книги / Проектирование транспортных сооружений

1) построить линии влияния от Р -- 1 и М • 1 и, загружая их заданными распределенными нагрузками, получить искомые усилия

всечениях или опорные реакции;

2)заданную в векторной форме распределенную нагрузку непо­

средственно учитывать в уравнениях (8.5) и (8.16), добавляя: в первое уравнение из выражения (8.5) слагаемое

где p и м —векторы интенсивности силовой и моментной нагрузок, рас­ пределенных вдоль заданной линии; г,, и гм —радиусы-векторы линий дейст­ вия силовой и моментной нагрузок; Sij, st)- и s2i-, stj —начальные и конечные точ­ ки участков действия нагрузок р или м; Ь и I —число участков распределенной силовой и моментной нагрузок, действующих на отсеченную часть или всю балку.

8.2. РАСЧЕТ РАЗРЕЗНЫХ БАЛОК ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

Рассмотрим криволинейные в плоскости ху балки с радиусом кри­ визны R. При этом по концам однопролетных балок предположим на­ личие шарнирного опирания, допускающего или не допускающего по­ ворота опорных сечений от кручения. Если установлена одна опорная часть (обычно по оси поперечного сечения балки), то она допускает закручивание опорного сеченчя (опирание / на рис. 8.6, а).

Если в поперечном сечении устроены хотя бы две опорные части (обыч­ но под боковыми гранями балок), можно считать, что поворота опор­ ных сечений относительно продольной оси не произойдет (опирание 2 на рис. 8.6, а и опирание 1 и 2 на рис. 8.6,6).

Пусть на балку действуют вертикальная сила Р и крутящий мо­ мент Т, вектор которого перпендикулярен оси балки. В принятой на рис. 8.6 системе координат уравнение оси криволинейной балки имеет вид

Для векторов внешних усилий можно записать:

s

Р= Як; Т = Г i cos — —j sin (8.21) R

191

Рис. 8.6. Схемы к расчету однопролетных криволинейных балок постоянной кривизны

Тогда условия равновесия (8.16), необходимые для определения опорных реакций Rj и R 2 в балке рис. 8.6, а, получают следующий вид:

Запишем векторные произведения:

192

Умножая каждое векторное уравнение (8.22) скалярно на единич­ ные векторы i (1, 0,0), j (0, 1, 0), k (0,0,1), получим с учетом (8.23) следующие зависимости для определения опорных реакций:

0:

— PRsin-^- —/?.2 /? sin — UTW— Т sin— -0 ,

где Тгх и Тгу—значения проекций вектора опорного крутящего момента Т3 на координатные оси х и у.

Уравнений (8.24) недостаточно для определения четырех неизвест­ ных Rx, R2, Т2х и Т2у. Учтя, что вектор Т2 должен быть направлен по касательной к оси балки в точке 2, можем записать в векторной форме:

Откуда получаем;

Добавив теперь к уравнениям (8.24) условия (8.26) и решив их сов­ местно, получим опорные реакции Rv Rt и опорные крутящие моменты Т-у и 7*2 в зависимости от значения и положения внешних сил на рас­ считываемой балке:

193

Аналогично можно получить такие же усилия для балки (рис. 8.6, б). Здесь, кроме условий равновесия, необходимо учесть дополнитель­ ное условие равенства нулю угла закручивания в точке 2, так как сис­ тема статически неопределима. В результате формулы опорных уси­ лий примут вид:

R *= -P -R i = —Y pi

Если требуется определить внутренние усилия в произвольном сечепни балок (рис. 8.6, в) с радиусом-вектором гс и текущей координатой sc как равнодействующие опорных усилий и внешних нагрузок, то по формулам (8.5) получим:

194

Sc

1—COS -77I+ Tj cos—- • R)

2. При sc> s Q = Ri+ -P;

M, = R1Rsin-^- —T1 sin-^-+PR ^sin^-cos-^-

(8.29)

Положительные направления усилий Q, Mv и Ткр в формулах (8.29) соответствуют указанным на рис. 8.6, в.

Значения опорных усилий подставляют в формулы (8.29) из фор­ мулы (8.27) или (8.28) в зависимости от расчетной схемы криволиней­ ной балки. Используя полученные формулы, строят линии влияния усилий в произвольном сечении однопролетной балки.

8.3. РАСЧЕТ КРИВОЛИНЕЙНЫХ БАЛОК ПРОИЗВОЛЬНОГО ВИДА

Пролетные строения современных эстакад в большинстве случаев выполняют многопролетными с произвольной формой в плане, пере­ менными геометрическими характеристиками сечений и различными опорными закреплениями. В общем виде расчет таких несущих систем весьма сложен. Однако, разделив балку на отдельные участки, каж­ дый из которых имеет постоянную кривизну и постоянные геометриче­ ские характеристики (рис. 8.7, а), можно получить расчетные выраже­ ния в замкнутом виде. Заметим, что в пределах одного пролета балки как радиус кривизны, так и геометрические характеристики могут меняться и поэтому число участков в каждом пролете может быть раз­ личным.

Рассмотрим один из участков 1—2 криволинейной неразрезной бал­ ки, имеющий радиус кривизны R и длину его криволинейной оси /. Допустим, что опорные закрепления препятствуют закручиванию се­ чений (рис. 8.7, б).

195

Рис. 8.7. Схемы к расчету неразрезных криволинейных балок

Под действием вертикальной силы Р и закручивающего момента Т, приложенных в сечении координатой s, возникают опорные реакции и опорные крутящие моменты, которые определяют формулами (8.28). Углы поворота <р, и ф2 на концах участка от воздействия Р и Т соста­ вят:

(8.30)

!96

где E%G ~ модули упругости и сдвига материала балки; /, / 1 — моменты инерции поперечного сечения на изгиб и кручение; Rlt Тг, R2, Т2 — опорные усилия и закручивающие моменты по концам участка.

Если на конце участка балки в сечении / приложен изгибающий мо­ мент М „, то опорные усилия

Мп Rt\~= “ %Т2~ ~~~ ,

197

Формулы (8.30) — (8.34) позволяют рассчитать криволинейную не­ разрезную балку на основе смешанного метода строительной механики. За лишние неизвестные в этом случае принимают опорные изгибаю­ щие моменты Xt, углы поворота У, опорных сечений с закреплениями, препятствующими закручиванию, также вертикальные смещения опор­ ных сечений Zt. Общая система (Зт + 3) уравнений для определения указанных неизвестных по концам m участков, на которые разбита балка, имеет вид:

198

8<m+ 1) i *1+ • ■• + 8(m + 1) (m+ 1) X(m + l)+ r(m+ 1) l ^i+ • • • +

+ r(m+ 1) (m+ 1) Kn*+l+ *(m+ 1) 121+ ■• •+*<«+ l) <m+ 1, Z(m+ l)+

+ kn Zl + ■•■ + *1 {m+ \)Z(m+l)+TP \= 0:

r(m+ 1) l -*l+ • • • + r(m+ 1) (m+ 1) A'(m + 1) +f(m+ 1) 1^i+---

(m+1) (m+1) ^(m+ 1) + fe(m+ 1) l zi~i~ ■■■

■■• + *(m+ 1) (m+1) Z(m+ 1) + 7Pm = 0-

Все коэффициенты при неизвестных удовлетворяют условию б =

Остальные коэффициенты при неизвестных равны нулю: В форму­ лах (8.36) индексом i обозначен номер участка со своей длиной, кри­ визной и геометрическими характеристиками сечений, для которого определяют линию влияния.

Совершенно аналогично можно получить грузовые члены системы уравнений (8.35), используя формулы (8.28), (8.29). Если внешние воздействия Р и Т расположены на t-м участке, можно записать:

Api —ф*'); Др (i+1) —Ф^;

RPi= -R { ‘>;

Яр (i+ 1>~ Я**’ TPi= —Tj^i

Тр ((+1) ——тф-

199

Остальные грузовые члены в системе уравнений (8.35) равны нулю. Если концевое сечение какого-либо участка разбиения рассчиты­ ваемой балки не совпадает с положением опоры, то неизвестное Z, —О, и из системы уравнений (8.35) должны быть исключены строка и стол­ бец, соответствующие индексу /. В том случае, когда по концам участ­ ка балки нет закреплений, препятствующих закручиванию, также сле­

дует поступить с неизвестным Y

Таким образом, изложенная методика позволяет рассчитывать не­ разрезные криволинейные балки с любой геометрией сечений, радиу­

где a s L

200