книги / Основы математической теории термовязкоупругости

-§ 48. Линейная теория накопления повреждений и меры повреждений

Согласно постулату о тензоре повреждений П в случае (47.15) для компо­ нент П*7можно получить выражения в виде сумм интегралов по времени

дут соответствующие функции влияния (см. § 28). В этих общих представ­ лениях тензора П нет ничего специфического, кроме возможности исполь­ зовать еще частный постулат изотропии, которая существенно упрощает учет нелинейных эффектов.

В первую очередь необходимо построить линейную теорию накопления повреждений, в которой тензор повреждений П может бы;гь представлен в виде суммы тензора повреждений первого рода, обозначаемого Р и воз­ никающего за счет напряжений Оц (т), и тензора повреждений второго ро­

Задача сводится к определению ядер интегральных представлений компо­ нент тензоров Р и Р' типа

*

Ру (0 = 5 %М (*• тОФм(т).

Из известных соображений ядра ф и ф следует считать зависящими от разности аргументов | = I — т, для изотропных материалов имеющих к тому же вид

Если можно пренебречь влиянием моментов р,гу на накопление повреж­ дений, или если, как в случае влияния шероховатости или других кон­ центраторов, моменты возникают за счет краевых эффектов и только в ма­ лых областях тела, определение ядер ф и фх может быть сделано на основа­ нии результатов «опытов на ползучесть» образцов без концентраторов. Прикладывая мгновенно к такому образу напряжения

Предполагая' теперь, что из серии опытов с различными постоянными зна­ чениями о?2 мы знаем зависимость времени разрушения ^8 от напряжения

о'12 и обратную функцию а?2 = (2$), мы из (48.10) находим ядро ф (г) с точностью до постоянного множителя. Аналогично из опыта на всесторон­ нее равномерное растяжение по данной зависимости времени разрушения 10 от постоянного напряжения а0 или обратной функции д° = д5а (и) най­ дем ядро фх (г). Этот теоретически простой опыт приведен лишь для выяс­ нения смысла ядра фх. Фактически это можно сделать, например, на осно­ вании опыта на растяжение цилиндрического образца. В этом случае

из мер повреждения.

Примерами двух простейших мер, характеризующих для одного и того же материала два возможных вида накопления повреждений, являются ал­ гебраически наибольшее главное значение компонент тензора П, напри­

мер Рх (Рх ^ Ръ > Рз)> и наибольшая разность двух главных компонент Рх — Рз> соответствующие разрушениям от отрыва и сдвига

Различные другие варианты мер повреждений можно построить на ос­ нове известных критериев прочности первого типа (47.1), формально за­ меняя в них компоненты тензора напряжений ац на р^ с некоторыми мно­ жителями, сохраняющими инвариантность. Например, общий вид квад­ ратичных форм мер повреждений, соответствующих (47.15), будет

Рт , ут — соответствующим образом подобранные на основе опытных дан­ ных константы (одна из трех — несущественная).

Пользуясь произволом масштаба компонент П*у и мер повреждения М т (П), последние можно нормировать. Для определенности и с достаточ­ ной общностью мы далее будем предполагать, что существуют две (в част­ ности, совпадающие) меры повреждения — сдвиговая (индекс 1) и сме­ шанная (индекс 2)

Мг - Мг (П), М2 = М2 (П), (48.19)

нормированные следующим образом.

Из предельного условия Мх (П) = Сг в случае ползучести при чистом

При условии (48.26) тензор повреждений 1-го рода определяется про­ цессом нагружения и единственной функцией 5 Г(2)

С (1 -Р г) ^ . ( т ) + р г5 ^ ( т )

(48.31)

§ 49. Тензор повреждений 2-го рода в линейной теории

Истинные напряжения о (&, / = 1, 2, 3) с большой точностью характе­ ризуют внутренние взаимодействия в твердых телах любой структуры в масштабах, соизмеримых даже с межатомными расстояниями, но опреде­ ление их в неоднородных телах (типа поликристаллических) возмож­ но только для частных случаев (периодического расположения пра­ вильных монокристаллов и т. п.) или при некоторых гипотезах (типа тео­ рии самосогласованного поля). Поэтому вводятся понятия средних напря­ жений и средних моментов различных порядков, которые должны определяться более простыми краевыми задачами для соответствующих моделей тел (однородных квазиизотропных или квазианизотропных с ма­ лыми градиентами параметров анизотропии и неоднородности).

Критерий точности моментной теории — степень эквивалентности си стемы истинных напряжений а^ (г, / = 1 ,2,3) системе а*у, т. е. эквивалентности до степени точности, с которой вторая характеризует первую по некоторому инвариантному критерию. Поскольку накопление повреждений связано с системой аг'у, критерием будет степень соответствия

В качестве критерия точности теории, определяющей в теле систему а*у, можно выбрать степень совпадения главных компонент тензоров Г1^ и П у, или некоторых других их инвариантов в наиболее напряженных

точках или объемах. Прймер б^дет приведен ниже.

Экспериментальное определение яд ерф ,^, ф2, входящих в выражения компонент тензора повреждений 2-го рода, может быть основано на воз­

При этих выражениях Пу находим меры повреждений Мх, М2\ точнее — их максимумы по хк, которые обозначим по-прежнему Мг (П), М 2 (П);

точки максимумов х ^ для каждой из них могут быть различными и, таким образом, (49.3) дают две соответствующих системы Пу, зависящих от I, В рассматриваемом опыте на ползучесть наблюдения покажут, в какой

из точек х^ впервые будут происходить разрушения; пусть это будет

Внося в (49.3) при I = 1\ значение X — Хг и обозначая получающийся при

этом для точки х$ тензор П через] Пх, найдем меру М 2 ( П а), которая, оче­ видно, будет содержать только три функции времени

теперь находим выражение искомого ядра ф (г) через известные функции

ной при р,^ = 0, мы тем самым имеем в виду р,^, возникающие за счет кон­ центраторов типа шероховатости поверхности, надрезов, отверстий и т. п. В общем случае, который мы не рассматриваем, р,^- могут возникать еще за счет неоднородности структуры, и тогда определение ф и ф будет анало­ гичным, но более сложным.

Как и при определении ядер ф, в рассматриваемых опытах желательно осуществить простейшее напряженное состояние. Одним из них является простое растяжение цилиндрического образца, но теперь не гладкого, а имеющего шероховатую поверхность, например, вследствие обточки по данному классу. При этом можно реализовать тензоры напряжения (49.1)

Если опыты дают Лг ({) = 8Г (I), то г|> (I) — 0, т. е. моменты не влияют на меру повреждений и тензор П их не содержит.

. Если влияние является положительным и отклонение Аг от <5> малым

Лг (/) = 5,(0 [1 — е (01,

где I — константа структуры шероховатости поверхности образца, имею­ щая размерность длины, если моменты имеют размерность вторых произ­ водных от напряжений по координатам.

Таким образом, одна из простейших форм выражения тензора повреж­ дений второго рода такова:

Если в опыте на растяжение реализуются условия (49.7) и еще р12 = 0, то из (49.13) получаем точное выражение ядра ф>, совпадающее с (49.14), и потому точное выражение (49.15). Заметим, что функция Аг (^), входящая в ядро (49.15), не является универсальной для различных шероховатостей, т. е. для различных I, а будет, вообще говоря, существенно зависеть от масштаба /.

Представление о величинах ру и оценку Лг(г) можно получить, например, при следующих предположениях. Поверхность растягивае­ мого постоянным средним напряжением ох круглого образца мало отли­ чается от цилиндрической и имеет осевую симметрию; материал является однородным, изотропным и остается упругим до разрушения. Концентра­ ция напряжений за счет неровностей поверхности возникает только в тон­ ком слое и потому определяется решением следующей плоской задачи (обобщенно-плоская деформация) теории упругости для полуплоскости:

на поверхности у = у0 з т ^ , где Ь — длина волны возмущений плоской границы у = 0, у0 — амплитуда возмущений, внешние силы отсутствуют;

такой задачи дает следующие выражения истинных напряжений:

а их значения на плоскостях и= я/2, 5я/2..., причем в качестве компонент тензора моментов (с числовыми индексами), который используется в (49.1); тогда

Из (49.14) получаем постоянную /

< 4 9 1 9 >

Теоретическое значение функции Лг(2) для рассматриваемого типа шеро­ ховатости поверхности получим из критерия эквивалентности тензора повреждения 'П ^, определяемого истинными напряжениями (49.16), и тензора повреждения П^-, определяемого системой средних напряжений Он = сгх, = 0, (г, / Ф 11) и моментов (49.18) на плоскостях и — я/2, 5я/2, ..., причем в качестве меры повреждений М 2 примем главные мак­ симальные компоненты 'Пп и Пп . Для 'Пп , согласно (48.31) и (49.16), имеем в случае ползучести

напряжения а[г — наибольший

Приравнивая выражения 'Пп и Пп при V = у0 в момент разрушения I и полагая по определению (49.4) функции Лг (г)

<31 = ЛГ(0,

находим ядро

Сравнивая это, выражение с (49.14), имеем

Следовательно, тензор повреждений 2гГо рода для рассматриваемого вида шероховатости поверхности изотропного тела можно записать в прос­ тейшей форме

т. е., подобно (48.31), он определяется процессом \1ц (I) и универсальной функцией 5Г(2). При этом определены как вторые частные производ­ ные от истинных напряжений ог^, и потому они обратно пропорциональны I/2, как видно, например, из (48.18). Следовательно, в теории изотропного тела с концентраторами периода Ь моменты Мм можно ввести так, чтобы они имели размерность напряжений и были порядка средних напряжений с некоторым безразмерным коэффициентом концентрации и, зависящим #от структуры концентраторов.

Полагая для таких тел

причем наиболее напряженной является поверхность образца г? = г?0 ж 0. Для процессов, отличных от простой ползучести образца, например, при несимметричных циклах растяжения и изгиба, напряжение аг расчетного волокна будет заданной функцией времени аг (г), и тензоры повреждений

т. е. вполне естественное условие прочного сопротивления.

Для таких материалов тензор повреждений р*7-, очевидно, может быть выражен через деформации формулами, аналогичными (48.30), так что должны иметь место равенства

О5,(<—т)