книги / Принципы динамической теории решетки

iwi> п2, ..., пзх) = |п,) |м2) ... In3fl)

а операторы bs и Ь$ действуют на состояния (1,3.29) следующим об­ разом:

Ъ, |п, . . . п , . . . щ х) = Ущ\щ ... (щ — 1) ...п зя),

-------- (1.3.30)

V К ... М ,... ПЗК) = ]Ч + 1 |и, ... (и, + 1) ... Изд.).

Стационарные состояния системы, описываемой гамильтониа­ ном (1.3.19), характеризуются набором целых чисел ns , которые обозначают число квантов с энергией ftcos связанных c s -м осциллято­ ром. Квант энергии hcos называется фононом.

На практике решение системы уравнений на собственные значе­ ния (1.3.11) представляют собой, вообще говоря, затруднительную математическую задачу, так как система (1.3.11) имеет порядок 3/V, где N - большое число. Однако для кристаллических веществ задача поддается решению из-за особенности динамической матрицы. В этом случае (благодаря периодичности решетки) динамическая матрица представляет собой простую рекурентную сетку, что позволяет свес­ ти задачу к одной матрице, но гораздо меньшего порядка. Как будет показано ниже эта матрица лишь порядка 3г , где г означает число атомов в элементарной ячейке.

В кристаллах с идеальной периодичностью массы атомов не за­ висят от индекса ячейки I и, согласно (1.2.25), атомные силовые пос­

тоянные Фаа •(lxv 1'х') зависят лишь от разности / и I т.е. га­ мильтониан (1.3.1) коммутирует с оператором трансляции кристалла как целого на вектор трансляции решетки. Из последнего факта сле­ дует, что смещения атомов иа (1х) должны быть одновременно соб­ ственными функциями оператора трансляций и гамильтониана. Тогда

иа(Ы) должно иметь вид

где х(1) вектор положения / - й элементарной ячейки (ср. (1.2.18)).

Чтобы определить вектор к в (1.3.31), разделим бесконечный кристалл на параллелепипеды, грани которых определяются векторами решетки Lav La2, Lab (L3 = N есть число примитивных элемен­ тарных ячеек в таком параллелепипеде), и наложим на и(/к) периоди­ ческие граничные условия

w (/j/2^3^) — и{11 “I- Z2 ■}■ w ijij Z3 "I- г (1 .3 .«32)

a va - объем примитивной элементарной ячейки кристалла.

Чтобы найти все различные решения уравнения движения, удов­ летворяющие условию (1.3.32), ограничимся вектором к, лежащим в элементарной ячейке обратной решетки. Возьмем симметричную элементарную ячейку (первую зону Бриллюэна), которая строится аналогично ячейке Вигнера - Зейтца. Удобство такого выбора связа­ но со свойством инвариантности первой зоны Бриллюэна по отноше­ нию к операциям точечной группы пространственной группы кристал­ ла, которая также является точечной группой обратной решетки.

Подставляя (1.3.31) в (1.3.2), получим уравнения для собствен­ ных значений, определяющие соотношение между частотой со и вол­ новым вектором к :

Для кристалла с г атомами в элементарной ячейке динамическая матрица D(k) (1.3.38) представляет собой эрмитову 3г х Зг-матрицу

26 Глава 1

Уравнения для собственных значений (L3o37) при каждом к име­ ют Зг решений, обозначаемых индексами j (они пробегают значения от 1 до Зг и называются номером ветви):

Таким образом, как уже отмечалось выше, уравнения для собствен­ ных значений (1.3*41) для периодического кристалла имеют порядок Зг, а не 3N (ср„ (1„Зо9)), что существенно упрощает нахождение соб­ ственных значений,,

Из-за эрмитовости динамической матрицы (1.3.38) ее собствен­ ные значения ofj(k) действительны, а устойчивость кристалла тре­ бует положительности соЗ(Л), т.е„ действительности соу(А)0 Более того, заменяя к в (1.3„41) на - к и взяв комплексное сопряжение от этого уравнения, мы находим, что соЗ( _ k) и е*(х\ - k j ) соответст­ венно являются также собственными значениями и собственными векторами матрицы D(k), т„е„ при определенном выборе фазы можно положить

Отметим, что для решеток Браве собственные векторы е (kj) действительны благодаря тому, что для этих решеток отражение является операцией симметрии; следовательно, Фаа '(/) = Фаа •(- /) из (1-2о22) и, таким образом, из (1оЗ„38) D* a '(k) = Da a » (fe).

Собственные векторы е а (х\ kj) описывают поляризацию Зг соб­ ственных колебаний кристалла, связанных с данным волновым век­ тором к . Мы можем положить, что они удовлетворяют условиям ортонормированности и полноты

28 Глава 1

чае нескольких атомов в элементарной ячейке это не всегда справед­ ливо (см* приложение 1)* Более того, следует заметить, что, соглас­

но (1*3*43), со?(£) - четная функция А, даже если точечная группа кристалла не содержит инверсии*

Давайте сейчас рассмотрим вырождение ветвей колебаний в точ­ ке А зоны Брцллюэна, обладающей высокой симметрией (рис* 1*1)* Для такой точки существуют операции S , отличные от единичного оператора, такие, что

с Ьи Ь2, Ь3, задаваемыми равенствам (L3*34), и целыми Л,, Л2, A3.

Таким образом, если мы применим операцию S к собственной функ­ ции матрицы D (А), то можем получить новую функцию, линейно неза­ висимую от предыдущей, но обе функции будут иметь одинаковые собственные значения* Изучение этих так называемых существен­ ных вырождений требует, чтобы мы определили неприводимое пред-

Рис. 1.1. Зона Бриллюэна кристалла с решеткой алмаза. Соответственно про­ писными греческими и латинскими буквами обозначены точки и линии высо­ кой симметрии, определенные согласно (1 .3 .4 9 ).

ставление подгруппы, образуемой операциями S, удовлетворяющими (1.3.51) (более детально см. приложение 1).

Собственное значение уравнения (1.3.41) имеет три решения с нулевой частотой., В этом легко убедиться, подставляя (1.3.38) в (1.3.41) и используя соотношение

которое следует из (1.2.7). Оказывается, что эти три решения с нуле­ вой частотой даются выражением

t

где е (У) (У = 1, 2, 3) - три взаимно перпендикулярных единичных век­ тора, а Мт _ общая масса атомов в примитивной элементарной ячей­ ке кристалла,, Колебания (1.3.53) с .частотой со;- (о) = 0 (у = 1, 2, 3) не изолированы, а представляют собой часть непрерывного спектра,, Справедливо соотношение

к>0

где к = к / 1к |а Чтобы увидеть это, разложим функцию

по степеням со2 и С учетом (1.3.40) имеем

(1.3.50)

где индекс 0 означает производную, вычисленную при со= 0, k = 0. Далее заметим, что справедливо f (0, 0) = 0, так как уравнение для собственных значений (1.3*37) при со = 0, к = О должно иметь реше­ ние. Уравнение на собственные значения при разложении (1.3.55)

будет иметь вид

* (ih \ +T iS k^ i & ) о + В ы с ш и е ч л е н ы = °»

из которого мы получаем (1.3.54) с

(1.3.58)

30 Глава 1

где /у означает ту ветвь многозначной функции / # которая дает

« , ( * ) .

Аналогично собственные векторы, принадлежащие собственным значениям (1.3.54), становятся независимыми от А в пределе А -*О* Соответствующее движение атомов очень похоже на трансляцию кристалла как единого целого (ср„ (1.3.53)).

Зависимость собственных частот от волнового вектора типа (1.3.54) характерна для упругого континуума.

Три ветви колебаний кристалла с длинноволновыми свойствами (1.3.54) называются акустическими ветвями. В пределе А -» 0 собст­ венные частоты остальных Зг - 3 ветвей кристалла имеют конечное значение и атомы различных подрешеток колеблются друг относи­ тельно друга как единое целое. В ионных кристаллах такое движение приводит к макроскопическим флуктуациям дипольного момента, по­ средством которого кристаллл может взаимодействовать с электро­ магнитным излучением. Из-за этого свойства оставшиеся Зг - 3 вет­ вей названы оптическими. Для линейной двухатомной решетки зави­ симость частот акустического и оптического колебаний от волново­ го вектора (так называемые дисперсионные кривые) показана на рис. 1.2, а смещение атомов в такой решетке — на рис. 1.3. На

Рис. 1 .2. Оптическая и акустическая фононные ветви двухатомной линейной

решетки с расстоянием между ближайшими соседями, равным а. Для ре­

шетки с постоянной взаимодействия между ближайшими соседями у и масса­ ми Mi и Мг (М\ > М 2) предельные частоты равны СОд = (2y/Mi) l *2v' со0 = = (2тг/А»2 ) 1 / 2 и <J L = • [ 2 7 (1/Afi + 1/М 2 ) ] , / 2 .