Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

12.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

	dg(i3	4~	5оШ		----- -- п®		. л в
	dg(i3	4~		23	----- -- п®		. л в			(24.20)
	дх,		дх.			7Г сгэз -Ь <7 = О*.				(24.20)
д0П .	ЗСТ<12	3	(1,			до\»	Н—	до%	3 (1)	— и>
-d Z r +	-fc 2	Г * 713		=	0 '	ах,	Н—	зг---------гг ^23		— и>
						ах,	“и	ах2
в которой Оар*	= 0» О, <*аз — моменты напряжений вида
af\k) = h {с1хгик) +			с12е ^ +			с13е$°);		аЦ* =	c99he(u K,
а{2 2 } = h (с12еIf) +				*„«3?		+ с1342з°);		ai3 =	с44Ле{з;	(24.21)
Озз9 — h [с13 (e(uW+				е§?) -J- с334зА)];				агз =	c^Jie^L
причем

.2/0	ди?к)
е11	= “ ^ т

АЩ	ди™	(2*)	а«<2А>	а*<ад	(6 = 0, 1);
622	дхг	■; el?	дхх	дх.	(6 = 0, 1);
	дхг		дхх	дх.
					(24.22)

_з_	.(2)			М "	5	( )
/[ ^3 »	Сзз	= 0;	еа = -			\|2
					т	“ :

Пусть F (лгц *2 ) — функция напряжений. Тогда первые два урав

нения тождественно выполняются. Для удовлетворения остальных трех уравнений введем две вещественные функции о и X по формулам

t f ’ - у;

u ? = a h J £	----- a,ft»	дхх	+ Ыг	ад/7		h	ах
дх,		дхх		<?ЛГХ		2	Си
в Р - а А . *	— a0h3	dAv	JL /5/7	ад/7	4 .	/l	ах
в Р - а А . *	— a0h3	дх.		дх2	+	2	ах.

в которых

1 1

осЛ2	дд	,	(24.23)
С4-1	дд	,	(24.23)
С4-1	а*,	1
aha	а7
си	аха	»

а = ах— 51

’

25с24 (С12 +

с0в)

а2 =

а =

cii •

СПС13СП»

•

75с14

150с44 (с,2 + с6в)

Определяя по

данным функциям

моменты

напряжений

о^з,

т. е.

а А2

бДи

dAF

1 ах.

*■ dxx

ax3

“»”

a»j

(24.24)

023 = 5cMh

ас/

.- a ,ft» 4 ^ -

dAF

■'44'Ч ^1

r)v

v*2'*'

axa

"Г+ ^b' я%-

“Г

Я%>

c4i

dxt

[ -

ах2

dxs

ax.

и внося их совместно с (24.6) в третье уравнение (24.20), получаем

следующее равенство:

AAv —	3^1^11^33	Av +	45^3$	и —
AAv —	С44 (^12 4~ с4в)	Av +	(С13 4“ Сбб)	и —
	С44 (^12 4~ с4в)		(С13 4“ Сбб)
	15^44

(24.25)

Выразим при помощи функций (24,23)-моменты напряжений сг^р (а, fi = 1, 2). Для удобства представим их таким образом:

		off =	h2 ela faAv — a2h2AAv +				bAAF —		Aq}	-f
	+ 2сел(а-Щ ----- a2h2 d*Av				,	. d*A F __ 1		д Ч	ah		d2q
			dx\		^	dtf	2	dxtdx2	cu		dxf
		об =	Л2 ^cla faAv — a2h2AAv -f bAAF —						A^j	+
											(24.26)
,	n (	d*v	. 2 б2Ди .		.	d*AF .	1	дЧ	ah	d2q
+	2см \а-£р------ааЬ —г ^			+	й - т т - +		—	дххдхъ	c44	dx\ ) }
			dx\			dxi	2	дххдхъ	c44	dx\ ) }
		-	2c« A2[ - S ^ - (™ -a,h>Av + b&F-----^						?)	+
			,	1	( дЧ		дЧ
			+	4	\ * i		d4
	Если	внести соотношения			(24.26) совместно с (24.24)					в	последние

два уравнения (24.20) и учесть при этом равенство (24.25), то получим одно уравнение относительно функции X

АХ	15с.£г- X = 0.	(24.27)
	сиЛа

Наконец, условие совместности деформаций (24.10) приводит, очевид но,' к равенству

AAF----- Av =* 0.

(24.28)

Исключая из уравнения (24.25) член AAF, получаем совместно с

(24.27) и (24.28) следующую систему уравнений:

AAv —			45сгСзз	V +		15c18c8fl	AF =
	1	^	+ (Cia + c„)A4		2сц (с1а + cee) А*
				“ 1
				15С44			(24.29)
			(Aq	cu h!*	q)	;

д д р _ _ ^ з . д и = 0;	AX----- ^%-X = 0.
Cla	-
	<Wia

ДF =	- ^ 2. v +		+			(24.30)
			ctcu
и внесем его в первое. В результате этого получим равенство
	ДДя —	Зсс»э	л..	I	45ссзз_ ^ _
	ДДя —	с44Л2	До		СцЛ4
- -	Iv* w	+	W1	-	т е г (** — ^	1») • <24-3,)
из которого находим
	о = — х*Л [ф' (г) 4- ф' (г)] + V 4- и0.					(24.32)

Здесь V — общее решение однородного, a v0 — частное решение неод

нородного уравнения

	ДДо — 4 %	4- ^ т г v ----------1 г (Д 9 -----т^ття)-						(24.33)
	tub*		c„/t4		с44Л (	4	cnh2 ч)	v	'
Согласно (24.32) равенство (24.30) примет вид
	LF =	4ft [<р' (г) +		ф' (г)] +		(V +	о„).	(24.34)
					‘•и
Если учесть, что
				А*47 I	CliA2			(24.35)
			45с33	ДД7 +	Ж	- AV,		(24.35)
			45с33		15с44
то (24.34) можно представить таким образом:
&F =	4ft \|Ф' (г) + <7WI +			Л И - - \|^ - Д Д У			+ -5 й- %	(24.36)
					15сс
Отсюда	находим
	F =	hu* +	- ^ 1	К —	AV 4- F0,			(24.37)
		1	5см	Щссад		1
где
	и	= гф(2)4-гф(г)4-4>(-г) 4^*(2),						(24.38)
a F„ — частное решение уравнения
			д/? _ 6ci*		v
				с	ио*
				41
Так же можно построить систему уравнений равновесия								пластин
для последующих приближений				и найти их общие решения.

§25. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ИЗГИБА ПЛАСТИН

у1. Приближение N = 1. Как и в § 24 начнем изложение метода построения эквивалентных уравнений со случая приближения N = 1.

При этом будем исходить из той же системы уравнений, к которой

предполагается построить	эквивалентные	уравнения,	не прибегая
к условиям совместности деформаций.
Допустим, что пластина	находится под	действием	произвольной

достаточно гладкой нормальной нагрузки />=*/? (хг, х2), р = Раз —

— Рзз. При N =	1 система		уравнений		равновесия		имеет вид
^мЛЦ11 +	(с,а +	с„) -■&-----т 1			—	^	«(О =	0:
			дх,		Эди	fta	I	’
					diffl	яс	(1)	Q .
ceeA«21} +	(с12 +	сов) -^ 7 -----j~C			3	Мц	(1)	Q .	(25.1)
ceeA«21} +	(с12 +	сов) -^ 7 -----j~C			ал,	Аа	2		(25.1)
где	Ц М * + Т 0* ) - — Г Р ’
где
		0i =		+	а41}				(25.2)
		0i =	Эх,	+	Эх,				(25.2)
			ч		и*а

Цель дальнейших рассуждений — изложение способа построения уравнений, эквивалентных системе (25.1). Для этого введем две веще ственные функции и и о по формулам

n f = «;

„(п _

а«

спла

ады ,

эш .

Эр >

dXi

'll’1_____

' 2 .а*. ^

“I

зс44а-

Эх4я*

3cL44

дх' у

(25.3)

[

ди

%Аа

ЭДи

до

СдА

Эр

4 } = —

Эл ,

Зс,41

дл.

дх,

3с24

Эл,г

Продифференцируем а!1’ по *1э а и?1 по х2 и найденные значения сло

жим. В результате этого будем иметь

Ь — Ц л н + ^ - Ш + ^ Л р ) .

(25.4)

Внося (25.3), (25.4) в третье равенство (25.1), получаем относительно функции и следующее уравнение:

дд“ —

( 2 5 - 5 )

Если же внести (25.3) в первые два уравнения и учесть равенство (25.5), то они будут удовлетворены при выполнении равенства

Дю

Здfe<o = 0.

(25.6)

Согласно (25.5) функция 0Х примет вид

0j = — £-Дц — Зс	(25.7)
44

Таким образом, уравнения (25.5) и (25.6) при выполнении равенств $5.3) будут эквивалентны системе уравнений (25.1).

с66Ди{‘) + (Cj2+ cw)	—	*44	Н	0)	+
		Л	dxt		+
C6Q&U{2li -j- (с13 + ^бб)	“	С44	* 4 *		+
C6Q&U{2li -j- (с13 + ^бб)	“	h	дх2		+
'44		' +	X	е ») =
<W 4m	3с
<W 4m

бс13	& to
бс13	1 1
h	a * .
5 C f g	M 2>
h	dx2

h •P\

1CO UP Г'	м{0 = 0;
Л2	м{0 = 0;
3c44
Aa
	(25.8)

Введем действительные функции и, w и о» при помощи равенств

uf> = и;

“1, " =	- 4 ^ +	c c f jh 2	дД ы	2
		3 c44	3 * i ^
		ccf ,ft2	дДы	3
“i " = —	3	3C44		2
	$ - (& ■ +
'1ЯЛ* Ди + со; + — -
15с.33		С44

дш
1 « \|	1
*1

дсо

5 ^ 1 3	дш;	З а ,Л	a p V
с44	4 "	-
с44		С«4	а * 1 'Г
			а * 1 'Г
5сс1з	дш	З а ,Л	_ а Л .
с44	+	С44	а*. Г
с44		С44	а*. Г

(25.9)

где

с =

’ С13

а 1 =

«о =

ctlc83

ЭС44

15с.33

Из формул (24.9) следует, что

в1 =

_ 4

( д и +

д д а .

5ссяя

За, А

(25.10)

с44 Дw +

с44

Если внести значения

функций

«з0)

в третье

уравнение (25.8),

то

получим

следующее

равенство:

ДДв =

- Д

- ^ г ( д Р - ^

гР) .

(25.11)

Согласно (25.11) функция 0Х из (25.10)

примет вид

е. =

- 4

( л“ + - ^ г ) -

<25Л2>

Легко проверить,

что четвертое

уравнение

(25.8)

после

внесения

внего значений моментов и$]и 0г и учета равенства (25.11) приводится

ктакому:

	л	(2 5 1 3 >
где	с<зс14	Что касается первых двух уравнений (25.8),
где	5ссцсэз	Что касается первых двух уравнений (25.8),
	5ссцсэз

то они удовлетворяются тождественно при выполнении равенства

Ао> — (1З — О.

(25.14)

Если же р = const, то система уравнений (25.8) приводится к та*

ким уравнениям:

Зр .

д » —

£0=

(25.15)

при значениях (25.9),

в которых

w = w;

аЛ= 0;

а2 =

- с1'зсы 4“ 5cciicS3 (с1з 4-

7БсСи4з

Приближение N =

3. Поскольку общее решение системы урав

нений

равновесия

изгиба

пластин содержит,

как это видно из п. 2

17,

бигармоническое решение

вплоть до

третьего

приближения,

то

рассмотрим еще

случай

N '= 3.

Система уравнений равновесия

в этом случае имеет

вид

/ ■ Л, 1111 л .

X .

____с4. д“зв

-----$ -(3/4'> +

7и{») =

0 ;

Scfa

А ,®

0ДС9

—

7и?) =

г « М

" +

^ - ( З в 1 +

70s) = -

J - Р-.

(25.16)

+ (си +

— %■

+ 5 ~

j -

42и®) =

+ f e , + е „>

+ 5 ^ j - ) -

*44

# -(З и р + 4 2 « ® )-0 ;

7с,

15с«

— Цг 01 4- -Зй- 6,-------------- -----i-

Я»

где

из

А*?

(А =

1, 3).

(25.17)

дх.

Введем, как и в предыдущем пункте, три действительные функции a, w и ю по формулам

u f = и;

		dx,	■+ a l	dw
				dxx
1	да	+	tXjh	dp \ .
+ “ о"	дх		c44
2				to il*

. / 1 . , а dA«

0, = _ ft^ _ ^ _ + aft2 _ «I»

2 dx, +

+.	a i _dadw		2	dx,
+		■dx2	2	dx,
a-ji		dP	\ .
	C44	ro	«■

w(t2‘ =

dh2Au -f- djtiy — d2h‘iAw +

a,ft

(25.18)

u44

A t o

cMh*

дЛа

<*Ф

dp \

14c44

dx2

c44

dxt

U ? =

» /t-г.**

dAu

, da»

. ,o

dAa»

ft 6 f t 3 _

6l _

_ _ £,af t 2 _

----- ^

3; -

cMh2

ЗА®

a:ah

dp \

в которых

14C44

dxj

^Г~дx^)^

____6crn c33 — £„^4 .

Зсс^Сзз — 7C44

(

c3 (6ce11c33 --C j3C44) .

45сязс44

’

f l l “

2 1 4

3 4

_42сс11с,33-4- ЗсцСзд— 7c18c44 .

u __

“

c2cn

•

а2 -

ТГ-;

> 0 -

1057

315C33C44

bx =

фцСзд

Зссп с33

7 4

cu (3 +

7c,)

- n ------ h

494

’

2 _

735^

7 4

— — H

C\3

^13^44

—

a 2

15c33

u44

сисаз

5^13

З^ц^зз (5ССПС33 + C13C44) — 7cf34

(25.19)

—

lObcc^c^

15C39

33M4

C44

75ccn cl3 *

cis

ЗСцСдз (5cCj|C33 -}- c18c44)

7 4 ^'44

105сСиСззс«4

15c.S3

Из (25.18) согласно (25.17) определяем

0. =	— h ( 4 - Аи +	ah2AAu + axAw — a2h2AAw +			Д/?);
1	V 3			c«	/	(2 5 .2 0 )
% = h ^bh2AAu +		bxAw — b2h2AAw----- Ap'j.
Подставляя значения функций «з0> и 0j, 0s				в третье уравнение
(25.16),	получаем равенство
		•5с3с83 д -	Зр__			(25.21)
	АДи — ААw - 7 j r &w+		а ъ р +	5ccn c33h		(25.21)
	АДи — ААw - 7 j r &w+		а ъ р +	5ccn c33h

Шестое уравнение (25.16) после внесения в него значения функций

«Л	\k =	1, 3) и учета равенства (25.21) приводится к такому:
	ДAw		ISccss л.7. г 525£ ^ “ _ 42р				а 0АР		(25.22)
	ДAw		с44Ла	Aw +	Сц Л*	СцА«	cu h	*	(25.22)
где «Ь°0=1‘ ~Г+		5сспся9 '
ь	t	CfSC44
Согласно		(25.22)	уравнение		(25.21)	преобразуется к		виду
ДДц =		Aw —			w — c44h	Д п —	(3 + 42c)	n	(25.23)
ДДц =		Aw —		cuA4	w — c44h	P	2	F .	(25.23)
		сп Ла		cuA4			сси Л

Учитывая равенства (25.22) и (25.23), моменты функций 0А из (25.20) можно представить таким образом:

(2 5 24)

- + _ S _ p) ,

Перейдем теперь к рассмотрению оставшихся четырех уравнений (25.16). Если внести в них значения (25.18), (25.24) и принять во вни мание уравнения (25.22) и (25.23), то нетрудно проверить, что они приводятся к одному уравнению вида

ДДш	« % -д в +		10^	ш= 0.	(25.25)
			‘Is'*4
Полагая в формулах	(25.18)	w =	w,
а х = « з = 0 ,	«„ =	- - СиСзэ		~

75ссиСзз

получаем уравнения

ААи = ■15с” Дш- -525ссзз	ш	,	3 +	42с
сп А2	т	+	^ Ь	5” /7;
^А4

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20237.79 Mб3Обеспечение надежности стабилизаторов напряжения при проектировании и производстве..pdf
#
12.11.20239.14 Mб1Обжиг в кипящем слое в производстве строительных материалов..pdf
#
13.11.202322.72 Mб0Обнаружение и исправление ошибок в дискретных устройствах..pdf
#
12.11.202312.6 Mб16Обнаружение, распознавание и пеленгация объектов в ближней локации..pdf
#
19.11.202329.24 Mб0Обобщенная нелинейная модель учета рассеяния энергии при колебаниях..pdf
#
12.11.202312.55 Mб0Обобщенная теория анизотропных оболочек..pdf
#
12.11.202317.06 Mб13Обогащение полезных ископаемых..pdf
#
19.11.202371.66 Mб16Оболочки и пластины..pdf
#
12.11.202321.81 Mб5Оборотное водоснабжение химических предприятий..pdf
#
12.11.202316.36 Mб4Оборудование для добычи нефти и газа. Т. 1.pdf
#
19.11.202328.38 Mб8Оборудование для добычи нефти и газа..pdf