книги / Математическая теория энтропии

5.3.СВЯЗЬ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ И МЕТРИЧЕСКОЙ ЭНТРОПИЙ

Вгл. 2 мы показали, что энтропия динамической системы (Б (5), $Гs, ц, Ts), где р — продактмера, отвечающая распреде­

Именно это значение и было получено нами для топологи­ ческой энтропии преобразования Т$, рассматриваемого как го­ меоморфизм пространства 2(5). Этот и другие подобные при­ меры привели к ряду гипотез о связи топологической и метри­ ческой энтропий (см. [7], [45], [46], и [47]), к обсуждению кото­ рых мы сейчас и перейдем.

Будем считать, что заданы компактное хаусдорфово прост­ ранство X, его непрерывное отображение в себя Т и Т-инва- риантная вероятностная мера ц на о-алгебре & борелевских Подмножеств X. (Вопрос о существовании инвариантных мер Подробно обсуждается у Халмоша [56] и Фридмана [40].) Топо­ логическая энтропия преобразования Т будет обозначаться *(ерез А(Т), а метрическая энтропия — через АЙ(Т).

В этой общей ситуации ответ на вопрос о связи топологи­ ческой и метрической энтропий дают следующие две теоремы, принадлежащие Гудвину [46, 47]‘).

Теорема 5.4. Пусть X — компактное метризуемое простран­ ство, Т — его непрерывное отображение в себя, р — Т-инвариант­ ная вероятностная мера на а-алгебре борелевских подмножеств X, тбгда AU(T)<A(T).

Теорема 5.5. Пусть X и Т — те же, что и выше, тогда

А(Т) = sup {Ац (Т)},

1)Теорема 5.5 была независимо доказана Динабургом [1971] для случая, ко1\да К имеет конечную топологическую размерность, и Гудменом [45]. Мера, реализующая супремум в теореме 5.5 (мера с максимальной энтропией), не обязательно существует. Пример такого гомеоморфизма построен Гуревичем [1969], а соответствующий пример диффеоморфизма компактного многообра­

зий — Мисюревичем (Misiurewicz [1973]). Для разделяющих гомеоморфизмов (разд. 5.4) мера с максимальной энтропией существует всегда (Goodman

отрицательной кривизны (Аносов [1967]), Аносов, Синай [1967]). В этих слу­ чаях она строится с использованием аппарата теории гиббсовских мер и марковских разбиений (Синай [1972]). Однако в общей ситуации мера с мак­

где супремум берется по всем Т-инвариантным борелевским ве­ роятностным мерам р.

Приведенный в конце предыдущего раздела пример в соче­ тании с>его метрическим вариантом приводит к еще одному интересному предположению. Известно, что если ц — продактмера, отвечающая распределению {pt: i — 1, 2, ...,& } на S, то

ЛЦ(Т5)== — рг log рг. Пространство 2(S) можно превратить

в топологическую группу, снабдив его операцией покоординат­ ного сложения mod k, тогда преобразование Ts будет являться непрерывным автоморфизмом этой группы. Нетрудно видеть, что мера ц будет мерой Хаара на 2(5) в том и только том случае, когда распределение {/?*} будет определять меру Хаара на множестве 5, рассматриваемом как группа с операцией сложения mod k, т. е. когда р /= Ijk для i = 1, 2, .. . , k. Таким образом, мера Хаара реализует супремум в теореме 5.5 и для нее Лц(Ts) = log £.

Отмеченное свойство меры Хаара проявляется и для непре­ рывных автоморфизмов тора. Напомним, что n-мерный тор Тп можно рассматривать как .факторгруппу Rn/Zn, где через Z" обозначена целочисленная решетка в R . Используя это пред­ ставление, нетрудно проверить, что всякий непрерывный груп­ повой автоморфизм Т тора Т„ задается некоторой целочислен­ ной матрицей А с определителем ± 1 (см. разд. 2.12.8). Для топологической энтропии таких автоморфизмов в работе [17]

получена формула Л (Т)= £ log|A.t |, где сумма берется по всем

собственным значениям Xt матрицы А, абсолютная величина которых больше единицы.

Эта формула легко доказывается в случае, когда п — 2,

асобственные значения матрицы А вещественны, т. е. равны X

иА,-1, где X — некоторое вещественное число. Если |А |= 1 , то

оставшиеся — другому собственному вектору А. Если С — мно­ жество из s tk, являющееся образом лежащего в R2 паралле­

лограмма С, то T~n (С) — образ лежащего в R2 множества А~пС. Это последнее множество — параллелограмм, две стороны

') Можно считать, что матрица А имеет вид А = ( 1 ; ), и использо­

вать затем те же соображения, что и в рассматриваемом ниже случае | X | > 1. — Прим. перев.

собственному значению X, и имеют длины | X \~n/k, а две другие параллельны собственному вектору, отвечающему собственному

значению Я-1, и имеют длины |Я |п/£. Достаточно [|Я |" + 1 ] таких параллелограммов для того, чтобы покрыть исходный

параллелограмм С. Переходя от параллелограммов к их обра­

вательность {stk} открытых покрытий является измельчающейся, ft(T) = lo g |H

В разд. 2.12.8 отмечалось, что энтропия эргодических непре­ рывных автоморфизмов тора относительно меры Хаара также

составляет £ l o g ^ ,|, где сумма берется по всем собственным значениям матрицы А, абсолютная величина которых больше единицы. Таким образом, для непрерывных эргодических авто­

Другое определение топологической энтропии применимо ко всем равномерно непрерывным отображениям метрического про­ странства в себя. Это определение возникло при выяснении свя­ зей топологической энтропии с другими инвариантами тополо­ гической сопряженности. Его обсуждению будет посвящен сле­ дующий раздел.

Мы завершим этот раздел рассмотрением класса преобра­ зований, которые играют в топологической динамике ту же роль, что и сдвиги Бернулли в эргодической теории. Эти преобразо­

2) В оригинале — subshift of finite type. — Примперев.

из причин важности названных преобразований состоит в том, что преобразования из многих известных классов метрически изоморфны топологическим цепям Маркова. Кроме того, Адлер и Маркус [8] ввели ослабленную форму топологической эквива­ лентности, названную ими топологической почти сопряжен­ ностью, и доказали, что топологическая энтропия вместе с еще одним инвариантом образует полную систему инвариантов для топологической почти сопряженности в классе топологических Цепей Маркова. Замкнутое изложение этой теории приводится в работе [8].

по крайней мере один ненулевой элемент. Упорядоченный на­ бор (дг1( лг2........ xk), состоящий из £ элементов множества.S,

Аналогично, последовательность х = ( ..., x_t, х0, xlt . . . ) G 2(S) называется допустимой, если O xtx (+ t — 1 для любого целого i.

Обозначим через А (5) множество всех допустимых последова­

хоновской топологией.

Как и раньше, через Ts будем обозначать сдвиг в простран­ стве 2(5). Для всякой матрицы А, удовлетворяющей сформу­ лированным выше условиям, множество A(S) является Т$-ин- вариантным подмножеством 2(S). Динамическая система (А (5), Ts) называется топологической цепью Маркова. Заметим,

Пусть S и A tfe же, что и выше. Можно показать, что число допустимых наборов длины п, которые начинаются с /

и оканчиваются на /, совпадает с элементом матрицы Ап~1, стоящим на пересечении г'-й строки и /-го столбца. Матрица А называется неприводимой, если для любых i и / из S сущест­ вует такое положительное целое число п (которое может за­ висеть от i и /), что aSfi > 0.

Вычисление топологической энтропии динамических систем (A(S), Ts) в случае, когда матрица А неприводима, непосред­ ственно основывается на некоторых спектральных свойствах неотрицательных матриц, установленных Перроном и Фробениусом [48]. Мы сформулируем только необходимую нам часть этих результатов.

Лемма 5.7. Если А — неприводимая матрица с неотрицатель­ ными элементами, то у нее существует положительное простое собственное значение А,(Л), обладающее тем свойством, что fni|^A,(i4) для всех собственных значений ц матрицы А. Кроме то^о, можно выбрать отвечающие собственному значению Я (А) левый и правый собственные векторы матрицы А *) так, чтобы все их координаты были положительны.

ресечениями i4(S) с цилиндрическими множествами, составляю­

в конце разд. 5.2, последовательность {stn(A)} является из­ мельчающейся, и для вычисления энтропии преобразования Т$, ограниченного на A (S), (его мы будем также обозначать через Т$)

достаточно найти Af(V"~0l Т1г^(Л )). Эта величина равна числу

i-1

j1) Прилагательные „правый" или „левый" относятся здесь к тому, рас­ сматривается ли действие (Л, X ) \—5- А Х матрицы А в пространстве векторстолбцов или же ее действие (Л, X ) Х А в пространстве вектор-строк. —

П р й м . п ер ев .

которого меньше, чем разделяющая константа гомеоморфизма Тг то приведенное рассуждение показывает, что А (Т, зФ) — A (Т) ')• Приведенная лемма и ее доказательство показывают, чтовеличина топологической энтропии разделяющего гомеомор­ физма связана со скоростью разделения точек этим гомеомор­ физмом. Боуэну [22 — 24] принадлежат определения и теоремы, придающие этой связи точный смысл. К их изложению мы

сейчас перейдем.

Пусть (Jf, d) — метрическое пространство, Т: Х->Х — равно­ мерно непрерывное отображение. Подмножество А простран­ ства X называется (я, е)-разделенным (относительно отображе­

стве К не может превышать количества шаров радиуса б,, необходимых для того, чтобы покрыть К. В силу компактности,

с тем чтобы подчеркнуть зависимость этой величины не толькоот е и К, но и от Т. Положим

') Поскольку тогда ( v ”__ п — измельчающаяся последовательность. покрытий (ср. с примером в конце разд. 5.2). — П р и м. п е р е д.

Определение 5.10. Пусть Т — равномерно непрерывное ото­ бражение метрического пространства (X, d) в себя. Величины hd (TV/Q — топологическая энтропия отображения Т относительно компактного подмножества К, — и hd(Т) — топологическая энтро­ пия отображения Т — определяются соответственно формулами

МТ , К) = lim S (е, К, Т)

е->0

hd (Т) = sup {hd ( f , К : К— компактное подмножество Л} ')•

В этом определении топологической энтропии предположе­ ние о компактности пространства X отброшено; вместо этого требуется, чтобы X было метрическим пространством, а ото- ■бражение Т равномерно непрерывным.

Заметим, что если /С cr /Ci U Лг U ••• 1)^л» то

hd (Т, К) < max {hd (Т, К,): j = 1 , 2 , . . . , п),

так что, если X — компакт, то hd(Т) = hd (Т, X).

Теорема 5.11. Если (X, d) — компактное метрическое простран­ ство, , то hd (Т) = h (Т), где через h (Т) обозначена топологическая энтропия, определенная в разд. 5.2.

Доказательство. Прежде всего заметим, что при вычисле­ нии h(T) можно ограничиться рассмотрением лишь конечных •открытых покрытий X. Кроме того, поскольку X метрическое пространство, для нахождения А(Т) можно использовать любую измельчающуюся последовательность покрытий, поэтому мы мо|жем считать, что все покрытия образованы множествами достаточно малого диаметра.1

1) Для характеризации меры «массивности» компакта К в метрическом пространстве X А. Н. Колмогоровым (Колмогоров [19566], Колмогоров, Тихо­

миров [1959]) были введены понятия е-энтропии lo g # (е) и е-емкости log«S (е), где| N (е) — минимальное число элементов в е-сети для /С, а 5 (е) — макси­ мальное число е-разделенных точек в /С. Эти величины связаны неравен­ ствами iV (e )< 5 (е) < N (е/2). Для любого неотрицательного п можно ввести

метрики dn. Топологическую энтропию можно определить и непосредственно

не превосходит е, целиком содержится в одном из множеств,

Каждому элементу множества &п отвечает однозначно, опре­

в силу максимальности С. Таким образом, совокупность всех множеств из V"”jT _/^ , отвечающих элементам &п, является;

что х — у. Таким образом, функция g взаимно однозначна на С.

можно использовать только покрытия малого диаметра, поэтому,,

поскольку hd(Т) = lime-»oS (е, X), получаем, что hd (Т) = А (Т), и теорема доказана.

*) А именно множество П /-о^ ^А^. — Прим, перее.