книги / Системный подход в современной науке

K f •

А В

Рис. 3. Не существует инъективного морфизма структуры множеств с раз­

биениями между А и В.

ляют продолжить поиск путей количественного сравнения структури­ рованных множеств. Путь, на котором поиск мог бы оказаться удач­ ным, хорошо разработан в математике. Речь идет о представлении одних математических структур другими математическими структу­ рами. Свойства вращения геометрического пространства можно эф­ фективно изучать с помощью умножения определенных матриц. Вся теория меры, в частности измерение длин, площадей и объемов в геометрии есть пример количественной параметризации, основан­ ной на представлении геометрических структур в числовые структу­ ры анализа.

Равносильные математические описания нередки в физике: со­ стояния атома в квантовой механике могут описываться векторами бесконечномерного гильбертова пространства (подход Шредингера) и бесконечными матрицами (подход Гейзенберга).

Поскольку в интересующем нас аспекте при количественном срав­ нении одинаково структурированных множеств нам приходится иметь дело не только с самими структурированными множествами, но и в большой степени с морфизмами их структуры, дальнейшее из­ ложение удобно вести на языке математической теории категорий, который специально предназначен для изучения совокупностей, ку­ да на равных правах входят структурированные множества и их мор­ физмы.

Категория включает класс объектов и множества морфизмов, за­ данных для некоторых (или всех) пар объектов. Для морфизмов за­

даны закон композиции и ряд аксиом, делающие их похожими на ма­ тематические соответствия между множествами. Наиболее нагляд­ ные примеры категорий — это совокупности всех одинаково структу­ рированных множеств:

—в категории упорядоченных множеств, где объекты — множест­ ва с отношением порядка, морфизмами служат монотонные (возра­ стающие и убывающие) соответствия между множествами;

—в категории групп морфизмы между объектами категории — группами — есть соответствия, сохраняющие закон композиции

иединичные элементы групп;

—в категории топологических пространств, где объекты — мно­ жества, для элементов которых задано отношение близости, морфиз­ мы есть непрерывные соответствия, переводящие близкие элементы одного топологического пространства в близкие элементы другого пространства;

—среди всевозможных категорий присутствует и категория всех множеств, объекты категории — множества, морфизмы — соответ­ ствия между множествами.

Функтор — это отображение одной категории в другую, при кото­ ром объекты переходят в объекты, морфизмы — в морфизмы и обя­ зательно сохраняется композиция морфизмов. Функторы оказывают­ ся представлением структур одной категории структурами другой.

Выделенные морфизмы категорий порождают упорядочение ее объектов. Так, в предыдущих абзацах мы сравнивали структуриро­ ванные множества с помощью инъективных морфизмов. Если функторное представление монотонно относительно упорядочения в кате­ гориях («структура объекта А сильнее структуры объекта В в катего­ рии Si» влечет «структура объекта F(A) сильнее структуры объекта F(B) в категории S2 », где F — функтор из Si в S2), то предъявление монотонного функтора составляет функторный метод сравнения структур: об упорядочении объектов А и В в какой-либо категории со сложной и непривычной структурой можно судить по упорядочению их образов F(A) и F(B) в категории с простой или хорошо изученной структурой объектов (в цитированной выше книге приведены доста­ точные условия монотонности функтора).

Инварианты структур. Функтор из произвольной категории струк­ турированных множеств в категорию неструктурированных мно­ жеств, сопоставляющий объекту А множество всех морфизмов Нот(Х, А) из фиксированного объекта X в объект А, оказывается мо-

нотонным при упорядочении структурированных множеств инъекциями. Таким образом, если структура объекта А сильнее структуры объекта В, то количество сохраняющих структуру преобразований произвольного объекта X в объект А больше, чем количество таких же преобразований из объекта X в объект В. Если структуры объек­ тов А и В одинаковы, то количества преобразований в множествах Нот(Х, А) и Нот(Х, В) равны. Поэтому число преобразований в мно­ жестве Нот(Х, А) удобно назвать инвариантом структуры объекта А относительно объекта X и обозначить 1Х(А).

Заметим, что если Iх! (А) есть инварианты объекта А для несколь­ ких X, то и сумма I l xi (А) обладает свойствами инварианта.

Если структурированные объекты сравнимы, то их инварианты упорядочены так же, как объекты. Однако мы знаем, что структури­ рованные множества могут оказаться несравнимыми. В этом случае может быть полезным принцип продолжения упорядочения структур по упорядочению их инвариантов: структура объекта А полагается сильнее (относительно объекта X) структуры объекта В, если 1Х(А) > 1Х(В).

Функторное сравнение структур можно рассматривать как даль­ нейшее обобщение понятия количества: от количества элементов бесструктурных множеств (задаваемого сравнением множеств с по­ мощью инъекций) через структурные числа структурированных мно­ жеств (задаваемые сравнением множеств с помощью инъективных морфизмов структур) к числовым инвариантам структур. По-видимо­ му, приведенные конструкции не единственный путь обобщения представлений о количестве2. Возможен путь поиска иных функторов в категорию множеств или выбор иной параметризирующей катего­ рии вместо категории множеств, или выбор вместо инъекций других специальных морфизмов для сравнения объектов в исходной катего­ рии (и соответственно — иного функтора в параметризирующую ка­ тегорию) и т. д.

Приведу пример сравнения структур с помощью инвариантов. Рассмотрим структуру множеств с разбиениями. Допустимыми слу­ жат морфизмы, переводящие каждый класс разбиения одного мно­ жества целиком в определенный единственный класс другого множе­ ства. Если Kjx — класс i разбиения множества X, — класс разбиения множества А, в который переходит класс i, то общее количество мор­ физмов есть

1х (А) = П 1к- ( к * 0 )

Если морфизмы — отображения и в классе Kj содержится rij эле­ ментов, то

1х ( А ) = п п ;> , .

Если допустимыми являются не отображения класса в класс, а ка­ кие-либо произвольные соответствия из класса в класс, то формула инварианта сохраняет вид произведения по классам с измененными сомножителями. Приведу формулы для сомножителей при всех воз­ можных комбинациях канонических свойств соответствий (табл.1).

Замечу, что инварианты многих (а может быть, и произвольных) математических структур выражаются через ассоциированные с эти­ ми структурами разбиения, поэтому их инварианты имеют характер­ ный вид произведения инвариантов отдельных классов разбиения. Это замечание пригодится при обсуждении способов расчета энтро­ пии систем.

Категорное описание систем

Пусть для описания естественной системы выбрана определенная математическая структура, пусть также из содержательных сообра­ жений известны допустимые структурой системы преобразования. Рассмотрим категорию Q структурированных множеств, где матема­ тическая структура, заданная на множествах, эксплицирует свойства системы.

Станем отождествлять состояния системы с объектами категории, а преобразования состояний друг в друга — с ее морфизмами. На языке методологии теоретического описания естественных сис­ тем элементарный объект теории теперь есть структурированное множество; изменчивость системы — морфизмы категории, преоб­ разующие одни объекты в другие; пространство состояний — сово­ купность объектов категории Q.

Замечу, что теоретико-категорное описание систем не требует обязательной экспликации естественной системы математической структурой. Возможно «качественное» категорное описание систем, т. е. перечисление и описание состояний системы, а также всех пе­ реходов между состояниями (морфизмов) не на математическом, а на каком-либо внутридисциплинарном языке.

Для формулировки полной динамической теории осталось задать ее Т и L компоненты — способ параметризации изменчивости и за­ кон изменчивости.

Энтропия систем. Введу энтропию состояния А относительно со­ стояния X через инварианты структурированных множеств следую­ щим образом:

рия множеств со «стертой структурой». X маркирует состояния си­ стемы, принадлежащие определенному ее макросостоянию (поня­ тие макросостояния вводится в последующих абзацах). Энтропия всего макросостояния определяется надлежащим суммированием по всем X.

Формулу (1) для энтропии можно интерпретировать как меру структурированности состояния А, т. е. меру отклонения структуры состояния А от его бесструктурного аналога.

Эта формула обобщает традиционные подходы к введению энтро­ пии в статистической физике. Обычно энтропия систем определяет­ ся как логарифм удельного числа различающихся микросостояний системы, соответствующих ее заданному макросостоянию. Буду ин­ терпретировать макросостояние как класс состояний, между которы­ ми допустимы переходы с точки зрения каких-либо содержательных соображений, например, в силу сохранения макропараметров систе­ мы (энергии, числа частиц...), а микросостояние как результат произ­ вольного преобразования системы.

Таким образом, чтобы вычислить энтропию системы, нужно под­ считать количество ее преобразований-морфизмов. Это количество морфизмов зависит как от структуры системы, так и от количества

элементов в ней. Множитель введен, чтобы нормировать энтропию на один элемент системы или ввести удельный инвариант структуры.

«Энтропиевидные» функции состояния систем, появившись в тер­ модинамике, через статистическую физику, теорию информации и кибернетику проникли в количественные методы широкого круга наук. Успешность применения понятия энтропии полностью опреде­ ляется возможностями расчета энтропии в интересующих исследова­ теля случаях. Чисто термодинамические подходы к расчету энтропии систем крайне ограничены: «...Формулировка второго начала с точки зрения современного физика представляет собой скорее программу, чем утверждение, допускающее однозначную интерпретацию, так как ни Томпсон, ни Клаузиус не указали точный рецепт, позволяющий вы­ разить изменение энтропии через наблюдаемые величины»3. И толь­ ко больцмановская интерпретация энтропии через число способов достижения системой макросостояния дает конструктивные алгорит­ мы расчетов. Интерпретация энтропии через количество морфизмов предоставляет дальнейшие возможности для расчетов.

Как уже говорилось, инварианты многих (если не всех) математи­ ческих структур выражаются через инварианты ассоциированных со структурами разбиений. Инварианты множеств с разбиениями муль­ типликативны относительно инвариантов каждого из классов разби­ ения, поэтому логарифмы инвариантов, входящие в энтропию, адди­ тивны и имеют характерный «энтропиеобразный» вид сумм по клас­ сам разбиения.

Формулы для энтропии получаются вне каких-либо статистичес­ ких предпосылок. Например, если допустимые морфизмы есть отоб­ ражения, то формула

Hx (A) = l o g ^ -

малых, п. Вводя pj = nj/n и представляя набор величин как функцию распределения для состояния А, можно формулу для энтропии интер­ претировать как обобщение Н-функции Больцмана

кРравновЛ^)

которая4 служит мерой отклонения вероятностей состояния системы в момент t от вероятностей равновесного состояния.

Заметим, что приведенные в настоящем разделе в качестве при­ меров формулы энтропии (так же как и обобщающие энтропию фор­ мулы инвариантов в табл.1) относятся к простейшим двухуровневым системам. В задачах, где оказывается существенным большее коли­ чество иерархических уровней системы, возникает необходимость расчета инвариантов для иерархических структур.

Экстремальный принцип как закон изменчивости

Уравнение движения в естествознании — это обычно постулат, обобщающий опыт математического описания определенного фраг­ мента реальности и изобретенный гением, чье имя становится име­ нем уравнения. Существует и иной путь получения уравнений: посту­ лат-уравнение заменяется постулатом-функционалом. Речь идет об экстремальных принципах естествознания, согласно которым в ре­ альности осуществляются те состояния системы, для которых экстре­ мальна определенная числовая функция (функционал), аргумент ко­ торой — нужные исследователю траектории движения системы.

Если известно уравнение движения, то по нему можно установить вид функционала, экстремалью которого будет решение исходного уравнения. И наоборот, если функционал задан, то вариационный ме­ тод поиска его экстремумов приводит к уравнениям движения. Так что построение динамики на основе постулатов-уравнений или посту­ латов-функционалов приводит к одинаковым результатам. Однако экстремальный принцип обладает большей эвристической и обобща­ ющей силой. Почему камень, брошенный под углом к горизонту, дви­ жется по параболе? Объясняя явление, можно указать на уравнение равнопеременного движения r=ro+vt+(i/2)at2 Само это уравнение составляет следствие второго закона Ньютона р_т ' для тела>Дви* жущегося под действием постоянной силы (впрочем, парабола может быть представлена геодезической линией — решением уравнений Эйнштейна общей теории относительности для движения в сильных

полях и с высокими скоростями). Закон Ньютона и уравнения Эйн­ штейна могут быть выведены из принципа наименьшего действия с определенной формой экстремизируемого лагранжиана, т. е. суще­ ствует несколько уровней объяснения явлений, каждый из которых может служить исходным постулатом. Однако уравнение равнопере­ менного движения относится лишь к узкому классу явлений, второй закон Ньютона описывает все движения в несильных полях и с невы­ сокими скоростями, уравнения Эйнштейна уже не связаны и с этими ограничениями, а принцип наименьшего действия применим ко всем формам механического и электромагнитного движений.

Для естественных систем, описываемых математическими струк­ турами, предлагается экстремальный принцип в следующей форме:

из заданного состояния X системы осуществляется переход в то со­ стояние А, для которого энтропия НХ(А) максимальна в пределах, до­ пускаемых ограничениями на функционирование системы (напри­ мер, доступной энергией или другими ресурсами).

Таким образом, на языке категорного описания систем возникает /.-компонент теории.

В обсуждаемом контексте энтропия — не исходное и неопределя­ емое понятие, а точная конструкция. Это позволяет предложить для экстремального принципа дополнительные варианты интерпретаций.

1.По определению энтропия НХ(А) рассматривается как мера уда­ ленности структурированного состояния А из категории Q от своего аналога из категории со «стертой» структурой. И согласно экстре­ мальному принципу осуществляются состояния, которые сильнее других удалены от своего полностью бесструктурного прообраза (максимально структурированы).

2.В формуле энтропии знаменатель IQ(A) есть инвариант структу­ рированного множества А. Неравенство IQ(A)< IQ(B) означает, что структура множества А слабее (по отношению к объекту X) структу­ ры множества В в смысле отношения порядка «сила структур». Пусть для состояний системы А и В числители в формуле энтропии одина­ ковы, т. е. состояния А и В являются различными реализациями не­ которой структуры на одинаковых по мощности базовых множествах, например, различными разбиениями одного и того же множеству или группами, равномощными как множества. Тогда максимум энтропии

иреальное состояние соответствуют минимальному (по «силе струк­ тур») состоянию системы. Таким образом, энтропия играет ту >це роль, что и инварианты математических структур, упорядочивая се­

ми структуры и описываемые математическими структурами состоя­ ния естественных систем.

3. На примере энтропии структуры множеств с разбиениями (мор­ физмы — биекции) видно, что энтропия

п!

Н = log

максимальна при одновременном выполнении двух условий: количе­ ство элементов системы (числитель) максимально, но число всех со­ храняющих структуру преобразований (знаменатель) минимально. Малый набор допустимых структурой системы преобразований мож­ но трактовать как высокую устойчивость состояния, и экстремальный принцип реализует как максимум экспансии элементов системы, так

имаксимально устойчивое ее состояние.

4.Заметим, что без дополнительных ограничений требование на­ ибольшей экспансии, порождаемое экстремальным принципом, при­ водит к бесконечному увеличению числа элементов системы. Функ­ ционирование естественных систем всегда ограничено ресурсами (энергия, субстраты, пространство, информация и т. д.). Например, для субстратно-энергетических факторов эти ограничения формали­ зуются в виде балансовых неравенств:

fk(A)<Lk, (2)

где fk(A) — некоторые функции состояния системы и Lk — потребля­ емые системой при экспансии различные ресурсы. Поэтому реальны­ ми состояниями системы являются решения задачи на условный экс­ тремум.

Можно показать, что энтропийный экстремальный принцип с огра­ ничениями (2) по ресурсным факторам равносилен принципу мини­ мального потребления любого из лимитирующих динамику ресурс­ ных факторов с ограничениями на наименьшую допустимую величи­ ну энтропийной характеристики системы.

5. Обе указанные выше вариационнные задачи равносильны за­ даче на безусловный экстремум (для функции Лагранжа, одинаковой для обеих задач). Например, задача (Энтропия Н(А) — максимальна, f(A) Е, где Е — энергия системы} равносильна задаче на безусловный минимум для функционала F = -(Н + dE), где d — множитель Лагран­ жа. Заметим, что в статистической физике для идеальных газов мно­ житель Лагранжа оказывается обратно пропорциональным темпера-