книги / Математическая теория энтропии

4.3. К-системы и К-автоморфизмы

203

ТСо =

[0,

1)Х [0. у ) .

т с, =

[ о ,i ) x ( - ^

1].

Т2Со=

[0,

1 ) х [ о . |) и [ 0 . 1 ) х [ у ,

т )*

Т2с, =

[0,

1 ) х [ т .

Y ) U [0, 1)х [ | .

l ) .

Таким образом,

элементами

разбиения Т ~'| V I V Т | V Т2|

Легко

также убедиться

в том,

что разбиения

{Т1!^ 1 — 0,

± 1 , ± 2,

...} независимы,

поэтому

изоморфизм

между дина­

если

* в»0,х|Х2*з •••

и у — Ъ,у\у?уг . . . — двоичные

разложения координат

точки

(*, у) е / 2, то

координаты

образа

(*', у') =

Т (*, у) точки (*, у) под

действием

преобразования пекаря будут

иметь двоичные разложения х' * 0 ,

•••

и у' =^0tXiyiy2 . ... Поэтому искомый изоморфизм будет устана­

вливать отображение

(*, у)

у 2%у и *i, *2, ...). — Прим, перев.

204

Гл. 4. Э р го ди ч еск а я

теория

тривиально,

использовало

независимость последовательности

{ f'lo ^ o o .

но затем мы

показали,

что для сдвига Бернулли

руется с

использованием следующего

понятия,

введенного

Орнстейном [93].

Определение 4.11. Пусть £ и т) —*измеримые разбиения про­

странства

Лебега (Q,

Я), причем £ счетно. Если с — поло­

жительное

вещественное

число, будем

называть

разбиение |

£ |/> > , А ) - Р ( А ) \ < с

(4.8)

рых не превосходит

с.

Последовательность разбиений

{£*}

на­

зывается

с-независимой,

если 1п ± с

для

всех п.

Лемма

4.12. Если £ — конечное

измеримое

разбиение

про­

странства

состояний

обратимой динамической

системы

(Q,

Я, |Т), то разбиение

Tail(T, £) тривиально тогда и только тогда,

М

| оо

V

v Т“;£

1— М

1-М+П

для всех n ^ N .

Доказательство. Предположим сначала, что | удовлетворяет

тие

из Tail (Т, |)л,

имеющее положительную меру. Покажем,

что

Р (А) — 1.

Зафиксируем положительное число с. Поскольку разбиение

ТаЦ(Т, |) измельчается разбиением £°° = VjL_coT“/|,

получаем,

что

Л е (5ю)'-, и по

лемме 1.10 существуют целое

число М и

4.3. К-системы и К-автоморфизмы

205

множество Вм, такие, что

Вм & (V ^l _мТ_/£)~ и Р(А Л Вм) < с:

Поскольку I конечно, разбиение V^—

^ также конечно

и В д|=

U

гДе В/ —элементы этого разбиения. Тогда

К

/С

так что

с > Р ( Л Л В м) =

уЁ1Р(Л иВ /) - ^ 1Р(4Л В /),

к

к

-

£

р (А п в,) < - J ;

р (В,) +

с.

(4.9)

Кроме

того,

если

В — любой элемент разбиения

такой, что В П Вм =

0 , то А П В с: Q — Вм, поэтому

£

Р(ЛПВ) =

Р(ЛП и В )< Р (Л — Вд,)<с. (4.10)

в ПВД1-0

Далее,

существует целое

число N = N (М, с), такое, что для

всех n ^ N

М

.

оо

Т- ,|. ,

V т - ' | ± с V

1----м

1—М+п

Положим

£(«) =

V7-M+n Т _ ,1 И П e

V jL_*T“/fc.

Тогда

для

каждого

n ^ N

существует

множество Q „ e £ (n )'\

такое,

что

B ( Q „ ) > l - c

и

для

f l s i )

почти всех <а е Q„.

всех я» из равенства

(1.5) сле­

Поскольку 4 е 5 (/» Г Для

дует, что

£

| Р (Л П В) —Р (Л) Р (В) | =

К Р (rfco) {Pt (»)(<о, В) -

Р (В)}

B e t )

В I Л

< ( P(do)

У

I рс<">(<0, В) — Р(В) | <

Л

Вет)

< [

P(d<o)

У |Pt(")(<D, B )- P (B )| +

P (Q -Q „).

Q t

в е я

При всех

N правая часть этого неравенства меньше, чем 2с»

поэтому

£ |Р (Л Г )В )-Р (Л )Р (В )|< 2 с .

(4.11)

B e i )

Запишем теперь

0 < Р ( Л ) - Р ( Л ) 2=

£

[Р(ЛПВ) — Р(Л)Р(ЛГ)В)]<

< Е { р (л п в /) - р (Л)р (л л в /)} +

£ Р(лпв).

/=1

В ЛВд|ж0

2С8

Га. 4. Эргодическая теория

автоморфизм), и,

таким образом, К2 = Т*)» что противоречит

предположению об отсутствии у Т квадратного корня.

Впоследствии

Орнстейном [99] было показано, что сущест­

ра!збиения Р”

и | п независимы

и

р” V |„=е. (Это означает, что

для

каждого

п автоморфизм

Т изоморфен произведению

Т '

X Т, , т.

е. разбиения | п

дополняемы в смысле определе-

4.4. Пространства упорядоченных разбиений

209

Тогда

вероятностная мера Р5. на факторпространстве

Q6 =

= {0, 1........ k — 1}

будет определяться дискретным вероятност­

ным вектором

d (|) =

(Р (N t1(0))........ Р (Ns"1(k -

1))).

Заметим,

что если | — конечное упорядоченное разбиение

про­

странства

Лебега,

то пара (Qs, Р$) = ({0,

1, ... , k — 1},

d {£))

Определение 4.15.

Расстоянием по распределению (distribu­

tion distance)

между

разбиениями ! и ц из

множества i£(Q)

называется /'-расстояние между

векторами

d (|) и d (т)). Оно

обозначается

через | d (|) — d (т\) |,

т. е.

I d (I) - rf(ti) | = Z | P (N f1(/)) - P (N ;1(/)) |.

(4.12)

/ - 0

Расстояние в метрике разбиений (partition distance) между

разбиениями

| и ч\ обозначается

через |£ — г||

и составляет

16 — ч | = *Z р [N{- ‘ (/) Л Щ 1(/)].

(4.13)

1-о

В формулах

(4.12) и (4.13) Ле=* max {161, | “П| },

а если

одно из

Я (6, Ч) = Н № ) + Я (VI).

(4.14)

Лемма 4.16. Расстояние по распределению и расстояние Рох­

лина

являются псевдометриками, а расстояние 11 — t) I

является

метрикой 2).

, Р) — пространство Лебега, то 2Zk (Q) — полное

Если (Q,

метрическое пространство в метрике разбиений.

Наконец, для всех S,-TieSS(Q)

_________

I d f f i) - r f ( t0 l< l6 - 4 l.

')

В разд.

1.3 через % обозначалось другое пространство разбиений.—

Прим,

перев.

4А . Пространства упорядоченных разбиений

211

Положим d = d\. Пусть разбиение l —

Л2........ Л*} лежит

в

а т) —любое разбиение,

такое,

что H (l/r\)<d. Тогда

d\ >

J Р (dco) |

“

Е

рЧ (о)* Al) loS p1t (©•

А<)| >

>

(

P (d«> )(- У /» 4(о, Л ) log Рч(<0,

л ,)} ,

где

ЕШ

‘

К

l- 1

'

)

£ (4,) =.jco: -

£

P" (о,

Л,) log P4(®, Л,) >

d, } .

Тем

самым

P (£ (d ())^d i,

и для всех в е £ й )

- g

P

4(®,

Лг)1ое Р > ,

По

выбору d,

объединение

{©: Р ч(со,

Л<) < 1| Г}и{со: Р > ,

£ 2 - Л ,)< -£>}

,

содержит

множество Q — Е (d,), а потому его мера больше, чем

1 — di. Таким образом,

/>({<* ! * - « ' ’> •

*—- d r} )

<*.-

Для

всех

г =

1, 2, ... , k положим

Я< =

{®: /»ч(со,

Л ,)< i|r } u { ® : Р > ,

Q - 4 i ) < ^ r } .

Определенные так

множества

Bt

являются т)~-измеримыми и

P(At A B {) =

\

P(d®)P4(®, Л,) +

а-в1

+

5 Р (do) Рч (со,

Q -

Л,) <

d, +

< р - .

Bi

Определим

теперь

разбиение

^ =

{fii........ В*},

положив

В*=

— Bt —

Для

iX & -—1

и

В^ =

£2 — U/<ftB/. Поскольку

множества

В4 т^-измеримы, то тем

же

свойством обладают

и множества

В\, и поэтому £' <<

Кроме того, для i< k

р (л, д

в;) < р (л, д в |) + £

р (л, -

в,) <

К1