книги / Основы математической теории термовязкоупругости

сацию с образцами, ориентированно вырезаемыми из анизотропного ма­ териала так, как это делается для определения модулей и коэффициен­ тов Пуассона.

Пользуясь соотношениями (13.11) и (13.15), можно найти скалярные ядра тензора ядер ползучести. Например, выделяя сингулярную часть тензора

Коэффициенты, входящие в выражения (13.16), можно определить из динамических экспериментов, замеряя скорости распространения волн различных типов.

§ 14. Тензор теплового расширения

Для того чтобы учесть влияние температуры на напряженное состояние вязко-упругого тела, рассмотрим свободное деформирование этого тела под действием однородного поля температур. Если '0' — разность между температурой в рассматриваемый момент и температурой исходного со­ стояния, то деформация должна быть, очевидно, однородной и все компо­

где а — так называемый тензор теплового расширения. Из его опреде­ ления видно, что он является симметричным тензором второго ранга. Для выявления строения этого тензора обычно пользуются важным по­ стулатом кристаллизаций, который носит название принципа Неймана. Этот принцип формулируется следующим образом.

Элементы симметрии любого физического свойства кристалла должны включать элементы симметрии точечной группы кристалла.

Естественным обобщением этого принципа на квазикристаллические и аморфные тела будет то, что характер симметрии любого физического свойства тела должен зависеть от характера симметрии его строения.

При наложении температурной деформации на механическую в соот­ ношениях между тензорами напряжений и деформаций вместо последних следует поставить сумму

Для ортотропной среды тензорный базис состоит из трех тензоров (13.12).

Поэтому тензор теплового расширения а ^ имеет вид

а связь между напряжениями и деформациями будет выглядеть так:

х

—«гй (*)] + л8(* — х) [833 (т) — а3# (*)]} Ах,

X

Структурная анизотропия. Рассмотрим ш гериал, подобно стеклопла­ стикам составленный из идеально упругого каркаса и изотропной вязкоупругой связки, имеющей известные ядра релаксации Я (г), Яг (г). В та­ ком случае неупругие свойства тела определяются только этими ядрами и поэтому в зависимости от структуры точно или приближенно тензор фун­

кций релаксации Где в (12.10) можно представить в виде

где Где , Где — тензоры-константы структуры, определяемые, как и Г в (12.10), из опытов и обладающие свойствами симметрии (12.5), (12.6);

г (0 = — Д' ({), г, (г) = — К' (0 .

Упрощения (14.10) для частных видов анизотропии в § 13 уже указа­ ны. Например, для ортотропных стеклопластиков будут справедливы со­ отношения (13.15), в которых надо положить для любого к = 1,2, ..., 9:

Более общими граничными условиями будут так называемые «контактные» граничные условия, имеющие следующий вид:

так называемые «контактирующие» силы; х — индекс площадки, причем поверхность 2 состоит из суммы всех таких 2 Х.

Нетрудно видеть, что условия (15.5) и (15.6) являются частным слу­ чаем условия (15.7), когда х принимает значения 1 и 2, причем

Возможны, конечно, и более общие линейные условия, которые будут рассматриваться в конкретных задачах.

В зависимости от влияния температурного поля на степень сложности возникающих математических трудностей основные задачи линейной тео­ рии термовязко-упругости можно разделить на три типа по степени возра­ стания сложности:

1.Задачи, в которых можно пренебречь изменением механических свойств материала (эти свойства считаются определенными заданием ядер ползучести и релаксации) за счет изменения температур.

2.Задачи, в которых учитывается влияние температуры на механиче­ ские свойства тел, причем температурное поле в теле является нестационар­ ным (меняющимся во времени), но однородным (не зависящим от коорди­ нат).

3.Задачи, в которых также учитывается существенное влияние тем­

Прежде всего займемся рассмотрением задач первого типа, уравнения связи между напряжениями и деформациями для которых, согласно пре­ дыдущему, можно представить в виде

Соотношения (15.8) и (15.9) можно обратить, т. е. выразить деформации

Температура Ф входит линейно и только в соотношения, связывающие шаровые части тензоров напряжений и деформаций, но не входит в соот­ ношения, связывающие девиаторы и ец, что характерно для изотроп­ ных тел в задачах первого типа.

§ 16. Преобразование Лапласа —Карсона

Для решения задач первого и второго типов линейной теории используем преобразование Лапласа — Карсона [26] и предпосылки метода аппрок­ симаций [28], [35]. Это преобразование заключается в том, что всякой функции / (I), определенной на интервале 0 ^ I < оо и называемой в дальнейшем оригиналом, ставится в соответствие функция /* (р) комп­ лексной переменной р по следующему закону:

причем интегрирование ведется в комплексной плоскости вдоль вертикаль­ ной прямой с асбциссой о.

При решении частных задач более эффективным оказывается преобра­ зование (16.1) с действительным параметром р; для нахождения оригина­ лов ниже будет указан более простой метод, не требующий проебразования Мелина.

Пусть имеется характерное для теории вязко-упругости соотношение

От левой и правой частей соотношения (16.3) возьмем интеграл вида (16.1). Получим соотношение в изображениях

ооI

Ф* (Р) = Р$ ерШ ^/(* — О (О*

Оо

Поменяв местами порядок интегрирования в соотношениях (в предполо­ жении, что функции / и д допускают такую замену) и вводя новую пере­ менную под знаком интеграла х — I — т, получим

ОО оо оо оо

Принимая, что при I — 0 функция § равна нулю, получаем изображение (16.3)

Этим результатом, известным в литературе, как теорема свертывания, мы будем часто пользоваться в дальнейшем.

Применим формулы (16.3) и (16.4) к соотношениям (15.8) — (15.11). Получим в изображениях связь напряжений с деформациями

*Ь (р ) = •к * (р) еЬ (р )> а* (р) = Я* (р) [0* (р) — Зад* (р)],

еЬ (р) = П » зЬ (р),

Из последних соотношений видно, что между ядрами П (2) и Пх (2), с од­ ной стороны, и ядрами Я (2) и (г), с другой — в изображениях имеет­ ся простая связь

Я> Ср) П* (р) = 1,

Это обстоятельство означает, что на соотношения (16.5) можно смотреть, как на уравнения, связывающие напряжения и деформации в линейной обычной теории упругости, где величине Я*(р) соответствует в линей­

ной теории упругости удвоенный модуль сдвига 26?, а величине Яг (р) — модуль всестороннего сжатия К. Чтобы сделать аналогию более полной, будем наряду с уже введенными обозначениями применять также следую­ щие:

Звездочки над модулями здесь означают, что в оригиналах этим модулям соответствуют интегральные операторы по времени типа свертки. Имея в виду это обстоятельство, можно формально вводить различные операторы, например,

так, что этим операторам в линейной упругости соответствуют коэффициент Пуассона, коэффициенты Ламе и модуль Юнга.

Отметим важную особенность оператора Пуассона V*. В случае, если оператор Пуассона есть число V* = V , то, как видно из (16.8), операторы

Я* и Яг подобны и их отношение представляет собой число