книги / Основы научных исследований

в табличной форме, иногда не позволяют достаточно на­ глядно характеризовать закономерности изучаемых про­ цессов. Графическое изображение дает наиболее нагляд­ ное представление о результатах эксперимента, позволя­ ет лучше понять физическую сущность исследуемого процесса, выявить общий характер функциональной за­ висимости изучаемых переменных величин, установить наличие максимума или минимума функции.

Для графического изображения результатов измере­ ний (наблюдений), как правило, применяют с ис т е му

необходимо знать ход (течение) исследуемого явления. Как правило, качественные закономерности и форма графика экспериментатору ориентировочно известны из теоретических исследований.

Точки на графике необходимо соединять плавной линией так, чтобы она по возможности проходила ближе ко всем экспериментальным точкам. Если соединить точки прямыми отрезками, то получим ломаную кривую. Она характеризует изменение функции по данным экс­ перимента. Обычно функции имеют плавный характер. Поэтому при графическом изображении результатов из­ мерений следует проводить между точками плавные кри­ вые. Резкое искривление графика объясняется погреш­ ностями измерений. Если бы эксперимент повторили с применением средств измерений более высокой точности, то получили бы меньшие погрешности, а ло­ маная кривая больше бы соответствовала плавной кри­ вой.

Однако могут быть и исключения, так как иногда ис­ следуются явления, для которых в определенных интер­ валах наблюдается быстрое скачкообразное изменение

291

одной из координат (рис. 1 0 .2 , 6 ). Это объясняется сущ­ ностью физико-химических процессов, например фазо­ выми превращениями влаги, радиоактивным распадом атомов в процессе исследования радиоактивности и т. д. В таких случаях необходимо особо тщательно соединять точки кривой. Общее «осреднение» всех точек плавной

кривой может привести к тому, что скачок функции под­ меняется погрешностями измерений.

Иногда при построении графика одна-две точки рез­ ко удаляются от кривой. В таких случаях вначале сле­ дует проанализировать физическую сущность явления, и если нет основания полагать наличие скачка функции, то такое резкое отклонение можно объяснить грубой ошибкой или промахом. Это может возникнуть тогда, когда данные измерений предварительно не исследова­ лись на наличие грубых ошибок измерений. В таких слу­ чаях необходимо повторить измерение в диапазоне рез­ кого отклонения данных замера. Если прежнее измере­ ние оказалось ошибочным, то на график наносят новую

292

точку. Если же повторные измерения дадут прежнее зна­ чение, необходимо к этому интервалу кривой отнестись особенно внимательно и тщательно проанализировать физическую сущность явления.

Часто при графическом изображении результатов экспериментов приходится иметь дело с тремя перемен­ ными b= f(x, y?z). В этом случае применяют метод раз­

довательных значений. Для двух остальных переменных х н у строят графики y= f\(x) при z,— const. В резуль­ тате на одном графике получают семейство кривых у — =fi(x) для различных значений z (рис. 10.2,в). Если необходимо графически изобразить функцию с четырьмя переменными и более a= f(b, х, у, г), то строят серию типа предыдущих, но каждый'из них при b\,...,bn = const

тщательности, большого внимания к результатам изме­ рений. Однако он в большинстве случаев является наи­ более простым и наглядным.

При графическом изображении результатовэкспери­ ментов большую роль играет выбор системы координат или координатой сетки. К о о р д и н а т н ы е с е т к и бывают равномерными и неравномерными. У равномер­ ных координатных сеток ординаты и абсциссы имеют равномерную шкалу. Например, в системе прямоуголь­ ных координат длина откладываемых единичных отрез­ ков на обеих осях одинаковая.

Из неравномерных координатных сеток наиболее распространены полулогарифмические, логарифмиче­ ские, вероятностные. Полулогарифмическая сетка имеет

ностная— ординату обычно равномерную и по абсцис­ се— вероятностную шкалу (рис. 10.3,в).

Назначение неравномерных сеток различное. В боль­ шинстве случаев их применяют для более наглядного изображения функций. Функция y= f(x ) имеет различ­ ную форму при различных сетках. Так, многие криво­

293

...0 , 2 мм. Это следует иметь в виду при вычерчивании расчетных графиков. Таким образом, абсолютная ошиб­ ка снимаемых с графиков величин может достигать е= = ± 0 , 2 М, где М — принятый масштаб графика. Оче­ видно, что точность измерений может быть выше точно­ сти снимаемых с графика величин.

Масштаб по координатным осям обычно применяют различный. От выбора его зависит форма графика —он может быть плоским (узким) или вытянутым (широким) вдоль оси (рис. 10.4). Узкие графики дают большую по­ грешность по оси у\ широкие — по оси х. Из рисунка видно, что пра­ вильно подобранный масштаб (нормальный график) позволяет существенно повысить точность отсчетов. Расчетные графики, имеющие (минимум) функции или какой-либо сложный вид, особо тщательно необходимо вы­ черчивать в зонах изгиба. На та­ ких участках количество точек

пределах измерения величин. Номограммы могут отра? жать алгебраические выражения и тогда сложные мате­ матические выражения можно решать сравнительно про­ сто графическими методами. Построение номограмм — операция трудоемкая. Однако, будучи раз построенной, номограмма может быть использована для нахождения любой из переменных, входящих в номограммированное уравнение. Применение ЭВМ существенно снижает тру­ доемкость номограммирования. Существует несколько ме­ тодов построения номограмм. Для этого применяют рав­

шинстве случаев имеют криволинейную форму. Это уве­ личивает трудоемкость построения номограмм, поскольку требуется большое количество точек для нанесения од­ ной кривой.

295

В полуили логарифмических координатных сетках функции часто имеют прямолинейную форму и составле­ ние номограмм упрощается.

Методика построения номограмм функции одной пе­ ременной y = f{x ) или многих y = f( x 1, Хъ ..., хп) сводит­ ся к построению кривых или их семейств путем принятия постоянными отдельных переменных. Сложные алгебра­ ические выражения целесообразно сводить к простому произведению двух-трех значений, например d — abc, где а,Ь,с — функции двух или трех переменных. В этом слу­ чае необходимо вначале, задавшись переменными, вы­ числить а, Ь, с. Далее, придавая им постоянные значения, найти d. Величины а, Ь, с необходимо варьировать в оп­ ределенных значениях, например от 0 до 100 через 5 или 10. Наиболее эффективным является такой способ по­ строения номограмм, при котором а, Ь, с представляются как безразмерные критерии.

10.3. Методы подбора эмпирических формул

Впроцессе экспериментальных исследований получается статистический ряд измерений двух величин, когда каж­ дому значению функции у\, г/г, ..., уп соответствует опре­ деленное значение аргумента хи *2 , .., х„.

На основе экспериментальных данных можно подоб­

рать алгебраические выражения функции

которые называют эмпирическими формулами. Такие формулы подбираются лишь в пределах измеренных значений аргумента х х—хп и имеют тем большую цен­ ность, чем больше соответствуют результатам экспери­ мента.

Необходимость в подборе эмпирических формул воз­ никает во многих случаях. Так, если аналитическое вы­ ражение (10.25) сложное, требует громоздких вычисле­ ний, составления программ для ЭВМ или вообще не имеет аналитического выражения, то эффективнее пользо­ ваться упрощенной приближенной эмпирической форму­ лой.

Эмпирические формулы должны быть по возможно­ сти наиболее простыми и точно соответствовать экспери­ ментальным данным в пределах изменения аргумента. Таким образом, эмпирические формулы являются при­ ближенными выражениями аналитических формул. За­ мену точных аналитических выражений приближенны-

IS6

ми, более простыми называют аппроксимацией, а функ­ ции — аппроксимирующими.

Процесс подбора эмпирических формул состоит из двух этапов.

I этап. Данные измерений наносят на сетку прямо­ угольных координат, соединяют экспериментальные точ­ ки плавной кривой и выбирают ориентировочно вид фор­ мулы.

II э т а п. Вычисляют параметры формул, которые наи­ лучшим образом соответствовали бы принятой форму­ ле. Подбор эмпирических формул необходимо начинать с самых простых выражений. Так, например, результаты измерений многих явлений и процессов аппроксимируют­ ся простейшими эмпирическими уравнениями типа

где а, Ъ— постоянные коэффициенты. Поэтому при ана­ лизе графического материала необходимо по возможно­ сти стремиться к использованию линейной функции. Для этого применяют метод выравнивания, заключающийся в том, что кривую, построенную по экспериментальным точкам, представляют линейной функцией.

Для преобразования некоторой кривой (10.25) в пря­ мую линию вводят новые переменные:

В искомом уравнении они должны быть связаны ли­ нейной зависимостью

297

расчета необходимо точки У/ и Xi принимать на край­ них участках прямой.

Для определения параметров прямой можно приме­ нить также другой графический метод. В уравнение (10.28) подставляют координаты двух крайних точек, взятых с графика. Получают систему двух уравнений, из которых вычисляют а и Ь. После установления парамет­ ров а и b получают эмпирическую формулу (10.26), ко­ торая связывает У и X, позволяет установить функцио­ нальную связь между х и у и эмпирическую зависимость (10.25) .

Линеаризацию кривых можно легко осуществить на полуили логарифмических координатных сетках, кото­ рые сравнительно широко применяют при графическом

(10.26) . Выбираем координаты крайних точек и подстав­ ляем в (10.26). Тогда /40+7Л i=54,0; Ло+Л1 = 12,1, от­

жет быть применен в тех случаях, когда эксперименталь­ ная кривая на сетке прямоугольных координат имеет вид плавной кривой. Так, если экспериментальный гра­ фик имеет вид, показанный на рис. 10.6, а, то необходимо применить формулу

Заменяя X = lg x и y=lg«/, получим Y=\ga-\-bX. Пря этом экспериментальная кривая превращается в прямую линию на логарифмической сетке. Если эксперименталь. ный график имеет вид, показанный на рис. 10.6,6, то це­ лесообразно использовать выражение

При замене y = lg i/ получим Y=lga-\-bx\ge. Здесь экс­

298

полулогарифмической сетке:

Г = Iga + bx\gc,

где с предварительно определено с помощью формулы (10.32). В этом случае х3 =0,5 (JCI+.V2 ) -

Если экспериментальный график имеет вид, пред­ ставленный на рис. 10.6,5, то применяется выражение

путем замены y — \/z можно придать вид z=a-\-bx-\-cx2.

lg а = р ; n \g e= q , m \g e = r получается зависимость z = p + qx + rx2.

С помощью приведенных на рис. 10.6 графиков и вы­ ражений (10.29)... (10.36) можно практически всегда по­ добрать уравнение эмпирической формулы.

Пусть, например, необходимо подобрать эмпиричес­ кую формулу для следующих измерений:

+bx lge, т. e. в полулогарифмических координатах выра­ жение для У представляет собой прямую линию (рис. 10.7,6). Подстановка в уравнение координат крайних то­ чек дает lg 15,2= lg a -f 6 lge и lg 117,5=lga-j-4,5 b lge.

300