книги / Теория автоматического управления
..pdfИногда параметры некоторых элементов систем изменяются во времени, причем скорость их изменения соизмерима со скоростью процессов управления в системе. Такую систему называют неста ционарной или системой с переменными параметрами. Системой с переменными параметрами является, например, автоматическая система управления приводом поворота мощного экскаватора, если в процессе его поворота одновременно происходит выдвижение ру кояти с ковшом. По мере удаления ковша от центра вращения платформы экскаватора существенно увеличивается маховый мо мент вращающихся вокруг вертикальной оси масс и, следовательно, существенно меняется один из коэффициентов дифференциального уравнения.
В большинстве практических случаев коэффициенты уравнения существенно не изменяются и системы являются системами с по стоянными параметрами. В дальнейшем будут рассматриваться только такие системы.
Если при составлении линейного дифференциального уравнения (2.57) использованы линеаризованные статические характеристики или приняты допущения о линейности тех или иных взаимосвязей,
то |
уравнение справедливо лишь |
для малых отклонений входной |
|
и выходной величин от их значений в статическом режиме AJC (/) |
= |
||
= |
х (t) — х0; Ау (/) = у (/) — у 0. |
Однако с целью упрощения |
за |
писей в линейном уравнении отклонения часто обозначают теми же символами (без знака А), что и сами величины.
Для автоматических систем управления, описываемых линей
ным уравнением (2.57), справедлив п р и н ц и п |
н а л о ж е н и я |
и л и с у п е р п о з и ц и и , согласно которому |
|
изменение выходной величины у (/), возникающее при действии |
|
на систему нескольких входных сигналов хс (/), |
равно сумме из |
менений yL{t) величины у {t), вызываемых каждым сигналом в от дельности.
Это свойство линейных систем имеет большое практическое значение, так как благодаря ему значительно облегчаются все рас четы.
Рассмотрим типовые формы записи линейного дифференциаль ного уравнения (2.57), используемые в различных задачах теории автоматического управления.
Как и в других областях науки и техники, все физические пере менные, входящие в уравнение, могут быть выражены в относи тельных единицах. Для этого каждое слагаемое делят на постоян ную величину, имеющую размерность той переменной, которая входит в это слагаемое. Постоянные величины называют базовыми. В качестве базовых величин принимают обычно номинальные или установившиеся значения переменных у и х .
Удобной формой записи линейных дифференциальных уравне ний является символическая или операторная. Переход к этой форме осуществляют введением сокращенного условного обозначения
операции дифференцирования: d . ./d/ = р. Соответственно k-ю производную переменной у обозначают
dty(9/d/‘ = pty(9, |
(2.58) |
тогда уравнение (2.57) в символической форме будет иметь вид
\(ацу -f ц.р»-' + . . . + а„) у (/) = (ЬоРг» + bxfp - ' + . . . + bm) х (/).
(2.59)
Многочлены от р степени п и т , находящиеся в левой и правой частях уравнения (2.59), называются дифференциальными операто рами. Каждый такой оператор устанавливает соответствие между функцией времени и определенной совокупностью производных этой функции. Многочлен
fl0pn+ aiPn-, + . |
.+ a n= D(p) |
(2.60) |
называют собственным оператором, а многочлен |
|
|
b0pт + bjp0*-1+ |
• . • + Ьт= К (р) |
(2.61) |
— входным оператором или оператором воздействия.
Название собственный обусловлено тем, что многочлен D (р) характеризует собственное движение элемента, т. е. движение при отсутствии внешних воздействий. Оператор D (р) называют также
характеристическим.
У всех реальных элементов и систем порядок наивысшей произ водной во входном операторе не может быть больше порядка наи высшей производной в собственном операторе, т. е. всегда т ^ п. Если в процессе каких-либо формальных выкладок образуется урав нение, у которого т > п, то говорят, что это уравнение соответст вует физически нереализуемой системе.
Уравнения элементов невысокого порядка (п < 3) в теории ав томатического управления принято записывать в так называемой стандартной форме. При стандартной форме записи уравнение преобразовывают таким образом, чтобы коэффициент при выход ной величине был равен единице. При этом коэффициент перед входной величиной в правой части уравнения становится равным передаточному коэффициенту, а коэффициенты при производных выходной величины будут иметь размерность времени в степени, равной порядку соответствующей производной. Например, урав нение второго порядка
(а0р2+ а1р+ а2) у (t) = (b0p + bj) х (t) |
(2.62) |
путем деления всех членов на коэффициент аг может быть приве дено к стандартной форме
(Тгр2 + Tip + l) у (t) = |
k (Тр |
+1) х (t), |
(2.63) |
где k — b1/a2; Т = b jb ^ |
7 \ = |
a j a 2; Т\ = |
a j a 2. |
Коэффициенты Г, Т ъ Т 2 принято называть постоянными вре мени, характеризующими динамические свойства элемента.
Часто при исследовании автоматических систем оказывается удобным переход от естественного времени t, измеряемого в секун дах, минутах ит. д., к так называемому безразмерному (относитель
ному) времени t. Этот переход осуществляется с помощью некото рого постоянного (в общем случае — произвольно выбранного) множителя Ты, имеющего размерность времени
t = t/TM. |
(2.64) |
В качестве множителя Гм часто принимают постоянную времени одного из элементов, входящих в систему. Величину, обратную мно жителю Гм, называют масштабом времени и обозначают mt = 1/Гм.
Оператор 6-кратного дифференцирования по безразмерному
времени pk — dk/d~tk связан с обычным оператором дифференци рования pk = dkldlk соотношением
7 = PkT l |
(2.65) |
Используя соотношение (2.65), можно любое дифференциальное уравнение записать в безразмерном времени, измеряемом в услов ных единицах Гм. Например, уравнение (2.62) будет иметь вид
P+ bxyCt). |
(2.66) |
Если коэффициент преобразования времени выбирать по опреде ленному правилу, а именно
Гм — Q'jQ'n » |
(2.67) |
то можно максимально упростить дифференциальное уравнение. Так, уравнение (2.66) примет вид
(р2 |
+ AiP + О У (J) — (ВоР + Вг) х (1), |
(2.68) |
где А 1 |
= а11^а0а2, В = V V a<A>; Вх = bja2. |
|
В левой части уравнения вместо трех числовых коэффициентов а0, а ъ а 2 остался лишь один коэффициент А г. Такая компактная форма записи была впервые применена И. А. Вышнеградским (для уравнения 3-го порядка) и называется формой Вышяеградского.
Важным преимуществом этой формы является то, что введение
безразмерного времени t в дифференциальное уравнение не влияет на характер искомой функции у (t) (меняется только масштаб не зависимой переменной /). Поэтому изменение масштаба времени широко применяют при исследовании автоматических систем на
53
а.
Q,
|
/ / / / / / / / / / |
|
x(t,j=F(bl |
t PA/V- |
|
/ / ? / /7/K{ A ^ / |
Bn |
|
■;:4 |
m |
|
|
|
|
У~свых |
о у(ь]~ If t) |
l |
Puc. 2.9. Схемы флотационной камеры (а) и механического колебательного устройства (б)
аналоговых |
вычислительных |
машинах. |
При этом прибегают |
как |
к ускорению времени (Гм > |
1 с и mt < |
1), так и к замедлению |
вре |
|
мени (Гм < |
1 с и mt > 1). |
|
|
|
Изменение масштаба времени облегчает во многих случаях ана лиз динамики автоматических систем, позволяет получить резуль таты в наиболее общем, универсальном виде.
Пример 1. Составим дифференциальное уравнение флотационной камеры (рис. 2.9, а), рассматривая ее как химический реактор непрерывного дейст вия и с идеальным перемешиванием жидкой среды. В камеру с рабочим объе мом V (м3) поступает пульпа, содержащая частицы некоторого компонента с концентрацией свх = х (кг/м3). В камере происходит выделение этого ком понента в пенный слой по закону реакции первого порядка: расход q (кг/с) компонента пропорционален концентрации его с в камере и объему V:
q = kpcV, |
|
|
(2.69) |
где ftp — константа |
скорости |
реакции. |
|
Будем считать, |
что расход пульпы через камеру постоянен: Qi = Q2 = |
||
= Q = const. Тогда уравнение материального баланса |
рассматриваемого |
||
компонента |
|
cBbIX (t) Q2 ftpcBbix (О У• |
|
d [с (t) V]/d t = сБХ (t) Qi |
(2.70) |
||
Концентрация свых в выходном потоке пульпы благодаря интенсивному перемешиванию равна в каждый момент времени концентрации с внутри ка
меры, т. е. свых = с = |
у. Учитывая это, можно уравнение |
(2.70) привести |
|||
к стандартной форме: |
|
|
|
||
T i |
- yA (t) |
± y ( f ) |
= kx(f), |
|
(2.71) |
|
d t |
|
|
|
|
где ft = |
Q/(Q + |
ftp У) — передаточный коэффициент камеры |
по рассматри |
||
ваемому |
каналу |
«свх —свых»; Т 1 = |
W(Q + ftpV) — постоянная времени ка |
||
меры. |
|
|
|
|
|
Пример 2. Составим дифференциальное уравнение механического коле |
|||||
бательного устройства |
(рис. 2.9,6), |
состоящего из подвижной части массой |
|||
пг (кг) и упругого элемента с коэффициентом упругости kyn. В качестве вход ной переменной х будем рассматривать силу F (Н), а выходной у — переме щение / (м) центра массы.
Согласно принципу Д'Аламбера |
активная (внешняя) |
сила F уравнове |
шивается суммой сил инерции FHHi трения FTp и упругой |
реакции Fyn'- |
|
F*n (t) + /Чр (t) + FуП(0 = F (/). |
|
(2.72) |
Сила |
инерции |
пропорциональна ускорению и |
массе: |
||
F ИН ( 0 |
= |
пг АЦ (t)/d t2. |
( 2.73) |
||
Силу |
трения |
будем |
считать пропорциональной |
скорости движения: |
|
FTP (0 = |
*тр d I № |
t. |
(2.74) |
||
Сила упругой реакции пропорциональна перемещению: |
|||||
F уп (0 = |
(0* |
|
(2.75) |
||
Подставляя выражения (2.73), (2.74) и (2.75) в уравнение сил (2.72), получим линейное дифференциальное уравнение общего вида
т |
+ krp |
+ kynl (t) = F {t)' |
а после деления на kyn — в стандартной форме:
Т\ _ d! [ (Q |
+ т{ - |
1 (/) + / (0 = kF (/), |
|
2 |
d t2 |
1 |
d t |
(2-76)
(2.77)
где /г = 1/feyn — передаточный коэффициент устройства, м/Н; Гх = £Тр/&уп»
Т 2 = |
л!m/kуП — постоянные времени, с. |
2.5. |
Временные характеристики |
Дифференциальное уравнение является самой общей формой описания элемента и не дает наглядного представления о переда точных свойствах элемента. Наглядное представление об этих свойствах дает функция у (t)y являющаяся решением дифферен циального уравнения. Но одно и то же дифференциальное уравне ние может иметь множество решений, конкретный вид которых за висит от начальных условий и от характера функции х (/), т. е. от начального состояния элемента и вида внешнего воздействия. Поэтому принято динамические свойства элементов и систем ха рактеризовать решением, соответствующим нулевым начальным условиям и одному из типовых воздействий. В качестве типового воздействия принимают единичное ступенчатое, дельта-функцию или гармоническое воздействие.
Наиболее наглядное представление о динамических свойствах элемента дает его переходная функция (характеристика). Переход ной функцией h (t) называют изменение выходной величины у (/) во времени, возникающее после подачи на вход единичного ступен чатого воздействия, при нулевых начальных условиях. Переход ная функция может быть задана в виде графика (рис. 2.10, а) или
в формульном виде. Формульное выражение |
функции h (t) |
для |
||||||
конкретного элемента можно найти, |
решая его дифференциальное |
|||||||
уравнение |
при |
х |
(t) = 1 (t) и |
у (— 0) = |
у(1) (— 0) = |
= |
||
= у(п~Х) (— 0) = |
0. |
Второе |
условие |
означает, |
что выходная |
ве |
||
личина у |
и ее |
производные до (п—1)-го порядка непосредственно' |
||||||
перед подачей |
ступенчатого |
воздействия равны нулю. |
|
|||||
6 |
Рис. 2.10. Переходная (a) |
|
X(t)h |
и |
импульсная переходная |
|
(б) |
характеристики |
Переходная функция h (t), как и любое решение неоднородного дифференциального уравнения вида (2.57), имеет две составляющие: вынужденную Лв (/) и свободную hc (/). Вынужденная составляющая переходного процесса представляет собой, как известно, частное решение исходного уравнения. При ступенчатом воздействии вы нужденная составляющая равна установившемуся значению вы ходной величины, которое для статических элементов может быть определено непосредственно из дифференциального уравнения (при нулевых производных):
hB(t) = y(oo) = bm/alt. |
(2.78) |
Свободная составляющая hc (1) может быть найдена как реше ние соответствующего однородного дифференциального уравнения в следующем виде (при отсутствии одинаковых корней):
M 0 = E C fteV, |
(2.79) |
k=\ |
|
где Xk — корни характеристического уравнения; Ck — постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.
Характеристическое уравнение, соответствующее определен ному дифференциальному уравнению, представляет собой, как из вестно, алгебраическое уравнение, степень и коэффициенты кото рого совпадают с порядком и коэффициентами левой части этого дифференциального уравнения. Для дифференциального уравне ния, записанного в форме (2.57), характеристическое уравнение имеет вид
а0Хп+ |
+ . . + ап = 0. |
(2.80) |
Структура характеристического уравнения (2.80) совпадает со структурой левой части дифференциального уравнения, записан ного в символической форме (2.59), и со структурой собственного
56
(характеристического) оператора D (1р) [см. (2.60) ]. Поэтому при записи характеристического уравнения часто вместо символа К, обозначающего неизвестную переменную алгебраического уравне ния, используют символ р. Но при этом р означает уже не операцию дифференцирования, а некоторое комплексное число, которое яв ляется решением (корнем) характеристического уравнения.
Для линейных элементов и систем, кроме принципа суперпо зиции, справедливо еще одно общее правило: реакция у (/) на нее диничное ступенчатое воздействие а01 (t) равна произведению пе
реходной функции h (t) на величину |
множителя а0, т. е. у (/) = |
||
= a0h (t). |
Это |
свойство широко используется при исследовании |
|
и расчете |
линейных систем. |
|
|
Импульсной |
переходной функцией |
w (t) называют изменение |
|
выходной величины у (t), возникающее после подачи на вход дельта-функции, при нулевых начальных условиях (рис. 2.10,6).
Если входное воздействие представляет собой неединичный им пульс а06 (t), то ординаты функции выходной величины у (/) будут в а0 раз больше ординат функции w (t), т. е. у (t) = a0w (t).
Импульсная переходная функция w (/) равна производной от
переходной функции |
h (i): |
\w(t) — dh(t)ld t, |
(2.81) |
и наоборот, переходная функция равна интегралу от импульсной переходной:
|ft(*) = Sw(G)<H>. |
(2.82) |
При помощи импульсной переходной функции элемента можно определить его реакцию на входное воздействие произвольного вида. Связь между изменениями входной и выходной величин во
времени |
устанавливается |
интегралом свертки |
|
I |
OO |
оо |
(2.83) |
у (t) = 5 х (*&) w (t—*&) d O' = $ x (t—ft) w (ft) d ft. |
|||
|
о |
о |
|
Интегральное соотношение (2.83) вытекает из следующих рассуждений. Любое входное воздействие х (t) можно рассматривать
как непрерывную |
последовательность |
коротких |
импульсов |
||
х (ft) dft6 (/—ft), имеющих |
площадь х (ft) dft и действующих в мо |
||||
менты t |
= ft, где 0 < |
ft < |
оо. Так как смещенная дельта-функция |
||
б (t—ft), |
действующая на |
входе элемента, |
создает на |
его выходе |
|
смещенную импульсную переходную функцию w (t—ft), то каж дому неединичному входному импульсу х (ft) dft6 (t—т) на выходе будет соответствовать реакция, пропорциональная импульсной функции, т. е. реакция dу = х (ft) w (t—т) dft. Полный переходный процесс на выходе согласно принципу суперпозиции получается в результате суммирования реакций на все входные импульсы, т. е.
как результат их интегрирования по аргументу ft от 0 до оо, что
итребовалось доказать 1см. первую запись интеграла (2.83) ]. Изложенное обоснование интеграла свертки (2.83) объясняет
второе распространенное название функции w (t) — весовая. Дейст вительно, эта функция определяет вес (долю), с которым каждый входной импульс, полученный при разложении сигнала х (/), участ вует в формировании результирующего выходного сигнала у (/).
Так как следствие не может опережать причину, действует ус ловие физической осуществимости: при t < 0 весовая функция w (/) == 0 или при t w (t—ft) = 0. С учетом этого верхний предел интегрирования в (2.83) может быть уменьшен до t.
Переходные характеристики h (() и w (i) называют также вре менными.
Пример 1. |
Найдем переходную функцию h (t) элемента, |
описываемого |
уравнением |
|
|
(а0р + ах) у |
(t) = bux (/). |
(2.84) |
Переходная функция имеет две составляющие: |
|
|
h(t) = hB (t) + hc (f). |
(2.85) |
|
Вынужденная составляющая согласно (2.78) в данном случае равна
hB(0 = |
bo/ах = const. |
(2.86) |
Свободная составляющая |
|
|
hc (/) = |
С e_a“'/ai. |
(2.87) |
Учитывая начальное условие у (0) = 0, |
получим С = — Ь01ах. Тогда |
|
h ( 0 = |
-^2 - (1 — е - а°'/а‘). |
(2 -88) |
Ol
Пример 2. Определим при помощи интеграла свертки реакцию элемента (2.84) на воздействие вида х (t) = at 1 (/).
Импульсная переходная функция элемента согласно (2.81) равна
w(t) = - ^ — e~aJ/a'. |
(2.89) |
а., |
|
Функцию у (/), описывающую изменение выходной величины после по дачи линейного воздействия, получим, подставляя выражение (2.89) в ин теграл (2.83):
/
у «) = Г аъ -£ » _ е-°" |
d ф = а |
Г t - |
|
(l - г~а^ а')\ I (Q. |
|
J |
Яо |
fli |
L |
C l |
J |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.90) |
2.6. Операционный метод и передаточная функция
Наиболее распространенным методом описания и анализа авто матических систем является операционный метод (метод операцион ного исчисления). В основе метода лежит преобразование Лапласа
58
\ x ( p ) = X{x(t)} = ^ x ( t ) t - p ‘ dt, |
(2.91) |
которое устанавливает соответствие между функциями действи тельной переменной t и функциями комплексной переменной р. Функцию времени х (/), входящую в интеграл Лапласа (2.91), на
зывают |
оригиналом, |
а |
результат |
интегрирования — функцию |
X (р) — изображением |
функции л; (t) |
по Лапласу. |
||
Преобразование Лапласа выполнимо лишь для таких функций |
||||
времени, |
которые равны |
нулю при |
t < 0. Это условие обеспечи |
|
вается обычно умножением функции л: (/) на единичную ступенча тую функцию 1 (/). С математической и физической точек зрения такой искусственный прием вполне корректен, так как функции х (t) описывают процессы в автоматических системах, начинаю щиеся с некоторого момента времени, а этот момент времени всегда может быть принят за начало отсчета.
И з о б р а ж е н и я п р о с т е й ш и х ф у н к ц и й времени, наиболее часто используемых в расчетах автоматических систем,
приведены |
в |
табл. |
2.1. |
|
|
|
|
О с н о в н ы е |
с в о й с т в а |
п р е о б р а з о в а н и я |
|||||
Л а п л а с а , |
используемые |
при анализе автоматических систем, |
|||||
указаны в |
табл. 2.2. |
|
|
|
|
||
Т а б л и ц а |
2.1 |
|
|
|
|
|
|
Изображения простейших функций времени по Лапласу |
|
|
|||||
Наименование функций |
x(t) |
x (p)=s? {x «).} |
|||||
Дельта-функция |
|
|
в со |
1 |
|
||
Ступенчатая функция |
|
а0 1«) |
a jp |
|
|||
Степенная функция |
|
tn 1 (0 |
n\/pn+1 |
|
|||
Экспонента |
|
|
|
е-а* I (/) |
l/(p + |
a) |
|
Синусоида |
|
|
|
sin |
со/ 1(t) |
со/(p2 + |
(D2) |
Косинусоида |
|
|
|
COS |
со t 1(0 |
p (p2 + CD2) |
|
Периодическая |
функция |
x (0 = |
x (t + T) |
X (р)/(1-е-рГ) |
|||
Т а б л и ц а 2.2
Основные свойства преобразования Лапласа
Наименование
Линейность
Правило дифференцирования (при нулевых начальных усло виях)
Правило интегрирования (при нулевых начальных условиях)
Изменение масштаба времени (теорема подобия)
Смещение аргумента оригинала (теорема запаздывания)
Теорема о начальном значении оригинала
Теорема о конечном значении оригинала
Оригинал
ах (/)
|
*1 (0 ± |
*2 (0 |
|
dk x ( t ) / d l k |
|
t |
t |
|
$ |
$ * (0 ) d $ k |
|
0 |
0 |
|
|
k раз |
|
|
* |
|
|
x ( t - - i ) |
|
|
lim x (t) |
|
|
/->0 |
|
|
lim x |
(t) |
|
l-+oo |
|
Изображение
aX(p)
Xi (p) ± X2 (p)
X (p) Pk
X (p)lpk
X (pTM) Tu
X (p) e -p t
lim pX (p) p—»-oo
lim pX (p) p-+0
Наиболее важными свойствами преобразования Лапласа яв ляются свойства, формулируемые обычно в виде правил:
при нулевых начальных условиях дифференцированию оригинала х (t) по переменной t соответствует умножение изображения X (р) на комплексную переменную /?, а интегрированию ориги нала соответствует деление X (р) на р.
Именно на этих двух свойствах основан операционный метод решения дифференциальных уравнений, который заключается в сле дующем. Исходное дифференциальное (или интегродифференциальное) уравнение, записанное относительно искомой выходной функ ции у (/), заменяют на алгебраическое уравнение относительно изо бражения Y (р) (это называется алгебраизацией дифференциального уравнения), затем, решая алгебраическое уравнение при заданном X (р), находят изображение Y (р) и, наконец, по изображению
60