книги / Математическая теория энтропии

262 Гл. 4. Эргодическая теория

показал Суонсон [152], имеются производные автоморфизмы Бернулли. Видоизменив пример Фельдмана, Рудольф [129} построил несчетное семейство попарно неэквивалентных по Какутани автоморфизмов с нулевой энтропией. Каток [62] получил этот же результат другими методами.

При построении своего примера Фельдман ввел расстояние между семействами упорядоченных разбиений, являющееся

аналогом ^-метрики, участвующей в определении «очень сла­ бой бернуллиевости» и «конечной определенности» (см. разд. 4.7). Это расстояние было также независимо введено

Сатаевым [137]. Оно называется f-метрикой, и понять его определение будет легче, если предварительно мы сформули­

руем другое определение ^-метрики.

Определение 4.56. Пусть {£,} и {%}, '/= 1 , 2, ... , W, —упо­ рядоченные измеримые разбиения с k элементами пространств

(Q,, У х, Рх) и (£22, &~2>Ру) соответственно. Положим & = V^-i it и £2= V?Li т]г. Тогда

(определение 4.28), НN— нормированная метрика Хемминга, т. е.

HN({xu • • •> Хм), (у\9 У2у • • •>

а инфимум берется по всем вероятностным мерам v на для которых v (Л X Q;,) = (Л)ь (Л) и v (Qt, X В) = (Рук, (в )-

Для того чтобы получить f-метрику, надо вместо исполь­ зовать расстояние FN между упорядоченными наборами N целых чисел, которое определяется следующим образом:

фиксированную динамическую систему как такую, для которой существует конечно фиксированное образующее разбиение. В§рно также, что разбиение является LB-разбиением тогда и только тогда, когда оно конечно фиксировано*1). Теореме об изоморфизме соответствует следующая теорема.

j Теорема 4.60. Если Т и S-—конечно фиксированные метри­ ческие автоморфизмы, то они эквивалентны по Какутани тогда и только тогда, когда либо оба они имеют нулевую энтропию, либо оба имеют положительную энтропию. Повороты окружно­ сти на иррациональный угол и системы Бернулли являются ко­ нечно фиксированными.

Заинтересовавшийся читатель сможет найти изложение тео­ рии эквивалентности и последних связанных с ней результатов

в|мемуаре Вейсса [164]. Хорошие обсуждения приведены также

в|работах: Вейсс [163] и Каток [62]2).

*) Поэтому можно говорить и об LB-системах или LB-автоморфизмах. —

П ^ и м . перев.

I 2) Подробный обзор теории эквивалентности содержится в работе Ornstein, Rudolph, Weiss [1982]. Там, в частности, приводится доказательство то^о, что для любого А, 0 ^ А оо, существует несчетное число попарно неэк­ вивалентных автоморфизмов с энтропией А. — П р и м. перев.

Глава 5

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА

5.1. ВВЕДЕНИЕ

Топологическая динамика берет свое начало со знаменитой работы Пуанкаре [118] по качественной (или геометрической) теорий обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе Пуанкаре можно найти многие из основных идей и понятий современной теории динамических систем. Эти идеи были фор­ мализованы и обобщены Биркгофом [19], который начал систе­ матическую разработку теории динамических сгомем. Динами­ ческие системы, изучавшиеся Пуанкаре и Биркгофом и назы­ ваемые теперь классическими динамическими системами,—это системы, задаваемые некоторым обыкновенным дифференциаль­ ным уравнением на открытом подмножестве «-мерного евкли­ дова пространства или на каком-то многообразии. Таковы, в частности, второй пример из разд. 2.8 и пример из разд.-4.1.

Более подробно обыкновенное дифференциальное уравнение х — Н (х), где Я — гладкое векторное поле на гладком много­ образии М, вложенном в R", определяет динамическую систему следующим образом. Из фундаментальной теоремы о сущест­ вовании и единственности решения дифференциальных уравне­ ний следует, что для каждой точки р т М существуют содер­ жащий нуль открытый промежуток 1Рна вещественной прямой R

гладкой в силу теорем о зависимости решений дифференциаль­ ных уравнений от «начальных условий».

В частности, для любого ^ e R отображение ф(-, /) = Т* является диффеоморфизмом М. Поскольку рассматриваемое дифференциальное уравнение имеет единственные решения, для

с метрической энтропией. Другое определение топологической энтропии, появившееся в результате изучения ее взаимоотно­ шений с дзета-функцией диффеоморфизмов [22], показывает, что она тесно связана и с другими инвариантами топологиче­ ской сопряженности.

В этой главе мы рассмотрим понятие топологической энтро­ пии для непрерывных отображений компактных хаусдорфовых пространств. Этот уровень общности представляется наиболее подходящим для понимания основных свойств топологической энтропии и ее связей с метрической энтропией, равно как и ее взаимоотношений с другими инвариантами топологической сопряженности.

5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ЭНТРОПИИ

В этом разделе мы приведем первоначальное определение топологической энтропии непрерывного отображения компакт­ ного хаусдорфова пространства в себя в том виде, в каком оно было дано Адлером и др. [7], а также ряд примеров из их работы. Более общее определение, принадлежащее Боуэну [22] и позволяющее яснее увидеть некоторые связи энтропи^ с дру­ гими инвариантами, будет рассматриваться в разд. 5.4.

Всюду на протяжении этого раздела X будет обозначать некоторое компактное хаусдорфово пространство. Всякое откры­ тое покрытие зФ пространства X обладает конечным подпокры­ тием. Конечное подпокрытие покрытия зФ называется мини­ мальным, если число его элементов не превосходит числа эле­ ментов любого другого подпокрытия зФ. Через N (зФ) будем обозначать число элементов минимального подпокрытия зФ, а через Я (зФ)— энтропию покрытия зФ, определяемую по, фор­ муле Я (зФ)— log N (зФ). Аналогия с метрической энтропией должна быть ясна. Поскольку компактное хаусдорфово про­ странство не снабжено заранее никакой мерой, мы просто

начать это зФ<95, если каждый элемент# является подмно­

последовательности {Я„}, удовлетворяющей этим двум усло­ виям, у последовательности {(1/л) Я„} существует предел.

Топологическая энтропия (или просто энтропия) отображения Т обозначается через А(Т) и определяется как

A(T) = sup {А(Т, si)\ ^ — открытое покрытие X}.

Приведенное определение топологической энтропии, оче­ видно, является переводом на топологический язык определе­ ний 2.26 и 2.36. Таким образом, топологическую энтропию

можно считать мерой того, насколько быстро непрерывное отображение «перемешивает» открытые подмножества тополо­ гического пространства.

Легко видеть, что если s i и 38— открытые покрытия про­ странства X, а Т — непрерывное отображение X в себя, то из соотношения s i -< 38 следует, что А ( Т , s i) ^ .h ( Т , 38), а если Т —

гомеоморфизм X на себя, то А ( Т - 1 , si) — h(T, si). Эти заме­ чания позволяют установить следующее фундаментальное свой­ ство топологической энтропии.

Теорема 5.2. Если Т,: Xj -*.Х1 и Т2: Х2->Х2— топологически сопряженные непрерывные отображения, то A(Tj) = А(Т2).

Доказательство. Сопряженность отображений Tj и Т2 озна­ чает, что существует гомеоморфизм Н: Хх~*Х2, для которого

для любого открытого покрытия ^ .пространства Х2. Наконец, поскольку Н — гомеоморфизм, всякое открытое покрытие про­

странства Х{ имеет вид Н-1 (si) для некоторого открытого по­ крытия s i пространства Х2, откуда получаем, что

А (Т,) = sup {A(Ti, &): $ — открытое покрытие Xi} =

= sup{A(Ti, Н- ! (^)): s i — открытое покрытие Х2}= А(Т2), и тем самым теорема доказана.

Можно легко привести примеры отображений, которые не являются топологически сопряженными, хотя и имеют одну и ту же топологическую энтропию. Такие примеры доставляются периодическими отображениями. Напомним, что отображение Т называется периодическим, если существует положительное целое число п, для которого Т" (*) = .* при всех х из X. Пе­ риодом периодического отображения называется наименьшее

положительное целое п, обладающее указанным свойством. Поскольку сопряженные периодические отображения имеют один и тот же период, отображения с различными периодами не могут быть сопряженными. С другой стороны, все периоди­ ческие отображения имеют нулевую энтропию. Это так, по­

скольку T~k(s£) = 'S&для любого отображения Т с периодом k ,

т. е. Л(Т) = 0 1).

При вычислении топологической энтропии в ряде примеров мы будем использовать результат, аналогичный теореме 2.32 и следствию 2.48. Для его формулировки введем теперь поня­

& ■< s tn. Следующая теорема является непосредственным след­ ствием определения топологической энтропии и предшество­ вавших ему замечаний.

Теорема 5.3. Если {Ап} — измельчающаяся последователь­ ность покрытий компактного топологического пространства X, а Т — непрерывное отображение X в себя, то

Л(Т)= lim h(Т, ^„).

П-^оо

В случае когда X — метризуемое пространство, измельчаю­ щиеся последовательности разбиений можно строить с исполь­ зованием метрики. Пусть d — метрика на пространстве X. Для любого открытого покрытия бФпространства X положим d{sf) —

тельность {stn} открытых покрытий «пространства X, для кото­ рой *& n+i и d (stn)-+ 0 при оо, является измельчаю­ щейся. Таким образом, если через $Фп обозначить совокупность

эту измельчающуюся последовательность, легко убедиться в том,

J) Разумеется, примеры несопряженных отображений с совпадающей то­ пологической энтропией могут быть легко построены и для ненулевых значе­ ний энтропии. — П р и м. перев.