Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

12.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Принимая во внимание равенства (12.10) и (12.13), соотношения (12.11) преобразуются к виду

°88 + « Й = 2 Л [(си + е „ ) (в '*’ + ) + - £ • «?*>];

			д / и1к) \
Ой - ' »Й + 2ИЙ -			- I - ( - £ - )	(12.15)
о©	-	а [« » (» “ ’+ 4 <	) + - т - “2*’];
< ’ + * #	=	у т (2 ■ ¥ —	4 - 1“'Г + тг 4	Ч) ^

где и[{? — и\к) +

Нетрудно проверить, используя (12.10) и (12.14) что

				дй(к)		(12.16)
				Ч		(12.16)
				дл
Из (12.5) согласно равенств (12.9)				определим
oj*1» = 2ft [ f t , +		с„) ( Г 1+ -§-“?>) +			-TP4	,w] :
off —	+	2 < <	=	4с„ЛЛ	:	(12.17)
a>« = h	е» ( 0 V		4 “S^ + TT-“?"]••
	[	ди^		_!_»()л. _L «'()]
				/? u+ ^ h	u+ r

Запишем теперь в комплексной форме систему уравнений (12.1). Для этого умножим второе уравнение на i и сложим с первым. В ре

зультате этого будем иметь

~ w (^ W	sine "ар")Ий		aSP		1я"("де		ПлТПф" + 2 ct2 0j x
	X (®ffl-	oft + 2/ogjp + -i- (a® +					fog) -
		- I	l C	+	i o S 1) - »	'	(12.18)
Третье уравнение (12.1) перепишем таким образом:
I F ( ~ W + l i n T 1 ф") ^а ез — < з > ) + I F						(~ d §	s in T 1 ф") X
X (ой +	« О +	ой -	4	(offl + ой) ■— т			о » ' + I4f> = 0.

(12.19)

1	д	до^а	1	I
х	^ - К ' - <	+ 2 < 2>) + - я - +	т г «	¥ - г ° Г “ °i	2 20)

I ( 9 o f ,

л \ аг + Л- - ) ■ - 4 " ■ - X	+ м ф - °>
А= О, 1, . . . , ЛА,
где <J£> = сг{*> + io $ .

3. Трансверсально-изотропная тороидальная оболочка. Для кру

говой тороидальной оболочки Rs — R (R = const), г = а (1 - f a sin 0),

где a = — < 1 (см. рис. 5).

Предположим, что оболочка пос тоянной толщины. При данных параметрах в условиях осевой симметрии уравнения (10.7) при нимают вид

					М*э		+1		a cosВ		X
					dQ		+1	1 +		a sin В	X
					x «		-	<	)	+ < ' -
				-	4		Л 4 +		R h W =		0;
_	^	a cos 0	a (*) _	am _	a sin 0
_	^		a (*) _	am _	”		u__ a(A) _
d0	'r	1+ a sin 0 63			1+	a sin		0	w
-	4	o T + WiFi* =		0, * =	0,	1...........It,					( 12.21)

где

— * -[«* ( * £			. +	«<*>) +		y	f f A	- * » +		A
		d0				1+	a sin 0		**з
o*>		4 -+ <#>) +				c,-,a sin 0			Hl*>+	gi»E
	[					, У ““°					«з<Л)
ФФ= 4		c>»1 a0	1	з	j 1	l +	a sin	0	з г	A
О®	=	x [ c« (	dQ	,	1 +	2a sine		ш
33				^	1 +	asinG		из) + * r - «?*’];
		«Й	R	( d ip		- U p +		— и (A>			( 12.22)
					dQ			A	“e

„ Замечание 12.1. Приведенные в §§ 11, 12 уравнения получены, как

нетрудно видеть, в предположении неизменности метрики по толщине оболочки. Аналогичные уравнения (но более сложные) можно полу чить при учете изменения метрики по толщине.

Поскольку в пластинах ka *= 0 (а = 1, 2), то вопрос	об изменении
метрики по толщине отпадает, уравнения равновесия	получаем	из
уравнений (3.2), (3.4) или (3.7), если положить в них А а = 1, ka =		О

и пренебречь инерционными членами. В случае общей анизотропии материала она представляет собой связанную систему уравнений от носительно моментов компонент вектора перемещений. Если же пла--

стина обладает одной или несколькими плоскостями упругой симмет-

рии, то данная система (при h = 0) распадается на две подсистемы,

описывающие соответственно напряженно-деформированное состояние плиты при растяжении — сжатии и изгибе. Возникающие на их основе граничные задачи будем, следуя [74], называть задачами А и В.

Рассмотрим ниже уравнения равновесия ортотропных пластин

постоянной толщины. В задаче А они имеют вид
Т р - -	4 -	S	( «	+	3) crg+1) +		H F f =		0	0 = 1 . 2 ) ;
.а	п	0
Л - ( 2 * - И >			.	к
— Ц---------- j-				£	(41+	l)<j§5''				= 0 ,	(13.1)
где ха = la (а =	1,	2);
’ - '■ h	■^					+ Т		£	<W + 3)		>1
’ - '■ h	■^					+ Т		£	<W + 3)
		(Са = Сц\ i,				/ =	1г 2,	3);
					ди\2к>		,/2*)
		Л 2k)			ди\2к>		ди$		\ .
		Л 2k)			дх„		'42Л)		\ .		(13.2)
		С\2	—		дх„		а*,		) ’		(13.2)
			-£V		+ -F		, Z	1,4' +		,)“F>] ;

_(2fr+D

О 23

= с„л \|	du?k+h	( 4 i + D « H .
= с„л \|	+ 4 - i	( 4 i + D « H .
	П t=k+\	J

Подставляя (13.2) в (13.1), после некоторых преобразований получаем

d2ufk)

аЦ2*»

C11

~ ц

+ С"

(Cl8

Си)

+ {

Е ( «

ох1

- - < & - £

( 4 1 + 1 ) р М

п +

Л 2*1 - 0;

1=О

1=1

aa«j2ftl

d2u$k)

а»4ад

(c ia +

с«в)

а*,аха

с*л

ах?

'22

~ Э

с 5

дх^

2 ( 4 /

3) « Ъ

a « f+ l>

(4/ +

/tf* =

о;

--------2

1 °

(13.3)

	d-u^k+i)	,	„ sy,“ +" ,	I	ъ , л , ,	. > / n «	ди,(2/)	д и ?1'	\
		,	„ sy,“ +" ,	I	ъ , л , ,	. > / n «	«“Г , л*\|	« Г	\
С у5 5	--------7~о	+	с« — 33----- l ' T		A l 4 , +	1H e“	“ ЯдхуГ + 62'	- 5Г~ ) —
	дх\		дх1	1	Л1=0

-----гг- £ (4/ + 3 ) +I) + F f +1) = 0, &GЮ, л].

П 1=-о

Взадаче В равновесие пластины описывается уравнениями

------- j-		S	(4i +	l) a ^ ’ +	Afl“ + "			= 0	( Р - 1 , 2 ) ;
OX	п	f—0							(13.4)
^	-- 4- s'(4/+ 3)ag,+"+ Aff>=								(13.4)
^	-- 4- s'(4/+ 3)ag,+"+ Aff>=								0,
в которых			Л /Го
в которых
				&42Л+1)				v	/н/ \| i \ , W \|
			+	£?<2— ^		+	~	J ^ , ( 4 / + 1)йз J
			(Сц =	с,7; I, / =	1,	2,	3);
				«Ц2**1'	(	ди?к+ " \'
							<3*1	/	*
									(13.5)
^									»I.
^	=4		^	+ -Г ,S (4/ + 3)«<,2'+'>]
СТгз	=4		^	+i i (4,+3 ) “ f					4
_(2Й)

Из равенств (13.4)

и (13.5) получаем следующую систему уравнений:

d*u?k+i)

д*и?к+1)

д Ц 2к+и

, ____ ___

+ (С1* + С«'>

дх,дх,

Cl1

с«*

ай

+ 4

2 (4/ +

I) «21*Т Г - — 3F-

S (4; + 3)<4(!нИ?+1’

+ / f *+" = 0;

г*

/«=с0

/=0

(13.6)

(с12 "Ь ^

5*afA+4

1~ С«0

аа4 2*+,)

1" с22

д24 2Л+,)

1“

+ 4 £

(4/

+ 1) Й Р -Т Г — >

<4<+ 3)«Й’+,«?Ж ' + Я»" = 0;

1=0

/=0

С66 —

^---- г

J 2 L L

+ j _

M» I

v \ ( v ^

dui“+l) ,

дл*

“

,±}>(4 / +

3H 62/+1

d *

0*?

а„(2/+1) \

- Ч

г ^

(4 1 + | ) p W ' ’ + ^

i+ l,= ° ,

* б ю .я ].

В (13.3),

(13.6)

62/W> •••> S2I+1

и 02/\

o4i+i — соответственно постоян

ные

вида

(11.5), (И .8) и

(11.6), (11.9) .

Уравнения (13.3) и (13.6) следует дополнить услозиями, заданными на границе L области Й, занимаемой срединной плоскостью пластины.

В качестве таких условий можно принять, например, равенства (3.10)— (3.12). Условия на торцевых плоскостях х3 = h, х3 = — h учитываются

функциями	F?’ [i = 1, 2, 3), составляющими свободные члены раз
решающих	уравнений.

§ 14. ТОЧНОЕ УДОВЛЕТВОРЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ НА ТОРЦЕВЫХ ПЛОСКОСТЯХ

Для точного удовлетворения условиям на торцах воспользуемся формулами п. 2 § 3. Запишем уравнения равновесия пластин, соответ ствующие указанным условиям. При этом необходимо отметить, что в задаче А для этой цели удобно использовать четные значения N , а в задаче В — нечетные. Рассмотрим сначала уравнения задачи А.

Запишем соотношения (13.2) в виде

dufk)

Я,/-*»

®Р*Г’ =

л [й ,

дх,

+ С/2

—

- J - Е (4/ +

3) и Т +11

(i =

1, 2, 3);

дх.2

!=lt

<2к\

(

^Ы<|2Л>

*€ Ю, «];

°п

=c„h[ —

j .

(Н.1)

Ц 13

—

’■

+4-

Л,

I ( 4 / + l « f ' > ;

(2А'+1> _

„

аип2*+|>

,2/»1

[=tr+i

а' а4‘" =

au!,2ft+I)

+ ~jr

( 4 / + l)*^ *!,

— 1J.

c j i

ах,

t=k+1

Из (3.14)

следует,

что

_(2п) _

(4л +

1 ) с.

(Рзз + Рзз)-

(14.2)

сгзз

ээ

Момент стз1Г>согласно формулам (14.1)

имеет значение

ди?п)

dufn)

(4п + 3)

аРл+1)1 _

(14 3)

7&П) = h СМ

ах,

дха

Отсюда, учитывая

(14.2),

определяем

« f + " =

(

ди?п)

а4 2п)

^(/>4+^33)

(4л Н- 3) £32

ах,

+ С23 ах.

(4л -f- I) (4л +

3) CJJ *

(14.4)

Внося (14.4) в оставшиеся соотношения (14.1) и далее в (13.1),

получаем

следующую

систему

уравнений:

д*и\2к)

d2ufk)

д*иЧк)

е,я

ди¥п)

Lii

дхгдх2

c13

dX\

c«

ax, +

dxf

con

dx2

I* (Cia +

C33

du$n)

rc—1

du{2l+ l)

23 dx, 1+ "F § о

ax,

c23

C33

	-	S (4/ + I) P W			+	( f “ =		0,	k g [0, n];
	П	(=1
			d*u[2h)		d*ufk)				d*ugk)
	(Ci2 +	cee)	dXidXa	+ с вв- ц		-	+	см	dx\
	dufn)			du$n)	+		n—l	(4г +		з)б2Й,	duP+'
dxt	y1'13	dxy	+ c23	dx2	+	4 - S		(4г +		з)б2Й,	dx2
dxt	y1'13	dxy	+ c23	dx2	)^ ~	h	{t0v’ ‘		"r		dx2
M	-

-----Ш- £

(4/ +

1) р Ш " 1+ F?k) =

k£ [0, n]\

/=1

^ЬЬ

(А) Эо12<)

дх]

+ “

(4' +

1)Г '

dxj

я—1

+ «2й- ^

)

I (4( +

3)cdSVrfjf+" + /? 4+|’ = 0,

Здесь

/г£ [0, п — 1].

f T

= ®г>+ -i- ста - Р5) + - д ^

^ 7 (й+РГз)

( а =

1, 2);

(14.6)

f ? ‘+ " =

Ф ? + |>+

-L

{Pi; + P i).

Перейдем к построению аналогичных уравнений в задаче В. Для

этого

запишем соотношения (13.5) следующим образом:

au(2ft+l)

П+ 1

а?Г> ~= AJfti

dXj

Ci2

dx„

-£ •

(4( + l ) « H

П /=*+1

( i - 1,2,3);

л/ 2*+"

y(2ft+l) \

а„р+»

jff+l> =

««*(-

dxn

дхг

(14.7)

off* = <Wl [4

f ^

+ - f

(41 + 3)« Г »];

_ ( 2 к )

ди{2к)

(4J "Ь 3)

k £ [0, я].

О23

= с44^ [

^ ~

Отсюда при k — п

имеем

-<2л+1)

h \с

а“<|2П+1’

а°'2П+1>

I /4„ .

е\ с93 ц(2л+2)

. (14.8)

сгзз

Л р а

а*,

Саз

---- г\™-г»1-ь

«з

ддг,

аЕ"

г (4и +

о) —

Согласно формулам (3.15) момент аззч+,) принимает значение

а& +,) ~

(14.9)

- я

э .

— в

Из равенств (14.8) и (14.9) находим

„ г * —	„.. Л,	~ а т ~ ) + щ	* ^ - ч >
3	»«+8)«ь. V м «*. +	~ а т ~ ) + щ	+ 1 Т5Г+ 5) s

(14.10) Подставив соотношения (14.7) с учетом (14.10) в (13.4), получим та

кую систему уравнений»
02ы(2Н-1)	^2ц(2Л+1)	, .	ла (2й+1)
	_	, .	, . дЩ2*+1]
Сп — —г,-----Ь Спа----- —т,------Г (с,п4- л.л .— ?___ . _
	дх2		дхудх2

саз	^	2 - . + с
	\ 13	дхг	+ 2 3

dufn+ "	\	I	f .	M af\|
дХг	J +	н	(L ( 4	/ + l ) 62i

—

jjfft

(4/ +

3) c4*+i«<i2i+1*+

/f*+i> =

(Cj2 +

d*u\2k+l)

Йа4 2*+,)

Л2,.<2*-И>

<чм)

dXidXj + c«e — ^

----- h c22

«*1^2

a*J

dx*

c83 ^ 2

+ 1)бг/ —^ ----- -

-л?- |

O(4/ +

3) *M

I+" +

pj»+i) ^

( 1 4 , r)

->■ I

(4/ + 1 ) U S W

П8*’ =

H [0,

f «*+ " =

< * » »

-L (P £ + PS) +

15^

Г ^ - ( Р + - Р Э

( 0 = 1 , 2 ) ;

(14.12)

ф Г

+ 4 -

4/ + 3

(P i -

PS).

ia + 2

;=o

Граничные условия

будут такими же, как и для

уравнений § 13.

ПОСТРОЕНИЕ ОБЩИХ (РЕГУЛЯРНЫХ) РЕШЕНИЙ

УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН.

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ

В данной главе излагается метод построения общих (регулярных) решений уравнений равновесия трансверсально-изотропных оболочек и пластин и метод построения фундаментальных матриц решений урав нений трансверсально-изотропных и ортотропных пластин.

§ 15. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

1. Случай произвольного приближения. Перейдем к рассмотрению общего решения уравнений равновесия трансверсально-изотропной сферической оболочки, приведенных в п. 2 § 12. В этих уравнениях свободные члены содержат лишь нормальные к граничным поверхнос тям напряжения Раз, Рзз. Касательные напряжения в них приняты равными нулю. Для точного удовлетворения данным условиям пред


ставим компоненты				поперечных напряжений					Oiz (i — 1,	2, 3)	в виде
		О» =	4	S		(4m + I )[/>*, (а -		Рй+г (01 ОЙ" +
				т=0
		+ 4 -	s '	<4 т		+ 3) W W i (£) - Pin+3 (01 <г1?"Н\| +
			т=0		(—)		(+)
					(—)		(+)
				+ Р,Рг«+1 К) + Р.Р&+2(0,							(15.1)
где	Р, =	*2-(P fi— Рм),				p i = ~2	(р £ +	ЯзО,	причем	Р» =	Ра = О
(а =	I, 2),	(-)	const,		(+)
(а =	I, 2),	Р3 =	const,		Р3 = const.
Из (15.1) следует,					что
		<,!?+'> _				o f f « = о.	off-«	=	.		(15.2)

Запишем уравнения равновесия и соотношения упругости при четных и нечетных значениях индекса k. Согласно сказанному урав

нения равновесия (12.20) представим таким образом:I

I	д ,_<2А)	_<2А)	,	,	daa k)a ,	I „ (2 ft)
Х	-5 Г (ап	“ а22	+ 2“^ )	+	— з г ” +	+ "

- 4

fc—l

3)a2 s+,, =

(4s +

s= 0

t o ?

da?

0 <2*)«

J _

(4s JL 3) <J SS+,) + 2P3 ~~ 0|

т [ - д г - +

oz ) ~ ~ R aa

~ h £ 0l + '

k £ [0, nj,

5(J(2H-l>a

X 4

r («ST" -

+ 2ta" +") + " 2^

a ? 4-11-----j -

S (j (4s 4-

1) ° ? 4’

0 :

(+)

(1 5 .4 )

- L < f. a° y +!L

- ^

f ’.'.'\ ____L

„ £ * + " « _ J -

£ (4 s +

CTjaf ~Ь

= °>

)

° a

k(z [0» «1.

соотношения

упругости

(12.17)

запишем

виде

« 2 * -- 2Л [<с„

ц.) (в®

+ 4

«Р>) +

- 4

( *

+ 3) “"

(

02*)

(1 5 .5 )

_<2А)

<*+

=-'‘[ 2 - !S

3) «?+•’]

л[с„ (е «

« Г ) +

- f - 1 . (4« +

« Г " » =

2л [(*„ + Си) («<■«* + 4

« Г * )

+ - 4

<4s +

I)«S“ ] :

„«*+■’ _

0®N-» +

2 i a % * » = 4 c , M

(

“f++"

‘ Й

/•

(15.6)

- Ч

’ ^

4*+,)u?si];

< ^ + " - л|с„(в04+11 +

4 «**+■>) + ^

JC, (4s + 1)вр].

Из двух последних равенств (15.6) при k =

п с учетом значений (15.2)

получаем уравнения, из которых находим

(2rj+2) _

4л + 5 2 - 2dzС ? - 4 « ? * » );

И+

(1 5 .7 )

<-)

2hPs

(в<М+“ + т “г+'’) + (4я + 3 ) (4л + 5) с„ '

Согласно (15.7) оставшиеся соотношения (15.6) преобразуются к виду

«£*+1>“ -

2h[(Cia +

с„) (еп*+11 +

«?*+■>) _

+ »

4 -и ? "+11) +

<4s +

DuS?*.

гс,,'Й

I .

!=»+'

(4« + 3)саэ

J '

ой*+1) — agk+l) -Ь 2ia?2+U =

4cBaf i \ J ^

„(2Аг+0

o f+ "

+ " _

,+"

(15.8)

= c„ A^5

“""+ ,)+

i s.? + , (4 s+ 1 )« 4 «

0gs+ ‘>=

л [cls (e(S‘+ tl+ 4 -

u p + ‘>-

e<ai+i> __

2 U F ,+ IA

(-)

<4s+ ! ) « ? ’ Н ~ 4 й

s=5+I

4ra+ 3 J‘

Внося

(15.5)

в (15.3), получаем

уравнения

и™ \

ае^*1

„

лы<2м

4 * * 4 - Л-4

( Н

г ) + 2(с»

с-> -

здг -

66 Л

дг

2 ^

cfA)

au(32s+,)

- ^

3 )a?s+n-

+ 4 2

(4s + з)sgv,

2 ( 4 S +

s=o

■

пн s_o

,,{2ft)

c44 v

i A c

_ 1_

l \ ft!** ,.(2s) =

fe e io . rt);

(1 5 .9 )

cu V’«f> -

| f

(4i +

3) ( i f + " +

2 (4s +

3) № +.9,И+,)-----—

s=0

— -Jjf S

(4s + 1) P M 2S> + X

°*

A£ [0, rtb

(15.10)

S = *l

а из (15.4) после подстановки в них значений (15.8) — такие уравнения:

	/ (2*+1) \	. . , e e ^ + ‘>				2С .С ., a 4 M +"
1 д . а ( u f + " \ .		. . , e e ^ + ‘>				2С .С ., a 4 M +"
4лw Л д г Л 1 Г	( — Л— / + 2	+	Свв)	dz	+	аз
2с13	д _ ^ 0(2n + l)	_2_M(2n+I)j __ 2й44			а“з2П+1)
й8з	дг					дг
4 г ( 4 * +" - « + +1’) + 4			2	(4s + 1) eg'		+
а		п	s=0			дг

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20237.79 Mб3Обеспечение надежности стабилизаторов напряжения при проектировании и производстве..pdf
#
12.11.20239.14 Mб1Обжиг в кипящем слое в производстве строительных материалов..pdf
#
13.11.202322.72 Mб0Обнаружение и исправление ошибок в дискретных устройствах..pdf
#
12.11.202312.6 Mб16Обнаружение, распознавание и пеленгация объектов в ближней локации..pdf
#
19.11.202329.24 Mб0Обобщенная нелинейная модель учета рассеяния энергии при колебаниях..pdf
#
12.11.202312.55 Mб0Обобщенная теория анизотропных оболочек..pdf
#
12.11.202317.06 Mб13Обогащение полезных ископаемых..pdf
#
19.11.202371.66 Mб16Оболочки и пластины..pdf
#
12.11.202321.81 Mб5Оборотное водоснабжение химических предприятий..pdf
#
12.11.202316.36 Mб4Оборудование для добычи нефти и газа. Т. 1.pdf
#
19.11.202328.38 Mб8Оборудование для добычи нефти и газа..pdf