книги / Математическая теория энтропии

{ср. с определением 2.35). Говорят, что две динамические системы •с йнвариантными разбиениями относительно изоморфны, если их связывает некоторый относительный изоморфизм. Следую­ щая теорема устанавливает связь между дополняемыми раз­

Бернулли с инвариантными разбиениями £ и £. Если разбиения £ и £ дополняемы, то эти системы относительно изоморфны тогда и только тогда, когда Л(Т) = А(Т) и A(Tt) = A(Tg). Если эти

две системы относительно изоморфны и одно из разбиений допол­ няемо, то дополняемо и другое.

Доказательство. Предположим, что разбиения £ и £ допол­ няемы. Обозначим их дополнения через у и у- Пусть, кроме того, Л(Т) = Л(Т) и Л(ТС) = Л(Т5). Тогда

Л (Т?) + Л (Ту) = Л (Т) — Л (f) = А (Т{) + Л (Т,),

откуда Л (Ту) = Л (Ту). Поскольку автоморфизмы Tv и Т? — фак­ торы автоморфизмов Бернулли, сами они также являются авто­ морфизмами Бернулли, а потому в силу теоремы Орнстейна они изоморфны. Обозначим через R2 соответствующий связующий

изрморфизм. Автоморфизмы Tt и Tg изоморфны по тем же -соображениям. Если обозначить через Rj связывающий их изо­ морфизм, то отображение Ri X Кг будет являться относитель­ ным изоморфизмом исходных систем.

В случае когда относительный изоморфизм систем R уже задан, если разбиение £ дополняемо с дополнением у, то раз­

биение R (у) является дополнением для £ = R (£).

Бернулли для обычных изомррфизмов. Указанную аналогию продолжают глубокие результаты Тувено [156], который пере­ вес понятие конечной определенности на случай относительных

Тувено показал, что это условие характеризует дополняемые инвариантные разбиения систем Бернулли. Точнее, он доказал следующие две теоремы.

биение I пространства Q конечно определено относительно у.

Теорема 4.51. Пусть (Q, ЗГ, Р, Т) — эргодическая динамическая система, а р — конечное бернуллиевское разбиение пространства Q. Предположим, что у такое конечное разбиение, что разбиения р°° и у°° бернуллиевские и (р V у)°° = е. Тогда для любого конеч­ ного разбиения I пространства Q существует бернуллиевское

Из последней теоремы следует, что для любой системы Бернулли с дополняемым инвариантным разбиением соответ­ ствующее инвариантное разбиение всякой ее факторсистемы также дополняемо *).

Тувено [157] также ввел аналог условия очень слабой бернуллиевости разбиений для относительного изоморфизма и пока­ зал, что если разбиение относительно очень слабо бернуллиевское, то оно относительно конечно определено.

Эти результаты Тувено привели Орнстейна к аналогии между системами Бернулли и системами Бернулли с дополняемым фактором. Ее развитие позволило выделить в классе систем Бернулли с инвариантным разбиением аналоги и для /(-систем. К описанию этой конструкции мы сейчас перейдем (см. введе

биением £ по инвариантному разбиению а, измельчающему £, называется факторсистема (Qa, ^ a, Pa, Ta) с инвариантным разбиением Na (£). Если (Q, Р, Т) — система Бернулли с конечной энтропией, то всякое дополняемое инвариантное разбиение ее пространства состояний может быть представлено в виде у°°, а его дополнение — в виде р°° (с у и р, удовлетворяющими условиям теоремы 4.51). По теореме об образующих любое инвариантное

Теоремы 4.50 и 4.51 допускают и другую интерпретацию: теорема 4.50 харак­ теризует динамические системы (Q, Р, Т) с инвариантным разбиением £, для которых автоморфизм Т представим в виде T s T ^ X B для некоторого сдвига

■Бернулли В, а теорема 4.51 показывает, что это свойство систем с инвариант­ ным разбиением сохраняется при переходе к факторсистемам. — Прим, перев.

положим теперь, что система является бернуллиевской, а раз­ биение Со дополняемо. Это означает, что cyuiecfeyeT такое инвариантное разбиение £2. независимое от £о, что C0 VS2 — е. Пусть £, — любое инвариантное разбиение, строго измельчаюп^е £о» тогда Л(Т;,) > А(Т;0), поскольку в противном случае разбиекие £1 V £2 строго мельче точечного разбиения. Назовем инвариантное разбиение максимальным *), если для любого строго измельчающего это разбиение инвариантного разбиения энтропия соответствующего факторавтоморфизма больше энтро­ пии факторавтоморфизма, отвечающего исходному разбиению. Иначе говоря, разбиение С максимально, если из соотношения

£ > £ следует, что А(Т{) > А (Т^). Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 4.52. Если £0 — дополняемое инвариантное разбиение пространства состояний системы Бернулли, то £0 максимально.

Системы Бернулли с максимальным инвариантным разбие­ нием сходны с /(-автоморфизмами. Напомним, что /(-автомор­ физмы характеризуются отсутствием нетривиальных факторавтоморфизмов с нулевой энтропией (теорема 4.5). Если теперь считать, что обычным системам с нулевой энтропией отвечают такие системы с инвариантным разбиением £, что й(Т;) = й(Т), то аналогия становится понятной 2). Теорема 4.52 соответствует тогда тому факту, что системы Бернулли являются /(-системами. Отмеченная аналогия еще более усиливается принадлежащим Орнстейну [102] примером недополняемого инвариантного раз­ биения, которое является максимальным, что отвечает суще­ ствованию небернуллиевских /(-систем. Этот пример строится как косое произведение автоморфизма Бернулли и двухэле­ ментного семейства, один из членов которого — небернуллиев- ский /(-автоморфизм. Суонсон [153] показал, что из примера Орнстейна возникает несчетное семейство инвариантных раз­

тельно изоморфна той же системе с инвариантным разбиением £/ лишь при i — /.

I То, что поведение систем Бернулли с инвариантным раз­ биением отличается от поведения обычных систем Бернулли, видно и из одного результата Тувено [157], согласно которому

и ! теорема Орнстейна говорит нам о том, что в подклассе, состоящем только из систем Бернулли (или, что равносильно,

! Имеется и другое отношение эквивалентности в классе всех динамических систем, которое связано с потоками (см. разд. 2.12.4) и ' в изучении которого методами, близкими к описанным в разд. 4.7, были недавно достигнуты большие успехи. В насто­ ящем разделе мы кратко обсудим это отношение эквивалент­ ности и приведем некоторые последние связанные с ним результаты.

Поток {Ту. — о о < / < о о ) , обладающий тем свойством, что соотношение ТtE = E при всехУ выполняется только для мно­ жеств Е меры нуль или единица, называется эргодическим. Существует способ, который позволяет представить всякий эргодический поток с помощью некоторого эргодического метри­ ческого автоморфизма и интегрируемой вещественнозначной функции на пространстве состояний этого автоморфизма. Это представление называется специальным представлением, а сами пртоки, возникающие таким образом, — специальными потоками.

а Т — эргодический метрический автоморфизм с пространством состояний X. Пусть А — положительная интегрируемая функция

на множество Q становится вероятностной мерой после нор­ мировки делением на интеграл функции А. Обозначим через (Q, ЗГ, Р) полученное таким образом вероятностное простран­ ство. Специальным потоком, построенным по автоморфизму Т

и функции А, называется поток {Т?}, действующий на про­

Для наглядности можно представить себе специальный поток как перемещение точек подграфика функции А вертикально вверх с единичной скоростью до достижения графика А, после чего происходит мгновенный скачок на „дно“ области Q, в точку, определяемую преобразованием Т. (См. рис. 4.6.)

Амброз [10] показал, что любой измеримый эргодический поток изоморфен некоторому специальному потоку. В 1943 г. Какутани [60] ввел следующее отношение эквивалентности

') Идея специального представления восходит еще к Пуанкаре. При изу­ чении гладких динамических систем он фиксировал некоторую площадку, расположенную трансверсально к траекториям системы, и рассматривал на ней “отображение последования", траектории которого образованы после­ довательно взятыми точками пересечения этой площадки с траекториями исходной динамической системы. — Прим, перев.

Заметим, что Тд(дс) —это та точка основания пирамиды Какутани, в которую переходит точка х после достижения „крыши" пирамиды. Таким образом, автоморфизм Т можно считать аналогом специального потока, построенного по авто­ морфизму Тл и функции Гд. Разница лишь в том, что здесь подграфик функции Гд рассматривается как подмножество

множества Л Х 2 +.

Используя эту аналогию, можно сопоставить любому метри­ ческому автоморфизму Т и целозначной функции А метриче­ ский автоморфизм Т* — интегральный автоморфизм, построенный по автоморфизму Т и функции А. Он строится следующим

где А, — считающая мера на Z+. Нормируя меру ц X А делением на интеграл функции А, можно считать, что Q имеет единичную меру. Интегральный автоморфизм Th определен на множестве Q по формуле

Легко видеть, что автоморфизм (Та)Га изоморфен Т для любого измеримого множества А положительной меры. Следо­ вательно, можно показать, что два эргодических метрических автоморфизма имеют изоморфные производные автоморфизмы тогда и только тогда, когда оба они являются интегральными автоморфизмами одного и того же метрического автоморфизма. Используя этот результат, нетрудно убедиться в том, что определяемое, ниже отношение действительно является отно­ шением эквивалентности в классе эргодических метрических автоморфизмов (или динамических систем).

Определение 4.54. Эргодические метрические автоморфизмы Т и S называются эквивалентными по Какутани, если существуют такие подмножества А и В пространств их состояний, имеющие положительную меру, что производные автоморфизмы и SB изоморфны.

■) Авторы предоставляют читателю самому проверить, что производный и интегральный автоморфизмы действительно являются автоморфизмами соответствующих пространств с мерой, т. е. сохраняют меру (равно как и специальный поток) и обратимы. — Прим, перев.

жеств А, образующих плотное подмножество метрического про­ странства классов ( mod 0) измеримых подмножеств простран­ ства состояний автоморфизма Т с метрикой р (А, В) = ц(Л Д В ) (Фридман и Орнстейн [42]).

4.55.5. Д ля всякого автоморфизма Бернулли Т с конечной энтропией и любого числа а, такого, что 0 < а < 1, существует множество А, для которого р (А) = а и производный автомор­ физм Тд является автоморфизмом Бернулли (Салески [134]).

4.55.6. Существует несчетное семейство попарно неизоморф­ ных небернуллиевских К-автоморфизмов, допускающих бернуллиевские производные автоморфизмы (Суонсон [152]).

4.55.7 Для всякого эргодического метрического автоморфизма Т

и производный автоморфизм Тд является К-автоморфизмом

(Орнстейн и Смородинский [104]).

4.55.8. Всякий автоморфизм Бернулли может быть пред­ ставлен как производный автоморфизм некоторого небернуллиевского К-автоморфизма (дель Хунко [32]).

Заметим, что из утверждения 4.55.5 в сочетании с формулой Абрамова для энтропии и теоремой Орнстейна об изоморфизме следует, что все сдвиги Бернулли с конечной энтропией экви­ валентны. Это было также непосредственно доказано Осикавой [106]. Отметим еще, что из утверждения 4.55.7 следует, что вся­ кий автоморфизм с положительной энтропией эквивалентен некоторому ВГ-автоморфизму.

Обозначим через Ж0 семейство классов эквивалентности по Какутани автоморфизмов с нулевой энтропией, через 3Cf — с ко­ нечной, и через Жа„ — с бесконечной. Важный вклад в изучение этих семейств был сделан Фельдманом [38], построившим пример эргодического метрического автоморфизма с нулевой энтропией, который не эквивалентен по Какутани повороту окружности на иррациональный угол. Тем самым было показано, что Жо содержит по меньшей мере два класса. Пример Фельдмана также позволяет построить ВС-автоморфизм, который не экви­

жеств А и В положительной меры. Оба этих свойства сильнее эргодичности, но слабее /С-свойства. — Прим. перев.