книги / Основы математической теории термовязкоупругости

$ = Г ц б / + Гхг-Ое + Г21е2/ + Г22* / Ч* Г «0/> . Ч

Ч Г3183/ Ч~ Г320 * / Ч Г3302.Ое Ч 1 мвВг Ч

ЧГ4х84/ вЧ“ Г*42020/ Ч Г43е2/ Ч Г*4403-Ое Ч Г^О&ОеЧ

ЧГб18б/ Ч Гб203в / Ч* Гб30в2/ Ч Г5404,Ое Ч Гб502^Ое Ч Гбб^^е Ч

Для случая несжимаемой среды справедливо условие (38.1), причем связь между напряжениями и деформациями устанавливается с точностью до функции давления р (38.3). Поэтому из (38.18) следует, что в этом слу­ чае справедливы соотношения (38.6). Все остальные ядра К пт (г, т;х, . . ., тп), входящие в соотношения (38.18) — (38.20), будут отличны от нуля. Поэтому соотношения связи между напряжениями и деформациями квази­ линейной теории вязко-упругости без выполнения условий взаимности для несжимаемой среды будут иметь вид

ОО V

Для того чтобы обратить соотношения (38.23), воспользуемся методом, из­ ложенным в § 34.

Оператор О (5*), входящий в выражение (34.38), представляет собой правую часть (38.23), т. е. является скалярным оператором от /)0, завися­ щим от функции давления р, как от параметра. Применяя схему последо­

вательных приближений, считая известным линейный оператор Г1Х, резоль­ вентный по отношению к линейному оператору Ахх, получим

СО V

причем нелинейные резольвентные ядра релаксации Гпт (2, тх, . . ., тп) находятся по известным нелинейным ядрам ползучести

§ 39. Главные теории вязко-упругости несжимаемой среды

Нелинейные ядра релаксации Гп (*, т*, . . т;п) и ползучести К п (г, тх,...

. . . , тп), входящие в соотношение (38.9) и (38.13) квазилинейной теории вязко-упругости для несжимаемых материалов, могут иметь сингулярные составляющие в виде 6-функций, что нетрудно установить на основе тех же рассуждений, какие были использованы при выводе соотношений § 30. Поэтому эти нелинейные ядра могут быть представлены в виде (30.6)

ется только главная часть ядер ползучести (39.2), назовем главной квази­ линейной теорией ползучести для несжимаемой среды. Теорию, основные соотношения которой имеют вид (38.13) и в которых учитывается только главная часть ядер релаксации, назовем главной квазилинейной теорией релаксации для несжимаемой среды.

большое число. Учитывая это обстоятельство, а также симметрию ядер

х) Некоторые теоремы, касающиеся получения соотношений (39.3), даны в [85].

для несжимаемых сред будут иметь вид

ооX

Соотношения главной квазилинейной теории релаксации с мгновенной ли­ нейной упругостью для несжимаемых материалов таковы:

ооX

вязко-упругости, приведенные в § 36, остаются справедливыми и для соот­ ношений этого параграфа.

Если отказаться от выполнения условий совместности и определить главную квазилинейную теорию вязко-упругости на основе уравнений (38.23) и (38.24), то соотношения главной квазилинейной теории ползуче­ сти для несжимаемой среды без учета условий взаимности будут иметь вид

а соотношения главной квазилинейной теории релаксации для несжимае­ мой среды без учета условий взаимности будут таковы:

Если материал ведет себя как линейно-упругий при мгновенном нагру­ жении, то уравнения (39.12) превратятся в

х

еа (0 = (1/2 (*) 8ц(0 + ^ К (^ — т) 8ц (т) йх

о

х

О

Общие методы решения задач нелинейной теории термовязко-упругости

§40. Температурно-временная аналогия

иэкспериментальное определение ядер

Воснове температурно-временной аналогии, установленной в § 5, лежат свойства моделей вязко-упругого тела: сильной зависимости коэффициен­ та вязкости р от температуры Т и слабой зависимости от Т упругих харак­

теристик. При этом предположение о линейности системы (ап = р Лёп) яв­ ляется несущественным. В случае нелинейной модели зависимость напря­

жения ап в п-м вязком элементе от скорости его деформации еп, в соответ­ ствии с теорией размерности, должна иметь вид

т. е. при еп должен существовать множитель, по размерности содержащий время. Если природа вязкости всех вязких элементов одинакова, то все р п должны одинаковым образом зависеть от температуры Г, а функция / для всех элементов должна быть одинакова. Следовательно, вводя «мест­

ное» время

г

где М'п — константа, т. е. получим соотношение нелинейной изотермичекой модели. Таким образом, влияние температуры на свойства линейных и нелинейных систем одинаково и сводится к замене во всех изотермиче­ ских соотношениях (главы VII, V III, IX) истинного времени I на «местное» время I9 согласно (40.2). Например, в соотношениях (29.3) должны быть

В результате все рассмотренные выше соотношения нелинейной теории вязко-упругости формально не изменятся, ибо их вид останется прежним и только входящие в эти соотношения буквы г, т^, . . ., тп, обозначающие физические времена, заменяются на штрихованные буквы 2', х[, . . ., Тп, обозначающие приведенные времена. Это относится как к общим нелиней­ ным соотношениям вязко-упругости (28.3), так и к соотношениям квазили­ нейной (31.11), кубичной (31.14), квадратичной по девиаторам (32.15), (32.16) и др. теории вязко-упругости.

При решении задач теории вязко-упругости, как и в линейном случае, трудности, возникающие в связи с переменной температурой тела, су­ щественно зависят от того, является ли температура тела функцией только времени или времени и координат. В первом случае из температурно-вре­ менной аналогии следует, что задача сводится к изотермической и никаких дополнительных трудностей не возникает. Все изменение изотермического решения состоит только в том, что если внешние нагрузки и перемещения заданы как функции истинного времени I, их нужно преобразовать к функ­ циям от I' согласно (40.2) и для этих функций построить изотермическое решение. Во втором случае сохраняются все существенные трудности, от­ меченные в линейной теории (гл. V). Все методы последовательных прибли­ жений для решения задач нелинейной вязко-упругости основаны на пред­ положении, что соответствующая линейная задача решена. В пятой главе были изложены некоторые методы для решения разного рода задач линей­ ной теории термовязко-упругости, в том числе и задач, в которых темпе­ ратурное поле является нестационарным и неоднородным. Поэтому в этой главе будет предполагаться, что линейная задача термовязко-упругости решена.

Рассмотрим вопрос об экспериментальном определении ядер некоторых теорий нелинейной вязко-упругости.

Набор простейших экспериментов на ползучесть позволяет полностью определить линейные и нелинейные ядра, входящие в основные соотноше­ ния (32.15) и (32.16) главной квадратичной по девиаторам теории ползуче­

где к (I) — единичная функция Хевисайда, определенная в первой главе. При заданных напряжениях в виде (40.5) мы получим некоторую экспери­ ментальную кривую

При малых а0второеслагаемое в (40.6) пренебрежимо мало по сравнению с первым. Поэтому, находясь в области линейной вязко-упругости, мы по­

Для больших а0 при известной П (0 получим функцию сдвиговой ползу­ чести для нелинейной теории. Подставляя (32.15) и (32.16) в (40.6) и ис­ пользуя (40.5), получим

откуда

2. Ползучесть при объемном сжатии. Этот эксперимент является слу­ чаем предыдущего при 8^ = 0. Для малых сг0 определяем линейное ядро Пх (г), а при больших сг0—функцию объемной ползучести Рг {I) через наблю­ даемую экспериментально функцию срао {I)

В камере высокого давления можно создавать только отрицательные сг0. Эксперимент с положительными а0трудно реализуем. Однако для поло­ жительных а0 можно воспользоваться следующим экспериментом.

3. Ползучесть при простом растяжении. Для осуществления такого эксперимента нужно создать в образце однородное напряженное состоя­

ние, при котором ап == к ($), а все остальные составляющие тензора напряжений равны нулю.

Тогда имеем

0(0 = аи (I) = <ЗцЬ(г),

Из опыта 1 нам известно ядро П (2). Замеряя наблюдаемую эксперимен­ тальную величину

+ 4- [Р. (<*°, *) - р, (0°, 0)1 - 4 [Рх (о», 0 - Р, (о», 0)1.