книги / Основы математической теории термовязкоупругости

Для р 1/2 может быть использован опыт на ползучесть по второй схеме (б) рис. 17 или опыт на ползучесть по схеме рис. 18, когда измеря­ ется движение точки последовательно соединенных образца и пружины, внешние концы которых закреплены. Все расчеты вполне аналогичны предыдущему.

§21. Решение некоторых задач линейной теории термовязко-упругости

Если решение упругой задачи можно представить в виде (20.2), то реше­ ние соответствующей вязко-упругой задачи будет задано формулой (20.3),

считать известными, например, из экспериментального определения,

где д!дп — производная по нормали к контуру (см. [37], стр. 246). Поэ­ тому точное решение этой задачи для вязко-упругих материалов соглас­ но (20.3), получается, если в (21.1) произвести замены:

для

*

для V7 р(1 + - ^- ) - >р(<)+2 $я(< — т)^ (т ;).

(21.1)'

2. Поперечный изгиб консольной балки прямоугольного сечения (раз­ меры 2а, 2Ъ) силой р на конце (см. [37], стр. 325); поправка на максималь­ ное касательное напряжение в элементарной теории за счет искривления сечений перерезывающей силой

где / (а/Ь) — число (легко вычисляемое с помощью приведенной на стр. 325 [37] таблицы). Точное решение вязко-упругой задачи

8 ( * ) = Н Ф )-33т {р(*) — §со(г — т)<7р(т)}.

о

3. Изгиб опертой по концам балки длиной 21, узкого прямоугольного поперечного сечения (высоты 2/г, ширины 1) равномерной нагрузкой интенсивности д = р по верхней плоскости (см. [37], стр. 52). Дополни­ тельная кривизна оси Дх = V за счет сжатия волокон, постоянная по длине

О

4. Диск постоянной толщины радиуса Ъ, вращающийся с переменной угловой скоростью (2 при переменной во времени температуре Г. При­ нимая р (г) = рЙ2, 'О'т (0 = За (Т — Т0), где приведенное время I вы­ ражается через истинное I' формулой

получим выражения для тангенциального напряжения /5 = Се и радиаль­ ного перемещения ит= V на контуре г = Ъ (см. [37], стр. 81 с очевидным дополнением)

6. Вращается тонкий кольцевой диск. Сохраняя обозначения преды­ дущего пункта, имеем [37]

9. Сила р приложена в точке бесконечно большого тела вдоль оси г. Обозначим перемещение по оси х их — V', по оси г иг = V" и напряже­ ния ах = *5", а2 = 3 " . Решение упругой задачи имеет вид [27]

Чтобы получить вязко-упругое решение задачи, нужно в формулах (2.10) произвести следующие замены:

где ядро @2 находится по известным ядрам П и ^

10. Круглая пластинка радиуса а, толщины /г, опертая по краю, с наг­ рузкой р , равномерной по кругу радиуса Ь. Напряжения ^ = ог = Ое в центре имеют выражения

11.В шаре радиуса а все частицы взаимно притягивают друг друга,

т.е. на каждую единицу объема шара действует радиальная сила Р =

=—р§т/а, гд е# — ускорение силы тяжести на поверхности шара. В этом

Р и с . 19.

Цилиндрическая толстостенная труба по д внутренним и внешним давлениями

Рис. 20.

Толстостенная труба, окольцованная тонкой оболочкой, под внутренним давлением

В случае плоского деформированного состояния трубы имеем вместо (2.18)

Поэтому

г I

Разберем теперь случай контактных граничных условий. Для этого рассмотрим задачу о трубе, окольцованной с внешней стороны упругой рубашкой (рис. 20) — тонкой оболочкой толщиной /г. Считаем, что тем­ пературное поле Ф задано как функция времени. Будем снабжать вели­ чины, относящиеся к рубашке, штрихом. Условие равновесия рубашки имеет вид

В этом случае величины А и В,’ входящие в решение (21.16), будут иметь вид

Параметр д* = (1 — у'2)Я*Ь/Егк связан с контактными граничными усло­ виями и с точностью до множителя совпадает с введенным ранее 1/у* (17.17). Если объем вязко-упругого материала трубы изменяется упруго, то параметр д* пропорционален параметру со*

Поэтому, согласно формуле (20.3), имеем вязко-упругое решение за­

предполагается еще и неоднородным [39], т. е. температура Т является заданной функцией времени I и координат х (хг)

Предполагая по-прежнему справедливым принцип температурно-времен­ ной эквивалентности, мы теперь должны считать местное приведенное

время

г

Л а Т(гух)

функцией I и х, которая может быть разрешена также относительно I, и потому истинное время I является известной функцией местного времени 1Х и координаты х. Преобразование необходимо только в тех случаях, когда мы должны учитывать влияние температуры на механические свой­ ства тела, т. е. считать заданными и универсальными ядра сдвиговой ре­ лаксации и ползучести в виде функций местного времени

Я = Я (*,), П - П (**); (22.3)

что же касается объемных Яг, П15 то их будем считать либо постоянными, либо зависящими от того же местного времени которое входит в Л, П, хотя в некоторых случаях и могут быть отклонения и необходимо вво­ дить второе местное время.

Заметим, л то если влиянием температуры на механические свойства можно пренебречь, нестациЪнарность и неоднородность температурного поля несущественна, решение находится методами § 19, 20, если Ту» Тз считать линейными функциями (операторами по координатам) заданного поля температур и поступать с этими функциями так же, как с Ру, Р8,

С/у, Ив.

Соотношения (22.2) являются преобразованием переменных I и х к

ных и в этом случае будем снабжать их обозначения волной сверху. Сле­ довательно,

и = и (г, х) = й Цх, 1), Су= <»у (г, х) = бу (1Х\)... (22.5)

Такие же обозначения примем для граничных условий, т. е. заданные силы, перемещения, температуры будем обозначать

*$« = *$’<(*. *) = *?»(**. I). # = «■(г, х) = Ъ{1Х, | ) , . . . (22.6)

Рассмотрим две основные формулировки задач рассматриваемого типа на примере задачи с заданными на границе перемещениями.

Если за независимые переменные принимаем (2, х), то уравнения рав­ новесия, формулы Коши и граничные условия сохраняют обычный про­ стой вид

но сильно усложняются связи напряжений с деформациями, которые в переменных 1Х, | сохраняют обычный простой вид

Если, напротив, за независимые переменные принять (1Х, |), то связи напряжений с деформациями берутся прямо в виде (22.8), но уравнения (22.7) должны быть преобразованы и получаются очень сложными.

Для получения замкнутых систем уравнений в тех и других перемен­ ных рассмотрим функцию

Пусть задана Ъ (I, хг) и преобразования (22.10); для получения (22.8)

т. е. производную 2 выразить через производные 2. Пользуясь тождест­ вами

Соотношения (22.8) записываются теперь в следующем виде в перемен­ ных (*, х г):

Эти соотношения вместе с уравнениями (22.7) представляют замкнутую систему уравнений и краевую задачу в переменных (2, х). Сложность за­ дачи определяется сложностью соотношений (22.14). Ядра интегральных соотношений (22.14)

П{1, х, х) = Л[/(1,х) — /(т, х)], Ях («, Т, х) = /? ![/(г, х) —/ (Т, X)]

теперь уже сложные, неуниверсальные, зависящие от заданного темпе­ ратурного поля:

Преобразование Лапласа — Карсона теперь может оказаться эффектив­ ным только для некоторых специфических методов решения задач, о которых будет сказано ниже. Вообще же подстановка (22.16) в уравнения (22.7), переписываемые в виде

приводит к сложной системе интегродифференциальных уравнений. Ре­ шение этой задачи, довольно громоздкое, возможно методом итераций,

Если за независимые переменные принять (**, |), то связь напряжений с деформациями имеет простой вид (22.8), но уравнения (22.7) или (22.17) необходимо преобразовать к новым переменным. Согласно (22.10), (22.9)