книги / Основы научных исследований

Для проведения опытов с заданной точностью и досто­ верностью необходимо знать то количество измерений, при котором экспериментатор уверен в положитель­ ном исходе. В связи с этим одной из первоочередных задач при статических методах оценки является уста­ новление минимального, но достаточного числа изме­ рений для данных условий. Задача сводится к уста­ новлению минимального объема выборки (числа изме­ рений) Nmin при заданных значениях доверительного интервала 2ц и доверительной вероятности. При выпол­ нении измерений необходимо знать их точность:

тичного отклонения сг, равное oo=o/V~n.

Значение оо часто называют средней ошибкой. Дове­ рительный интервал ошибки измерения А определяется аналогично для измерений р=/(То. С помощью t легко определить доверительную вероятность ошибки измере­ ний из табл. 10.1.

В исследованиях часто по заданной точности А и до­ верительной вероятности измерения определяют мини­ мальное количество измерений, гарантирующих требуе­ мые значения А и рд.

Аналогично уравнению (10.3) с учетом (10.5) можно

А — точность измерений, %.

Для определения JVmin может быть принята такая по­ следовательность вычислений: 1) проводится предвари­ тельный эксперимент с количеством измерений п, кото­ рое составляет в зависимости от трудоемкости опыта от 20 до 50; 2) вычисляется среднеквадратичное отклоне­ ние о по формуле (10:1); 3) в соответствии с поставлен­ ными задачами эксперимента устанавливается требуе­ мая точность измерений А, которая не должна превышать точности прибора; 4) устанавливается нор­ мированное отклонение t, значение которого обычно за­ дается (зависит также от точности метода); 5) по фор­ муле (10.7) определяют Nmin и тогда в дальнейшем

281

впроцессе эксперимента число измерений не должно быть меньше JV m in.

Пусть, например, при приемке сооружений комиссия

вкачестве одного из параметров замеряет их ширину. Согласно инструкции требуется выполнять 25 измере­ ний; допускаемое отклонение параметра ±0,1 м. Если

предварительно вычисленное значение о = 0,4м, то мож­ но определить, с какой достоверностью комиссия оцени­ вает данный параметр.

ветствии с табл. 10.1 доверительная вероятность для t=

что значительно превышает ус­ тановленные 25 измерений,

иценки измерении с помощью сг и сто по приведенным методам справедливы при п > 30. Для нахождения гра­ ницы доверительного интервала при малых значениях применяют метод, предложенный в 1908 г. английским математиком В. С. Госсетом (псевдоним Стьюдент). Кривые распределения Стьюдента в случае п-*~оо (прак­ тически при я>20) переходят в кривые нормального рас­ пределения (рис. 10.1).

Для малой выборки доверительный интервал

роятности рд.

282

Зная Цст. можно вычислить действительное значение изучаемой величины для малой выборки

Возможна и иная постановка задачи. По л известных измерений малой выборки необходимо определить довери­ тельную вероятность рл при условии, что погрешность среднего значения не выйдет за пределы ±p.CT. Задачу решают в такой последовательности: вначале вычисля­

ется среднее значение х, оо и а Ст=м.ст/ао. С помощью величины <хст, известного л и табл. 10.2 определяют до­ верительную вероятность.

В процессе обработки экспериментальных данных сле­ дует исключать грубые ошибки ряда. Появление этих ошибок вполне вероятно, а наличие их ощутимо влияет на результат измерений. Однако прежде чем исключить то или иное измерение, необходимо убедиться, что это действительно грубая ошибка, а не отклонение вследст­ вие статистического разброса. Известно несколько ме­ тодов определения грубых ошибок статистического ряда. Наиболее простым способом исключения из ряда резко выделяющегося измерения является правило трех сигм: разброс случайных величин от среднего значения не дол­ жен превышать

Более достоверными являются методы, базируемые на использовании доверительного интервала. Пусть име­ ется статистический ряд малой выборки, подчиняющий­ ся закону нормального распределения. При наличии грубых ошибок критерии их появления вычисляются по

где Xmax, xmin — наибольшее и наименьшее значения из

лизмерений.

Втабл. 10.3 приведены в зависимости от доверитель­ ной вероятности максимальные значения Ртах, возника­

ющие вследствие статистического разброса. Если р |> > р т а х , то значение хтах необходимо исключать из ста­ тистического ряда как грубую погрешность. При Рг< <Р шах исключается величина xmin. •После исключения грубых ошибок определяют новые значения х и а из (л—1) или (л—2) измерений.

283

Второй метод установления грубых ошибок основан на использовании критерия В. И. Романовского и приме­ ним также для малой выборки. Методика выявления грубых ошибок сводится к следующему. Задаются дове­ рительной вероятностью рд и по табл. 10.4 в зависимости от п находится коэффициент q. Вычисляют предельно до­ пустимую абсолютную ошибку отдельного измерения

ряда наблюдений. Этот метод более требователен к очи­ стке ряда.

При анализе измерений можно применять для при­ ближенной оценки и такую методику: вычислить по

окончательно установить действительное значение изме­ ряемой величины хд по формуле (10.9).

В случае более глубокого анализа экспериментальных данных рекомендуется такая последовательность: 1) по­ сле получения экспериментальных данных в виде стати­ стического ряда его анализируют и исключают система­ тические ошибки; 2) анализируют ряд в целях обнару­ жения грубых ошибок и промахов: устанавливают подо­ зрительные значения хтах или хт\п\ определяют средне­ квадратичное отклонение а; вычисляют по (10.11) кри­

284

терии Рь Рг и сопоставляют с рт ах, Ртт, исключают при необходимости из статистического ряда дгтах или Xmin и получают новый ряд _из новых членов; 3) вычисляют

среднеарифметическое х, погрешности отдельных изме­

рений (*—xt) и среднеквадратичное очищенного ряда о; 4) находят среднеквадратичное <то серии измерений, ко­ эффициент вариации kB; 5) при большой выборке зада­ ются доверительной вероятностью рд=ср(0 или уравне­ нием значимости (Г—рд) и по табл. 10.1 определяют /; 6) при малой выборке («<30) в зависимости от приня­

той доверительной вероятности рА и числа членов ряда п принимают коэффициент Стьюдента аст; с помощью формулы (10.2) для большой выборки или (10.8) для малой выборки определяют доверительный интервал; 7) устанавливают по (10.9) действительное значение ис­ следуемой величины; 8) оценивают относительную по­

285

грешность (%) результатов серии измерений при задан­ ной доверительной вероятности рд:

Если погрешность серии измерений соизмерима с по­ грешностью прибора Впр, то границы доверительного ин­

Формулой (10.14) следует пользоваться при а Ст<7о^ЗВПр. Если же а СтСГо>ЗВпр, то доверительный интервал вычис­ ляют с помощью (10.1) или (10.9).

Пусть, например, имеется 18 измерений (табл. 10.5). Если анализ средств и результатов измерений показал, что систематических ошибок в эксперименте не обнару­ жено, то можно выяснить, не содержат ли измерения грубых ошибок. Если воспользоваться первым методом (критерий ртах), то надо вычислить среднеарифметиче­

ское* и отклонение о^При этом удобно пользоваться фор­ мулой x=x'-\-{Xi — х')/п, где х' — среднее произвольное число. Для вычисления х, например, принять произволь­ но *'= 75 . Тогда х=7Ъ—3/18=74,83. В формуле (10.1) значение- (*—х{)2 можно найти упрощенным методом:

(х— Х[)2= 2 (xt — х ) — П ^ .

В данном случае (*— xt)2 = 737—32/18 = 736,5. По (10.1) а=736,5/(18—1) =6,58, коэффициент вариации

кв — 100 = 8,8%. Следовательно,

74,83

р ,------ _ 2,68.

Как видно из табл. 10.3, при доверительной вероятно­ сти рд=0,99 и /г=18 ршах—2,90. Поскольку 2,68<рППХ) измерение 92 не является грубым промахом. Если рд= =0,95, Ртах= 2,58, то значение 92 следует исключить.

Если применить правило Зо, то ■^max, min —74,83±ЗХ Х6,58=94,6...55,09, т. е. измерение 92 следует оставить.

В случае, когда измерение 92 исключается, *=73,8, а=5,15. Среднеквадратичное отклонение для всей серии

286

измерений при п= 18 Оо=6,58/18= 1,55; при очищенном ряде ао=5,15/17=1,25.

Поскольку л<30, ряд следует отнести к малой вы­ борке и доверительный интервал вычисляется с приме­ нением коэффициента Стьюдента а ст. По табл. 10.2 при­

ХЮ0)/73,8=3,7 %. Таким образом, если принять * j= 92 за грубый промах, то погрешность измерения уменьша­ ется с 4,3 до 3,7 %, т. е. на 14 %.

Если необходимо определить минимальное количест­ во измерений при их заданной точности, проводят серию опытов, вычисляют а, затем с помощью формулы (10.7) определяют Nmщ.

В рассмотренном случае ст=6,58; 6В=8,91 %. Если задана точность Д = 5 и 3% при доверительной вероят­

Таким образом, требование повышения точности из­ мерения (но не выше точности прибора) приводит к зна­ чительному увеличению повторяемости опытов.

Во многих случаях в процессе экспериментальных ис­ следований приходится иметь дело с косвенными изме­ рениями. При этом неизбежно в расчетах применяют те или иные функциональные зависимости типа

Так как в данную функцию подставляют не истинные, а приближенные значения, то и окончательный резуль­ тат также будет приближенным. В связи с этим од­ ной из основных задач теории случайных ошибок явля­ ется определение ошибки функции, если известны ошиб­ ки их аргументов.

При исследовании функции одного переменного пре­

887

и дифференциала принимают абсолютные значения. Ме­ тодика определения ошибок с помощью этих уравнений следующая: вначале определяют абсолютные и относи­ тельные ошибки аргументов (независимых переменных). Обычно величина хд± е каждого переменного измерена, следовательно, абсолютные ошибки для аргументов из­ вестны, т. е. e*i, еХ2,...,гХп. Затем вычисляют относитель­

ные ошибки независимых переменных:

Находят частные дифференциалы функции и по фор­ муле (10.18) вычисляют еПр в размерностях функции

f(y) И С ПОМОЩЬЮ (10.19) ВЫЧИСЛЯЮТ бпр, % .

Одной из задач теории измерений является установ­ ление оптимальных, т. е. наиболее выгодных, условий из­ мерений. Оптимальные условия измерений в данном экс­ перименте имеют место при 6 np = 6 npmin. Методика ре­ шения этой задачи сводится к следующему. Если исследуется функция с одним неизвестным переменным, то вначале следует взять первую производную по х, при­ равнять ее нулю и определить х х. Если вторая производ­

менных поступают аналогичным образом, но берут про­ изводные по всем переменным х и ...,хп. В результате минимизации функций устанавливают оптимальную об­ ласть измерений (интервал температур, напряжений, силы тока, угла поворота стрелки на приборе и т. д.) каждой функции f(xu ...,xn), при которой относительная ошибка измерений минимальна, т.е. 6*,=m in.

В исследованиях часто возникает вопрос о достовер­ ности данных, полученных в опытах. Решение такой за­ дачи можно проиллюстрировать примером.

Пусть установлена прочность контрольных образцов бетона до виброперемешцвания R I = R 1±.OQ= 20±

288

±0,5 МПа и прочность_бетонных образцов после вибро­

перемешивания #2=^?2± оо= 23±0,6 МПа. Прирост прочности составляет 15%. Это упрочнение относитель­ но небольшое, его можно отнести за счет разброса опыт­ ных данных. В этом случае следует провести проверку на достоверность экспериментальных данных по условию

В данном случае проверяется разница x — R t — /?2= = 3,0 МПа. Ошибка измерения равна о0 = ]/"а| + а\, поэтому

(Я, — R2) / V o’? 4- о* = 3,0/(0,25 + 0,36) = 3,84 > 3.

( 10. 22)

Следовательно, полученный прирост прочности явля­ ется достоверным.

Выше были рассмотрены общие методы проверки экспериментальных измерений на точность и достовер­ ность. Ответственные эксперименты должны быть прове­ рены также и на воспроизводимость результатов, т. е. на их повторяемость в определенных пределах измерений с заданной доверительной достоверностью. Суть такой проверки сводится к следующему. Имеется несколько па­ раллельных опытов (серий). Для каждой серии вычис­

ляют среднеарифметическое значение xt (п — число из­ мерений в одной серии, принимаемое обычно равным 3...4). Далее вычисляют дисперсию А. Чтобы оценить воспроизводимость, рассчитывают критерий Кохрена (расчетный):

где шах А — наибольшее значение дисперсий из числа

т

рассматриваемых параллельных серий т ; 2 А — сумма

дисперсий т серий. Рекомендуется принимать 2 ^ т ^ 4 . Опыты считают воспроизводимыми при

1 0 .6 ), принимаемое в зависимости от доверительной ве­ роятности рд и числа степеней свободы q— n — 1 . Здесь т — число серий опытов; п — число измерений в серии.

289