книги / Системный подход в современной науке

та и теплота. Следовательно, работа и теплота являются по отдельно­ сти «неполными» характеристиками системы, причем как в физичес­ ком смысле (описывая лишь один из двух способов энергетического воздействия на систему), так и в математическом (будучи неполными дифференциалами, т. е. не являясь функцией состояния системы) до­ полняют друг друга «до полной» характеристики (внутренней энергии) и тем самым представляют собой две двойственные структуры в од­ ном «энергетическом» теле, связанные первым началом термодина­ мики. Для равновесных процессов 8А= PdV и 5Q=TdS, где Р — дав­ ление, V — объем, Т — температура, S — энтропия. Экстенсивные па­ раметры V и S называют обобщенными координатами, а интенсивные параметры Р и Т — обобщенными силами, причем, «сила» Р сопря­ жена с координатой V, а «сила» Т с координатой S. Между этими па­ рами параметров (P,V) и (Т, S) существует взаимно однозначное со­ ответствие; так называемый якобиан перехода11от одной пары к дру­ гой равен единице, что делает равноправными координатными плос­ кости (Р, V) и (Т, S). Отметим асимметрию в четверке Р, V, Т, S; если первые три параметра являются реально измеряемыми величинами, то энтропию измерить невозможно. Указанная четверка является па­ раметрами двойственных понятий более высокого уровня — четырех термодинамических потенциалов: внутренней энергии U (V, S), сво­ бодной энергии F(V,T), энтальпии Н( P,S) и потенциала Гиббса G (Р,Т). Каждый такой потенциал является функцией двух параметров, один из которых принадлежит паре (P,V), а другой — (T,S). Можно показать, что V, F, Н, G связаны между собой отношениями двойственности.

Золотое сечение — модель двойственности и ее структура.

Превосходные по точности и глубине рассуждения о природе двойст­ венности и её связи с золотым сечением принадлежат П. Флоренско­ му. Множество вообще открывается как полярно-сопряжённая двой­ ственность, и закон связи его полюсов должен быть выразим как не­ которая общая формула единства. Расчленение целого в простран­ стве и времени есть расчленение качественное, которое в простран­ стве и времени является как количественная разница. Следователь­ но, из двух полярно-сопряжённых частей одна должна быть большей (М), а другая — меньшей (т), ибо только «больше» и «меньше» мо­ гут различать пространственно-временные образования. Сравнени­ ем частей может быть измерение одной части другою, т. е. отноше­ нием m/М. Но т и М не являются произвольными величинами, а об­ разуют целое Т, или Т = m + М. Далее Флоренский рассуждает еле-

дующим образом: «...Деление целого должно быть таково, чтобы по частям наша мысль восходила к целому, поняла целое, как целое именно этих частей. Но их всего две. Стало быть, мера сравнения ча­ стей должна быть и мерой целого при сравнении с одной из частей. Эта последняя часть должна быть соединительным звеном для мыс­ ли при переходе от другой части к целому. Следовательно, она долж­ на быть большею, чем другая часть, во столько же раз, во сколько це­ лое больше её. Надо найти меру изоморфного отображения целого на свою большую часть такую, чтобы она равнялась величине отоб­ ражения большей части на меньшую»12.

Таким образом, получаем соотношение: m :M = M : ( M + m). Обо­ значив правую часть этого равенства через Ф, получим квадратное уравнение: Ф2 + Ф - 1 =0, корнями которого являются:

обратной к Ф. В математическом смысле это означает введение «об­ ратного» двойственного к «прямому» пространства, в котором пря­ мая, описываемая уравнением у = Ф, превращается в гиперболу

в своём пространстве, двойственном к пространству, где существует Ф, уравнение для © будет точно таким же.

Корнями уравнения 0 2 - 0 — 1 = 0 являются:

Итак, подытожим. Мы начали наше рассуждение, желая получить число, которое бы сохранялось неизменным при переходе от рассмот­ рения отношения между целым к его большей части к отношению боль­ шей части к меньшей этого целого. При этом в неявном виде мы при­ няли следующие очевидные допущения, что М > m и что М + m = Т. Или, другими словами, мы внутри целого Т, выделив в нём две час­ ти (первый минимальный шаг расчленения), задали два правила рас­ членения; первое из них задаёт структуру, «положенность» в прост­ ранстве и времени, закон «порядка» — оно утверждает, что кроме точки «т», есть точка «М», отдалённая от «т» и что есть характери­ стика «порядка», связанная с этой удаленностью. Второе условие на­ кладывает функциональное ограничение на эту удалённость, требуя, чтобы «т» и «М» оставались внутри целого (закон «композиции»). Кроме того, в качестве «линейки» для измерения целого его частью мы взяли отношение М : т . В обратном пространстве мы вместо этой «линейки» использовали обратную, то есть отношение m М. Таким образом, мы заменили отношение порядка на обратное, знак «боль­ ше» (>) заменился на знак «меньше» (<). Закон «композиции», каза­ лось бы, не изменился, ведь целое Т по-прежнему включает в себя m и М, но это уже не прежние m и М, а описываемые с позиции «пря­ мого» пространства, и поэтому мы должны были бы их снабдить спе­ циальными значками, например т * и М*.

Рассматривая фундаментальное для общей теории систем поня­ тие иерархического порядка, Берталанфи отмечал, что такая иерар­ хия проявляется как в структурах, так и в функциях. В конечном сче­ те, отмечал он, структура (т. е. порядок частей) и функция (т. е. поря­ док процессов) могут быть одним и тем же. Мы утверждаем, что на­ ше понимание двойственности позволяет сделать вывод, что слова «могут быть одним и тем же» надо дополнить «но в разных простран­ ствах». Чтобы составить правильное понимание о целом, надо приме­ нить двойственное описание — структуру описать на языке функций

ифункцию на языке структуры. В математике такие теории существу­ ют. Например, принцип двойственности для теории категорий утверж­ дает, что некоторое высказывание истинно тогда и только тогда, ког­ да в этой теории истинно двойственное высказывание. Принцип двой­ ственности позволяет выделить формальные связи между понятиями

ирезультатами, которые в конкретных категориях кажутся не завися­ щими друг от друга. В частности, с помощью теории категорий была найдена двойственная связь между наблюдаемостью и достижимое-

тью системы. Наблюдаемость понимается в смысле возможности оп­ ределить состояние системы по выходу. Достижимость — в опреде­ лении множества достижимых состояний. Система представляется как пара двойственных систем таких, что достижимость одной двой­ ственна (в смысле категории) наблюдаемости другой.

В эволюционной лингвистической модели Дж. Николиса13 самоор­ ганизующиеся системы рассматриваются как открытые «пирамиды» иерархически упорядоченных «платформ», которые можно разделить на две категории: энергетическая и структурная «аппаратурная реали­ зация» и информационное и функциональное «программное обеспе­ чение». Центральная проблема состоит в выяснении того, каким обра­ зом символические информационные взаимодействия возникают из энергетических интерпретаций. Или другими словами, проблема со­ стоит в создании «интерфейса» между структурами нашей системы («аппаратурной реализации»), в которой динамика осуществляется по­ средством энергетических взаимодействий, и ее функциями («про­ граммным обеспечением»), в которых динамика осуществляется по­ средством последовательности взаимозависимых символов. Но если в случае энергетических взаимодействий на структурных уровнях по существу построена классификация и достигнуто понимание (в той об­ ласти, где они подчиняются классической электродинамике и кванто­ вой механике), то природа символических взаимодействий, как пишет Николис, на функциональных уровнях пока не установлена.

Наглядная модель двойственности в виде двух уравнений для зо­ лотого сечения позволяет выдвинуть гипотезу для рассмотрения фун­ даментальной проблемы соотношения структуры и функции. Наша гипотеза, опирающаяся на теорию двойственности, заключается в следующем: «прямая», или «видимая», ветвь двойственности отно­ сится к структурной части при рассмотрении объекта, а «обратная», или «невидимая», часть относится к функциональной части двойст­ венности. Так называемая «невидимая» ветвь не является иллюзией или математическим приемом; она существует, но в нашем «прямом» пространстве энергетических взаимодействий она представлена как символический (информационный) динамический процесс. Видимый и невидимый миры можно также рассматривать как внешний и внут­ ренний, и тогда динамика объекта определяется соединением и вза­ имной дополнительностью внешних и внутренних частей объекта, а последние допускают дальнейшее расслоение. Нашим опытным данным доступна лишь внешняя часть.

ему физическому смыслу показывает, какая часть производимой рабочим телом работы используется для его охлаждения. Почему же получилось два значения для величины т|? Это можно объяснить тем, что у нас есть, как мы уже знаем, две холодильные машины, которые «включаются» поочередно на двойственных ветвях цикла Карно. И если нам удалось за счет технологических ухищрений повысить к.п.д. нашей машины, то мы автоматически ухудшаем к.п.д. холо­ дильной машины Вселенной.

Структурные изменения во внешнем мире (работу) мы произво­ дим для того, чтобы изменить функциональную характеристику ра­ бочего тела — понизить температуру, что можно отметить аппарат­ ным средством нашего мира, например градусником. Но одновремен­ но выбрасываемое во Вселенную тепло ухудшает ее структурные свойства (повышается энтропия), что может вызвать в ней функцио­ нальные изменения в тех ее точках, где концентрируется это струк­ турное ухудшение.

Двойственность. Эволюционные модели. Приведем некоторые факты и соображения, подтверждающие логику нашего изучения двойственности. Двуликий Янус биологии — структура и функция. По мнению Гамалея16, развитие структур детерминировано генетиче­ ски, реализация функций — экологически. Генетически наследуемые структуры выполняют в эволюционном развитии стабилизирующую роль, закрепляя пройденный путь, а экологически зависимые функ­ ции — раскачивающую, обеспечивающую поиск направления движе­ ния сегодня. Путем участия обоих регуляторных механизмов достига­ ется совмещение направленной (прогрессивной) и адаптивной состав­ ляющих эволюции в точке перехода прошлого в будущее. Влияние структуры на функционирование понятно; ей задан диапазон подвиж­ ности, амплитуда функциональных колебаний; влияние функциональ­ ных колебаний на изменение структуры менее видно, ее механизм — постепенное накопление ничтожно малых сдвигов. Эти изменения хо­ тя и очень малы, но необратимо накапливаются. Биологическое время изменяется структурами, как вехами пройденного пути. По функцио­ нальным признакам воссоздание структуры практически невозможно.

Вертикальная детерминированность структурного развития и гори­ зонтальная — функционального дают основания поставить задачу по­ иска модели, отражающей четырехмерные отношение текущей эко­ логии и эволюции. С ее помощью можно, видимо, описать перекрест времени и пространства в биологической системе координат. Струк­

тура отражает пройденный путь, функциональный трепет — выбор на­ правления движения, поиск следующего шага. Подвижность функций в диапазоне, заданном структурным исполином прошлого, дает неко­ торое основание предположить вибрационную модель функциональ­ ного поиска продолжения эволюционного пути в условиях определен­ ной экологии.

Конкуренция и отбор имеют фундаментальное значение для про­ цессов эволюции, но сами по себе они еще не приводят к эволюции. Естественно возникает вопрос: какие механизмы необходимо приве­ сти в действие для того, чтобы система, обладающая свойствами са­ мовоспроизведения, мультистабильности, конкуренции и отбора, об­ рела способность к эволюции? Таким механизмом служат мута­ ции, т. е. случайное производство альтернативных возможностей. Одна отдельная мутация, как правило, означает ухудшение системы в смысле эволюции. Но если случайно возникает новая благоприят­ ная возможность и она усиливается, то эволюция делает шаг вперед. Такие благоприятные возможности называются инновациями. Меха­ низм мутаций присущ самовоспроизводящимся системам. Причина заключается в физических законах квантовой механики и статисти­ ческой термодинамики, лежащих в основе каждого процесса воспро­ изведения. Эти законы гарантируют возможность появления ошибки, первопричиной которой являются как квантовомеханические, так и термодинамические флуктуации. Как показал Эйген17, мутации яв­ ляются единственным источником новых структур и новой информа­ ции. С помощью случайных процессов эволюция может порож­ дать совершенно новые структуры: благодаря им эволюция обрета­ ет творческий и скачкообразный характер. Возникновение новой сущности всегда происходит скачком в некий дискретный момент времени (Эбелинг18). Можно предположить, что этот скачок соответ­ ствует р-му золотому сечению некоторой меры, и новая сущность су­ меет занять свое место в мире, если мера, ее характеризующая, бу­ дет равна (р + 1)-й степени меры двойственной ей сущности.

Взаимодействие мутаций и отбора в процессах эволюции разыг­ рывается по следующей общей схеме. Каждая мутация означает воз­ мущение в установившемся на некоторое время равновесии. Мутант приводит к проверке системы на устойчивость относительно появле­ ния нового сорта. Если мутация не дает никаких преимуществ по сравнению с существовавшими ранее сортами, то новый сорт исче­ зает в результате процесса отбора. Система оказывается устойчивой

относительно возмущения. Отбор ведет к уничтожению нового сор­ та, и система возвращается исходное состояние. Но если оказывает­ ся, что мутант обладает определенным преимуществом по сравне­ нию с первоначально имевшимися сортами, то отбор ведет к росту нового сорта. Система оказывается неустойчивой относительно воз­ мущения. Усиливая эти возмущения (мутанты), система постепен­ но переходит в новое селекционное равновесие, соответствующее переходу на более высокий уровень эволюции. Следовательно, про­ цесс отбора описывает замкнутые петли и открытые спирали, причем последние выводят систему на более высокий уровень эволюции.

В рамках имитационных игр на компьютере показано, что в ре­ зультате процессов самовоспроизведения, отбора и мутации возни­ кают определенные характерные последовательности символов. Важную роль играет при этом выбранный алгоритм оценивания при­ способляемости. Самые интересные и разнообразные структуры воз­ никали в численных экспериментах в тех случаях, когда алгоритм оценивания был внутренне противоречив. Это явление было названо фрустрацией. Типичным для этих экспериментов по численному мо­ делированию было порождение процессом, стремящимся удовлетво­ рить одновременно нескольким противоречивым требованиям опти­ мальности, весьма сложных и иерархически упорядоченных последо­ вательностей символов. Тем самым, отмечает Эбелинг, затро­ нут весьма общий и глубокий аспект эволюции, заслуживающий бо­ лее глубокого рассмотрения19. Но нам, исходя из нашего понимания двойственности, понятно, что иначе и быть не может. Противоречи­ вые внешние функциональные требования будут, естественно, по­ рождать сложные структуры. При этом выясняется принципиальное сходство между процессами эволюции и сложными техническими проблемами оптимизации.

7 Кузнецов П.Г Тождество и противоположность грамматических и логических