книги / Проектирование транспортных сооружений

Рис. 11.14. Схемы загруження однопролетных криволинейных балок

Аналогично можно получить выражения для определения изгибиокрутильных факторов в сечениях криволинейной коробчатой балки, загруженной равномерно распределенной вертикальной нагрузкой р, приложенной вдоль продольной оси и равномерно распределенными

крутящими моментами т (рис. 11.14, а). Эти выражения будут сле­ дующими:

+ (mR—pR2)t)■cos <p—cos ip' sin a

Для криволинейных балок с открытым контуром поперечного се­ чения имеем

Приведем также выражения для определения усилий в сечениях криволинейной балки, загруженной по концам изгибающими момента­ ми Mt-lt Mt (рис. 11.14, б) и бимоментами Bt- „ Bt (рис. 11.14, в):

291

Остальные выражения для балок с открытым контуром поперечного сечения получаются из формул (11.36) и (11.37) при р = 1 и k =

Напряжения от свободного и стесненного кручения в сечениях кри­ волинейных пролетных строений определяют с использованием формул (7.11).

Расчет неразрезных криволинейных балок с постоянной кривизной в каждом пролете и опорными закреплениями, препятствующими за­ кручиванию (рис. 11.15), сводится к решению системы уравнений вида

-М,._ , ц* _ ,+Mi ixff+Ml+! p f,.+ , +

+ Bi~ 1Рл /- 1+ Bi P«+ fli+ 1P? *+l+ Pio = °>

где Мг_х, Mit Mt+i, Bt_i, Bit Bi+i—неизвестные опорные изгибающие мо­ менты и бимоменты над промежуточными опорами i —1, i, i + 1; бfj, 6®,

292

где В° — бимомеит от заданной нагрузки в рассматриваемом сечении одиопролетной балки; Вш , Вш — бимоменты в рассматриваемом сечеиии основ­ ной системы от Mi = 1 и Вг = 1.

При расчете неразрезных металлических пролетных строений эста­ кад произвольного вида можно воспользоваться методикой (см. п. 8.3). Эффект стесненного кручения приближенно может быть учтен отдельно из рассмотрения однопролетной схемы для каждого из пролетов.

11.5. РАСЧЕТ КРИВОЛИНЕЙНЫХ БАЛОК С ОТКРЫТЫМ КОНТУРОМ КАК БИКОНСТРУКЦИЙ

Определение внутренних усилий в криволинейных балках метал­ лических пролетных строений эстакад с открытым контуром попереч­ ного сечения возможно как по теории тонкостенных стержней (см. п. 11.4), так и с использованием аппарата расчета бикоиструкций [27]. При этом балку пролетного строения можно считать биконструкцией, если допускать, что ее стенка воспринимает только касательные и вер­ тикальные нормальные напряжения.

С учетом поперечного распределения нагрузки выделим из пролет­ ного строения одну криволинейную балку с открытым двутавровым профилем (рис. 11.16, а, в). Допустим, что нормальные и касательные напряжения по толщине стенки постоянны. Рассматривая цилиндри­ ческий бесконечно малый элемент стенки, запишем уравнение равно­ весия тонких безмоментных оболочек;

где о,, az — нормальные напряжения вдоль координатных осей s и г (см.

293

т. е. стенка не воспринимает нормальных напряжении в направлении криволинейной координаты s, а возникающие касательные напряже­ ния постоянны вдоль оси z и переменны вдоль оси балки.

Из условий равновесия выделенного элемента стенки с учетом ка­ сательных усилий q — тЬ имеем

Таким образом, нормальные напряжения crz по высоте стенки из­ меняются линейно (рис. 11.16, в), и справедливо

где Pi — интенсивность вертикального давления, передаваемого на верх­ нюю кромку стенки; г — вертикальная координата рассматриваемой точки стен­ ки (см. рис. 11.16, б).

Если сосредоточенное усилие Р (например, колесо подвижной на­ грузки) воздействует на балку, то можно условно считать, что оно рас­ пределяется в толще покрытия проезжей части и верхней полке (пли­ те) под углом 45°. Тогда интенсивность вертикального давления, пере­ даваемого на верхнюю кромку стенки,

(П -46)

где с — длина распределения усилия Р вдоль оси балки; Н — суммарная толщина покрытия проезжей части и верхней плиты пролетного строения (см. рис. 11.16, а).

поэтому при постоянных касательных напряжениях стенка находится только в условиях сдвига.

294

а)

Рис. 11.6 Схема для расчета криволинейной балки цельнометаллического про­ летного строения с открытым контуром поперечного сечения

Предположим теперь, что нижний пояс рассчитываемой балки вос­ принимает нормальную силу N, изгибающий момент МЯ1 и попереч­ ную силу QS1 только в своей плоскости. В верхнем поясе считаем воз­ можным возникновение усилий различного направления, т. е. он мо­ жет быть выполнен в виде железобетонной плиты (рис. 11.17, а). Вза­ имодействие между поясами и стенкой балки происходит за счет каса­ тельных сил q, направленных вдоль линий контакта криволинейной стенки.с поясами (см. рис. 11.17, а). Так как вертикальная стенка пере­ дает только сдвигающие усилия и не работает на изгиб, напряженное состояние верхнего и иижиего поясов зависит от способа передачи внешней нагрузки на балку. Вертикальную нагрузку можно считать приложенной к верхнему поясу балки и передающейся затем на стен­ ку и нижний пояс. Горизонтальная продольная или поперечная на­ грузка будет передаваться только верхнему поясу, если она приложена в уровне проезжей части пролетного строения.

295

Вводится также допущение о том, что крутящие моменты от внешней нагрузки воспринимаются только поясами балок, причем закручива­ ющие пары сил передаются поясам балки в местах расположения диаф­ рагм или связей.

С учетом отмеченного выше нормальные напряжения от продоль­ ной силы N и изгибающего момента М в будут определяться по форму­ ле

где Еь, Est — модули упругости бетона и стали; Аъ — площадь попереч­ ного сечеиия железобетонной плиты; Aat — площадь поперечного сечеиия верх­ него пояса стальной балки.

Рис. 11.17. Схема для расчета сталежелезобетонной балки

296

Момент инерции сечения определяют по формуле

где /*s2) — приведенный к стали момент инерции железобетонной плиты

верхнего стального пояса относительно их общего центра тяжести; Aj — рас­ стояние между центрами тяжести верхнего приведенного и нижиего поясов; ш0 — координата центра тяжести всего приведенного сечения балки.

Касательные напряжения в стенке балки

ной плиты и верхнего стального пояса относительно центра тяжести приведенного сечения.

Изгибающий момент и поперечную силу, действующие в плоскости нижнего пояса, можно определять как интеграл от усилий q, действую­ щих вдоль оси пояса. Если ось нижнего пояса задать радиусом-вектором

а напряжения от этих усилии

где гиг, — текущий радиус-вектор и радиус-вектор рассматриваемого сече­ ния; m, 1— единичные векторы осей инерции v и w рассматриваемого сечения; Aai и Ла1 — толщина и ширина нижнего пояса балки.

Горизонтальная поперечная сила Qs2 и изгибающий момент ,Ms2 обратны по знаку соответственно Qal и Л4а1 и определяются от воздей­ ствия q аналогичным образом.

Если в уровне нижнего пояса прикрепляют элементы поперечных связей, то продольная сила NK в них (см. рис. 11.17, в) вызовет ска­ чок в эпюре поперечных сил Qal. При этом в формуле для определе­ ния Л4а1 (11.52) следует учесть дополнительное слагаемое

где гс — радиус-вектор точки приложения силы Nc.

Статически неопределимые криволинейные двутавровые балки рас­ считывают, учитывая в канонических уравнениях еще условие нераз­ рывности нижнего пояса.

В том случае, когда рассматриваются криволинейные балки цель­ нометаллических пролетных строений, следует принимать во внима­ ние, что их верхний пояс ие может воспринимать крутящие усилия.

Полные нормальные напряжения в поясах криволинейных балок определяют суммированием величин, получаемых по формулам (11.48) и (11.53), а полные касательные — по формулам (11.53) и (8.76).Каса-

297

тельные напряжения (11.51) и вертикальные нормальные напряжения (11.44) в стенке могут вызвать появление опасных главных сжимаю­ щих напряжений, и поэтому они должны быть проверены по известным формулам сопротивления материалов.

11.6.РАСЧЕТ СТАЛЕЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ БАЛОК

СУЧЕТОМ ДЛИТЕЛЬНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ БЕТОНА ПЛИТЫ

Балки сталежелезобетонных пролетных строений вследствие дли­ тельных деформаций ползучести и усадки бетона, а также неравномер­ ного температурного воздействия получают дополнительные напряже­ ния. Способы учета этих напряжений при расчете прямолинейных сталежелезобетоиных пролетных строений в достаточной степени раз­ работаны [26]. В балках с симметричным сечением учет ползучести, усадки и температурных деформаций можно осуществлять, напри­ мер, методом заменяющих призм [4]. При расчете балок с несимметрич­ ным сечением, что характерно для криволинейных пролетных строе­ ний, требуется решать сложную систему дифференциальных уравне­ ний [6]. Рассмотрим упрощенную методику учета длительных деформа­ ций от усадки, ползучести и температурного воздействия в балках с не­ симметричным поперечным сечением.

Железобетонная плита в пролетных строениях эстакад имеет тол­ щину, существенно меньшую, чем высота балок. В этой связи пред­ ставляется возможным использовать средние напряжения в плите на уровне ее центра тяжести (рис. 11.18). Характер деформаций пол­ зучести в дальнейшем будем учитывать в соответствии с теорией старе­ ния. Поэтому можно записать условие, выражающее равенство при­ ращений деформаций deb на уровне центра тяжести железобетонной плиты за время dt относительным деформациям dest стальной части

сечения на том же уровне, т. е.

£-St ‘w

298

ты относительно главных центральных осей v, w стальной части сечения; Aat, Iu> — площадь и главные центральные моменты инерции стальной части по* перечного сечения с учетом арматуры плиты; Est — модуль упругости стали.

(11.55) к виду

n — Eat • Ц —■Agt • Ab.

Выражение (11.56) представляет собой линейное дифференциаль­ ное уравнение с постоянными коэффициентами и переменной правой частью. Его решение относительно неизвестного Nb имеет вид

(11.57)

где с — постоянная интегрирования.

Если внутренние усилия в сечении не изменяются во времени, а усадка не учитывается, то следует считать

N't =M ’vt = Mwt= е;= 0 , N'b +BNb = О,

и тогда усилие в железобетонной плите

где Nbо — начальное усилие в железобетонной плите; аьо — начальное напряжение на уровне центра тяжести железобетонной плиты от постоянных на­ грузок;

Нормальные напряжения на уровне центра тяжести плиты в про­ извольный момент времени от постоянных нагрузок можно предста­ вить в виде

и арматуру плиты), приложены в центре ее тяжести и составляют

299

а соответствующие им напряжения в точке сечения с координатами v и w

es, следует принять

Nt= Mvt=Mwt= О,

и тогда усилие в железобетонной плите от усадки с учетом того, что в начальный момент времени Nb = О,

Нормальные напряжения от усадки бетона в центре тяжести плиты

Усилия и напряжения в стальной части поперечного сечения опре­ деляют по формулам (11.60) и (11.61), подставляя в них величину Nbs из формулы (11.62).

При суточном цикле изменения температуры конструкции, когда ползучесть бетона не успевает скомпенсировать возникающие темпера­ турные напряжения, величину eha можно рассматривать как темпера­

300