ осуществлять контроль и редактирование исходных данных для МКЭ. Конеч­ ноэлементная модель конструкции формируется из различных типов конечных элементов: стержней, балок, треугольных и четырехугольных плоских и изгибаемых КЭ. Редактирование конечноэлементной модели заключается в изменении коорди­ нат узлов, удалении или добавлении как узлов, так и КЭ . Программа ОКО позволяет высветить на экране дисплея фраг­ мент модели, осуществляя поворот модели на разные углы.

Построение конечноэлементной модели является первым этапом расчета конструкции, которое должно удовлетворять следующему требованию: получения решения задачи с нужной точностью при наименьших затратах машинного времени. Поэ­ тому корректировке конечноэлементной сетки должен пред­ шествовать анализ сетки КЭ, который основывается на кри­ териях качества конечноэлементной модели.

КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА СЕТКИ КЭ . Критерии качества конечно­ элементной модели распадаются на две группы.

Впервую группу включаются следующие критерии:

-ширина ленты матрицы жесткости(для ленточной матрицы);

- геометрия каждого КЭ (его форма и расположение узлов);

-степень соответствия сетки предполагаемому решению;

-специальные критерии.

Критерий качества, связанный с оптимальной нумерацией уз­ лов, описан в работах [170],[171].

Причинами погрешности при расчетах по МКЭ являются:

-ошибки округления;

-недостаточная дискретизация внутренней части области

твердого тела;

-неточность представления границы тела;

-несовместность на границах элементов;

-погрешность дискретной модели (погрешность в аппрокси­ мации полей перемещений КЭ).

Вработах [99,167,202] предлагаются критерии качества оценки погрешности, позволяющие проверить сетку на топо­ логическую состоятельность и алгоритмы улучшения конечно­

на основе инженерной и,нтуиции способен сделать качествен­ ный прогноз поведения конструкции (например, зон больших

градиентов деформаций). Для повышения точности решения необходимо сгущение сетки в этих зонах и использование КЭ с более высокой степенью аппроксимирующих функций. В работе [99] описывается алгоритм автоматического сгущения конечноэлементной сетки в таких зонах. Численный критерий качества сетки, предложенный в работе [113], основывается на методе штрафных функций. Этот критерий учитывает от­ клонения размеров и формы КЭ от оптимальных, однородность сетки и время расчета на ЭВМ.

Физические особенности задачи учитываются специальными критериями качества. В работе [192] описывается такой критерий, используемый для моделирования колебаний кон­ струкций. В этом критерии размеры каждого КЭ сравниваются с величиной kv/f, где v - скорость волны сдвига,f - мак­ симальная частота нагрузки как функции времени, к - коэф­ фициент, значение которого зависит от степени аппроксима­ ции решения в КЭ. Этот критерий позволяет оценить досто­ верность решения. Повышение достоверности решения дости­ гается за счет дальнейшего измельчения конечноэлементной

ность расчета и основывается на результатах расчета с ис­ пользованием анализируемой конечноэлементной модели.

чи, в работе [149] является критерий оптимальности. Кри­ терий оптимальности выбирается как минимум суммарной квадратичной погрешности, получающейся при сравнении ре­ зультатов расчета по МКЭ с точным решением. Предлагается аналитический метод построения оптимальной сетки КЭ с вы­ числением координат узлов при заданном их общем количест­ ве.

Алгоритмы улучшения конечноэлементных сеток на основе анализа результатов расчета и соответствующие критерии качества описываются в работах [157,207,208].

В работе [179] сформулирована и доказана теорема о наилучшем подборе конечноэлементной сетки для задач ли­ нейной теории упругости. Показано, что для оптимальной сетки отношение упругой энергии деформации в конечных элементах единицы объема (единицы площади) тела к числу узлов (т.е. их плотности) имеет постоянное значение. Кри­ терии качества, основанные на таких оценках, составляют основу алгоритмов, обеспечивающих заданную точность рас­ чета.

Критерии второй группы могут быть объединены по усло­ вию минимизации общего времени расчета на ЭВМ. В работе [48] показано, как на основе численного эксперимента строятся целевая функция и функция ограничений. Решением соответствующей задачи оптимизации является оптимальная сетка конечных элементов.

Дальнейшим развитием решения этих проблем является ме­ тод адаптивных сеток. Метод адаптивных сеток позволяет эффективно решать ряд задач за счет отказа от прямых ме­ тодов решения системы линейных алгебраических уравнений. Итерационные методы при использовании адаптивных сеток позволяют решать большие системы линейных алгебраических уравнений, содержащие до 100 тысяч неизвестных [83].

Современные программные комплексы имеют достаточно эффективные препроцессоры. Например, для графического со­ провождения подготовки файлов для комплекса NASTRAN ис­ пользуется пакет программ SPIFFI. Используется программа генерации сетки конечных элементов MSGMESH и графический пакет MSGVIEW,который используется танже для графического анализа результатов расчета (изображения деформированного ‘состояния конструкции, эпюр моментов, линий равных напря­ жений на поверхности). К числу универсальных препроцес-

сорных программ для МКЭ относятся PDA/PATRAN, SUPERTAB, FEMGEN, FEMALE. В комплексе ASKA используется графическая система FEPS(Finite Element Plotting System). В качестве препроцессора используется FEMGEN, в качестве постпроцес­ сора FEMVIEW. Программа ЛИРА также имеет пре- и постпро­ цессорные программы.

Проблемы разработки сервисных программ описаны в ра­ ботах [18,83,86]. Переход на новые информационные техно­ логии, связанные с появлением персональных компьютеров, требует разработки новых подходов к реализации на них МКЭ. Графические системы для ПЭВМ описаны в работе [67]. Подсистемы автоматизированной подготовки данных, обработ­ ки результатов расчета с графическим анализом исполь­ зуются в ППП РКМ на ЭВМ IBM PC.

Г л а в а 8

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ

8.1 СТРУКТУРНАЯ КОНСТРУКЦИЯ

Примерок структурной конструкции является каркас промышленного здания, состоящий из структурного покрытия и несущих стальных или железобетонных колонн, (рис. 8.1.1). Структурные покрытия применяются в виде стержневых кон­ струкций. Эти конструкции изготавливаются из разных мате­ риалов (стали, алюминия, дерева,’пластмасс и т. д. ).

Рис. 8.1.1. Структурная конструкция.

Стержневые конструкции имеют ряд преимуществ. К ним относятся:

- пространственная работа при действии сосредоточенных нагрузок;

-возможность произвольной расстановки колонн-опор, поз­ воляющая получать большие внутренние пространства;

-повышенная надежность, обусловленная многократной ста­ тической неопределимостью конструкции и перераспределе­ нием действующих локальных нагрузок;

-архитектурная выразительность за счет разнообразия в выборе конструктивных решений;

-максимальная унификация стержневых и узловых элементов,

иза счет этого их поточное изготовление;

-использование прогрессивных методов монтажа конструкций крупными блоками;

-компактность при транспортировке.

Структурная конструкция позволяет также решать весь объем сооружения, включая покрытие, стеновое ограждение, фундамент. Принером такой конструкции является многогран­ ный структурный купол, показанный на рис. 8.1.2.

Рис. 8.1.4. Внутриконтурная схема опирания структурного покрытия.

рое выявляется как правило, при экспериментальных иссле­ дованиях.

В регулярных стержневых системах типа структурных пок­ рытий распределение усилий между стержнями происходит наиболее рационально: каждый стержень испытывает, в ос­ новном, осевые усилия растяжения или сжатия. Это обуслов­ лено т4м, что в узле сходится большое количество гибких стержней. В них изгибные и крутильные усилия малы.» Поэ­ тому моделирование узловых сопряжений шарнирными соедине­ ниями на первом этапе исследования является вполне оправданным.

Регулярность расположения стержней в стержневых кон­ струкциях существенно облегчает подготовку исходных дан­ ных для МКЭ при использовании готовых генераторов сеток КЭ или разработке таковых под конкретные конструкции. На рис. 8.1.5 показано структурное покрытие с регулярным

расположением стержней при действии равномерно распреде­ ленного давления д. Здесь же приведено распределение уси­ лий в стержнях в относительных единицах. Одна относитель­ ная единица (1) соответствует диапазону усилий' в 1000 единиц . Знак (-) означает сжатие, знак (+) - растяжение. Анализ распределения усилий показывает, что наибольшие усилия реализуются в стержнях, примыкающих к опорной зо­ не. Поэтому в структурных покрытиях, как правило, исполь­ зуется несколько типов стержней, обладающих различной жесткостью и прочностью. Это приводит к квазирегулярности в конструкции структурного покрытия, что существенно зат­ рудняет применение первой группы методов расчета, осно­ ванных на моделировании континуальной системой.

Г,~Гг~Т~,~Т

Рис. 8.1.5. Усилия в стержнях верхнего пояса структурного покрытия при равномерно распре­ деленном давлении.

В соответствии с действующими строительными нормами и правилами расчет проектируемой конструкции производится на различные сочетания нагрузок. На рис. 8.1.6 приведены примеры расчетных нагрузок, действующих на структурное покрытие.

Нагрузки на структурную конструкцию включают комбина­ ции нагрузок от осадки опор, ветровых, вертикальных пос­ тоянных или временных, технологических, температурных.