книги / Основы математической теории термовязкоупругости

напряжений по вертикали, а поэтому все косинусы углов наклона элементов будут также входить в коэффициенты А, В уравнения (4.36). Некоторые из этих коэффициентов могут быть равны нулю, но так как деформации элементов связаны с общей деформацией, то обязательно найдутся коэф­ фициенты А к, В к, отличные от нуля.

Физические соотношения будут по-прежнему записываться в виде (4.23) и их будет N + М. Для 2 (М + АО + 2 величин 8ь (Гь в*,

в], е и а мы имеем всего Ь + 5 + М + N структурных и физических соотношений. Так как система связная, то должно существовать одно со­ отношение между внешними параметрами а и е, т. е. число соотношений должно быть на одно меньше, чем число искомых величин. Следовательно,

МN

Соотношения (4.38) представляют собой разрешающую систему уравне­ ний; она по физическому смыслу должна быть совместной. Другими сло­ вами, ранг матрицы системы должен быть равен рангу расширенной мат­ рицы. Изобразим эти матрицы (рис. 15): первая группа системы (4.38) изображена в верхней части рисунка, причем о считается неизвестной, и поэтому член В ка перенесен в левую часть. Расширенная матрица изо­ бражена пунктирной линией. Заштрихованная часть матрицы содержит в качестве множителя оператор й. Систему (4.38) можно свести к уравнению

= Ш1п {Ь, М + 1}. Таким образом, порядок оператора Рравен илинаеди­ ницу больше порядка оператора Р, как бы ни была составлена модель из.

Как следует из анализа различных моделей, коэффициенты структур­ ных соотношений (4.36) связаны с геометрией расположения элементов относительно ограничивающих макроэлемент плоскостей. Ядра ползучех сти и релаксации для реальных материалов в изотермических процессаявляются монотонными функциями времени. Если бы среди корней мно­ гочлена Р или (4.41) были комплексные, возникали бы недопустимые свойства ядер. Следовательно, общие свойства коэффициентов структур­ ных соотношений таковы, что все корни многочленов Р, действительны, к тому же по свойству ядер они отрицательны. Связных моделей из вязкоупругих элементов, для которых Р (Я), (X) имели бы комплексные кор­ ни, построить невозможно.

Переходя к пространственным изотропным моделям вязко-упругого* тела, составленным из пружин и поршней с линейными свойствами, мы для области малых деформаций кубического макрообъема должны будем повторить рассуждения, проведенные выше, для каждой пары параллель­ ных плоскостей, а затем еще рассмотреть относительный сдвиг пары параллельных плоскостей без их удаления. Очевидно, что девиатор на­ пряжений $ц будет связан только с девиатором деформаций е а гидро­ статическое напряжение а — с деформацией объема 0, причем вид связей (4.39) для тех и других сохраняется. Пусть для изотропной среды девиаторы тензоров напряжения и деформации связаны зависимостью

Отсюда для одномерного случая, т. е. для случая, когда только одна со­ ставляющая тензора напряжения, например ап , отлична от нуля, из (4.46) и (4.47) имеем [19]

Следовательно, если шаровые части (4.47) связаны идеально упруго* то дифференциальные операторы, стоящие при <уп и еп в выражении (4.48), имеют одинаковый порядок и в выражении ядра (4.45) для этого^случая

сг — 0.

Соотношения (4.46), (4.47), как и в одномерном случае, приводятся к виду

причем оба ядра будут выражаться суммой экспонент и иметь нерегуляр­ ности типа б-функции.

§ 5. Зависимость вязкости от температуры, температурно-временная аналогия и экспресс-методы испытаний

Модель вязко-упругого тела в виде совокупности упругих и вязких эле­ ментов, как уже доказано, приводит к тем же общим соотношениям меж­ ду напряжениями — деформациями — временем, что и функциональный метод, и это важное свойство свидетельствует о полноте модели. После­ довательно рассматривая модель, можно получить многие дополнитель­

Предполагаем, что вязкие элементы модели вязко-упругого тела одно­ типны, т. е. коэффициент вязкости цт некоторого т-то элемента при тем­ пературе Т имеет выражение

элементов модели данного тела, а ц™ от температуры не зависит.

Как уже отмечалось ранее, сопротивление некоторого вязкого элемен­ та модели характеризуется оператором р,т й/Л, действующим на соответ­ ствующую деформацию, т. е.

соответствующим экзотермическим оператором. Формально они отличают­ ся только обозначением времени (Ь заменено на ^'). Следовательно, все со­ отношения, полученные ранее для изотермических процессов, сохраняют­ ся для неизотермических, если в них истинное время I заменить на при­ веденное I9 (5.5). В каждом малом элементе тела температура Т будет не­ которой функцией времени I и значит, согласно (5.5), приведенные време­

жениями, деформациями и приведенным (5.5) временем для изотермиче­ ских и неизотермических процессов нагружения макроэлемента тела тождественно совпадают; температура и время имеют взаимозаменяемое влияние на указанные соотношения в том смысле, что в них входит лишь комбинация «время — температура» 1Г (5.5).

Для оценки вкладов в приведенное время I’, вносимых истинным вре­ менем I и температурой Т, воспользуемся аппроксимационными формула­ ми (5.1), (5.2). Из сопоставления их с (5.3) находим соответственно

ат— Л0еЬо/г; ат = Аеь,^т~сК

Нормируя эти выражения так, чтобы при характерной постоянной для данной модели температуре Т = Т8 = сопзЬ приведенное время совпада­ ло с истинным, т. е. чтобы

где п21 — показатель порядка ускорения времени за счет повышения тем­ пературы, имеющий значение, согласно (5.8'),

ни п21 порядка 3 — 4.

Вытекающая из температурно-временной аналогии особенность в по­ ведении модели вязко-упругого тела существенно ускоряет процессы пол­ зучести — релаксации при повышенных температурах,— дает основание к использованию экспресс-методов испытаний их термомеханических свойств и вообще ускоренного моделирования поведения тел под действи­ ем нагрузок.

Связь между напряжениями — деформациями — временем — тем­ пературой на основании (Т — ^-аналогии получается из (2.43) — (2.46) заменой времен I на 2', т на т', причем, конечно,

где ат берется для Т (т). Основные прямые соотношения

V

=О йеи (т'),

а= § Й! (*' — т') й0 (т')

О

иобратные соотношения

V

внешне ничем не отличающиеся при различных постоянных и переменных температурах, на самом деле отражают очень сильное влияние температур и существенным образом изменяют понятия одинаковых или эквивалент­ ных процессов деформации и нагружения.

Процесс деформации малого объема тела определяется заданием во времени девиатора е^ (^) и скаляра 0 (г); процесс нагружения — заданием 5н (^) и а (^). Если в двух процессах деформации при одинаковой постоян­ ной температуре функции е^ (2) и 0 (I) одинаковы, то процессы тождест­ венны.

Термо-реологически тождественными будем называть два процесса деформации, протекающих при различных переменных температурах

Тг (1) и Тг ОЬ), если заданные в них девиаторы е^, е$ и скаляры 0Ф, 0<2>

являются соответственно одинаковыми функциями приведенных времен

т. е. совпадают между собой при соответствующих значениях истинного времени I — и I — г2, определяемых равенствами

Из (5.12) следует, во-первых, что для термо-реологически тождествен­ ных процессов деформации напряженные состояния в соответствующие моменты времени одинаковы; и, во-вторых, что каждому данному изотер­ мическому процессу деформации соответствует бесконечное множество термо-реологически тождественных неизотермических процессов дефор­ мации.

Аналогично понятие и свойства термо-реологически тождественных процессов нагружения элемента. Пусть, например, дан изотермический процесс простого нагружения (при температуре Тг)

Если функции Ях, Я2 удовлетворяют условию

для любого ^2, то процессы будут реологически тождественными. Напри­ мер, два изотермических процесса простого нагружения реологически тождественны, если

т. е. в постоянном отношении ат2!атхизменен масштаб времени нагруже­ ния.

Свойство вязко-упругой модели тела, выражаемое температурно-вре- меннбй аналогией, постулируется как принцип температурно-времен­ ной эквивалентности полимеров для практически важного диапазона из­ менения температур, соответствующего высокоэластическому состоянию*

Рис. 16.

Экспериментальное определение ко­ эффициента температурного смеще­ ния

Ряд авторов [22] приходит к выражению коэффициента температурного смещения ат в виде (5.8) на основании экспериментов. Этот коэффициент может быть найден из многих изотермических опытов при различных тем­ пературах. Например, из опытов на ползучесть можно построить серию кривых ползучести

отложив по оси абсцисс 1§ I (рис. 16). Если при параллельном переносе кривых П при различных Т вдоль оси 1§ I их можно слить в одну кривую, значит они отличаются только масштабом времени, т. е. (5.20) можно за­ писать в виде

Значит ат в (5.12), (5.13) и т. д.— коэффициент преобразования серии

Правильность принципа (Т — ^-эквивалентности (его степень точно­ сти) проверяется, следовательно, степенью точности совмещения кривых (5.20) при горизонтальном переносе их к какой-нибудь одной.

В работе [22] утверждается достаточная точность принципа (Т — 2)- эквивалентности для полимеров, причем в качестве первого приближения рекомендуется формула (5.8), в которой коэффициенты

—1§ ат ,ат и показателя (5.11) от температуры (принимая Тг= Т& = 250):