книги / Математическая теория энтропии

где супремум берется по всем (п, е)-разделенным подмноже­

в (п, е)-разделенных подмножествах X. Положим

Р(Т, g, е) = lim sup -i- log Pn(T, g, e). rt->°° П

Как и выше, из определения (п, е)-разделенности следует, что* если е, > е2, то Рп (Т, g, е() < Рп(Т, g, е2) и Р (Т, g, е,) < . ^ Р (Т, g, е2). Поэтому существует конечный или бесконечный, предел lim*^o/>(T, g, е).

Определение 5.12. Пусть Т — непрерывное отображение ком­

из всех вероятностных мер р, для которых при любом выборефункции g е С (X, R) выполнено равенство \ dp,(goТ) =•

— \ dp (g). Иначе говоря, Мт(Х) — это множество всех Т-инва-

риантных вероятностных мер на X. Упомянутый выше вариа­ ционный принцип составляет содержание следующей теоремы, доказательство которой можно найти в статье [162].

Теорема 5.13. Если Т — непрерывное отображение простран­ ства X в себя, то для любой функции g ^ C ( X , R) выполненоравенство

Равновесным состоянием для функции g относительно ото­ бражения Т называется любая мера 1хеЛГт (ЛГ), для которой, выполнено равенство

Р(Т, £) = М Т ) + $ * И (<**)£(*)•

*) Часто используется также термин «топологическое давление». — Прим*, перев.

Заменим, что если отображение Т является строго эргодическим, т. е. множество Мт (X) состоит из единственной меры, то эта мера является равновесным состоянием.

Пусть \х —- равновесное состояние. Если считать, что непре­ рывная функция g измеряет потенциальную энергию системы,

Л(1(Т) = Р(Т, £ ) ( < * * ) £ ( * )

представляет собой обычное соотношение между давлением, энергией и энтропией из статистической термодинамики *). Проблема существования равновесных состояний все еще остается предметом интенсивных исследований. Современное введение в эти вопросы можно найти в лекциях Боуэна [25]12).

1) Ср. с теоремами 6.2 и 6.20. — П р и м. пер ев .

2) Приведем здесь один результат из книги Боуэна: если Т — разделяю­ щей гомеоморфизм, то для каждой непрерывной функции g существует равно­

Глава 6

СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

6.1. ВВЕДЕНИЕ

Задачей статистической механики является вывод макроскопи­ ческих свойств вещества из законов, определяющих микроско­ пические движения и взаимодействия индивидуальных частиц. Системы, рассматриваемые в статистической механике, состоят из большого числа (например, в одном литре воздуха содержится порядка 10й молекул) подсистем (молекул). Состояние подобной системы на микроскопическом уровне определяется точкой 6N- мерного пространства, где N — число подсистем (или частиц), образующих систему. Напомним, что мы обращались к таким системам в ином контексте в разд. 2.8 и во введениях к гла­ вам 4 и 5.

Макроскопическое описание подобной системы может быть дано с помощью относительно небольшого числа величин, назы­ ваемых термодинамическими переменными или функциями, — энергии, объема, температуры и т. д. Одной из таких термо­ динамических переменных является энтропия системы. Тер­ модинамика занимается изучением соотношений, имеющихся между различными термодинамическими переменными, и если подходить с математических позиций, этот предмет может быть полностью аксиоматизирован [28]. В частности, равновесные состояния системы могут быть описаны с помощью относительно небольшого числа термодинамических переменных.

Мы не будем касаться здесь известных соотношений между энтропией и другими термодинамическими переменными для системы, находящейся в равновесном состоянии. По этому по­ воду читатель может обратиться к книгам [28] или [154]. Нас будет HHtepecoeaTb та часть статистической механики, которая

мы введем понятие (средней) энтропии равновесного состояния классической системы и продемонстрируем связь этого поня­ тия с энтропией динамических систем из гл. 2. Мы также по­ кажем, как равновесные состояния связаны с другими, более классическими понятиями, используемыми для описания системы.

тояния) на пространстве бесконечных подмножеств (конфигу­ раций) R n или Z n .Мы будем применять эту модель в наших обсуждениях, хотя она и не является самой стандартной ни с физической, ни с исторической точек зрения. Обычно при изучении равновесных систем рассматривают так называемый термодинамический предел конечных систем в фазовом прост­ ранстве. Последние описываются с помощью микроканонического, канонического или большого канонического гиббсовских ансамблей. Вое, кто занимался статистической механикой, бы* ли твердо убеждены в том, что различные ансамбли в термо­ динамическом пределе дают эквивалентные описания. В книге Рюэля [131] доказывается, что вычисление всякой термодина­ мической переменной с использованием термодинамического* предела конечных систем, описываемых одним из этих ансамб­ лей, равносильно ее вычислению с использованием любого другого ансамбля. В [9] показано, что различные ансамбли приводят в термодинамическом пределе к почти эквивалент­ ным мерам (корреляционным функциям) при.довольно слабых дополнительных предположениях. Мы говорим «почти», по­ скольку при отсутствии единственности предельного состояния, как будет в случае фазового перехода, эквивалентность уста­ навливается между множествами предельных состояний, отве­ чающих различным ансамблям. Подробное изложение этих результатов читатель может найти в [131], [9] или [75].

Перед тем как перейти к точным определениям энтропии и равновесных состояний для пространства бесконечных конфи­ гураций, мы в следующем разделе дадим краткий, обзор мате­ матических понятий, , обычно используемых в статистической механике. Это создаст некоторую основу для дальнейших обсуж­ дений. Большинство из этих результатов хорошо известно, и следующий раздел является продолжением разд. 2.8 и 4.1. Строгое изложение приводимых результатов можно найти в книгах [154] и [66] (в дополнение к другим источникам, ука­ занным в этой главе) *).

6.2. КЛАССИЧЕСКИЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ

Мы ограничимся рассмотрением классических систем. На микроскопическом уровне состояние классической системы, со­ держащей N тождественных подсистем (молекул, атомов и т. д.), определяется точкой (pu, р12, pi3, . . . » Рдп, p N2>PN з>Я\ь Ч\г> <7i3> • • •

*) Очень важную роль в выяснении связей между математической тео­ рией энтропии и статистической физикой сыграла книга Крылова [1950].—

Прим, ред.

циальная энёргия. Поскольку, как правило, предполагается, что система заключена в некоторую ограниченную область Л пространства R3, т. е. (qtl, Чп> Ча)е Л для i = l , 2, ... , N, по­ тенциал U часто записывают в виде суммы двух слагаемых: потенциальной энергии V (qu........ <7лгз)» связанной с наличием внешних сил (например, сил взаимодействия со стенками со­ суда, вынуждающих систему оставаться внутри области Л), и функции <р(<7„, ... , <7дг3), представляющей собой энергию взаи­ модействия между N подсистемами. Например, если рассмат­ ривать только парные изотропные взаимодействия, то <р будет иметь вид

ф(<7п> •••> Чт) — к к к »„ °(si/)>

где а — это некоторая вещественнозначная функция, a slt (/Ф /) — это расстояние между i-й и /-й подсистемами, т. е.

SH— [(<7п — Чц)24* (Чп — Ч/г)2+ (Ча ~ 4iз)2] •

Для того чтобы такая система проявляла термодинамическое поведение, т. е. существовал термодинамический предел, необ­ ходимо наложить на функцию а ряд ограничений. К примеру, для типичного короткодействующего взаимодействия, удовлет­ воряющего условию «наличия твердой сердцевины», график парного потенциала а похож на изображенный на рис. 6.1.

Эволюция системы во времени описывается дифференциаль­ ными уравнениями Гамильтона:

дают только поступательными степенями свободы. — Прим. перев.

v>u<°>(0) = (p(0W (0)).

Как и в разд. 2.8, с помощью таких решений можно опреде­

лить на множестве R3JVX поток {Tf: / e R } по формуле

Т / (р, Ф ’= F(р, q) ( / ) ,

причем в силу независимости гамильтониана Я от времени поток Т* переводит каждую поверхность постоянной энергии

а

в, себя. Иначе говоря, траектории потока лежат на. поверхно­ стях уровня энергии. Более \того, из теоремы Лиувилля сле­ дует, что этот поток сохраняет меру Лебега на множестве

1 Нас не интересуют конкретные микроскопические состояния системы (наборы координат (р, q) составляющих ее подсистем), вместо этого мы будем интересоваться множеством состояний,

лежащих на энергетической поверхности Я -1 (£), где £ —не­ которая заданная постоянная величина энергии, и распреде­ лением этих состояний во времени. Основной постулат Гиббса

состоит в том, что равновесное распределение макроскопичес­ ких состояний изолированной системы является равномерным распределением на энергетической поверхности. Энергетичес­

кая поверхность Н~х (Е) имеет нулевую меру Лебега. Однако если положить

то удовлетворяющая постулату Гиббса и сохраняемая потоком {Т<} мера будет задаваться формулой

Siwr/Siwr*

где Q= Н~1(£), da —элемент площади на поверхности Q, А — борелевское подмножество Q *). Эту меру часто называют микроканоническим ансамблем.

До сих пор мы предполагали, что система изолирована.

вана. Если положить р = (£Г)~12), где Л — постоянная Больц­ мана, а Т — абсолютная температура резервуара В, и обозна­ чить гамильтониан системы А через НА, то канонический ансамбль определяется мерой

\ “ Р (“ № А) аХА

\ехр ( - р я л)< а Л

аЛ

где Од — фазовое пространство системы А, СсгОд, а Яд — ме­ ра Лебега на Од. Для того чтобы получить это распределе­ ние из микроканонического распределения, необходимо сделать некоторые дополнительные предположения о взаимодействии систем А и В, f. е. о связи гамильтониана системы A U В с

') Для того чтобы знаменатель а этой формуле был конечен, достаточно потребовать конечности объема области А и ограниченности снизу потенциа­ ла и. — Прим, nejpee.

*) Величину Р обычно называют обратной температурой. — Прим, перев.

этом, зависит от того, какой ансамбль использовался для получения статистической суммы. Например,

Нш -г4-г log Q (Д, N, р) = удельная свободная энергия. Л-Юо Iл I

Рюэль в [131] показывает, что термодинамические переменные, получаемые с использованием различных ансамблей, связаны так, как это и предсказывается термодинамикой.

Как уже говорилось, мы пойдем другим путем и будем непосредственно рассматривать равновесные состояния беско­ нечных систем. Эти состояния также определяй^ термодина­ мические переменные, как доказывается в [131]. Нашей конк­ ретной целью сейчас является показать, что для решетчатых систем средняя энтропия на единицу объема в точности сов­ падает с энтропией сохраняющего меру преобразования (или, точнее, группы сохраняющих меру преобразований), ^рассмат­ ривавшейся в гл. 2.

6.3. КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕТЧАТЫЕ СИСТЕМЫ

Классические решетчатые системы представляют собой мате­ матические модели кристаллов, состоящих из множества под­ систем, каждая из которых может находиться в одном из несколь­ ких возможных состояний. Поскольку эти системы являются простейшими для понимания среди классических систем, мы ограничимся их рассмотрением. Для решетчатых систем мно­

жество R3fi заменяется на Z 3N (множество точек из R3Wс целыми координатами), «так что ограниченная область Л в Z3^ —это

просто конечное множество. Для каждой точки а е Л S Z 3ff через Qa обозначается набор всех возможных состояний под­ системы, находящейся в точке а. Например, при описании сплава Q„ будет множеством всех химических элементов, атомы которых могут находиться в точке а. Другой пример можно получить, ейли в качестве Qa взять множество {0, 1}, где О означает, что точка а свободна, а 1 — что занята.

Определение 6.1. Пространством конфигураций решетчатой системы на множестве A c z Z 3lf называется множество 0л==

== Х„ <= лйв. Конфигурацией решетчатой системы в Л называется элемент множества QA, а состоянием решетчатой системы в Л — вероятностная мера на QA.

Заметим, что в случае, когда А является ограниченным под­

множеством Z 3N, пространство конфигураций QA конечно, и каждое состояние решетчатой системы в Л может быть задано дискретным вероятностным распределением Р — {Р (ю): © е QA};