книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек

или в матричной форме

/

(6.П)

где

)

~

^ rns (“ЗГ")

»

(6. 12)

\

и*

/ |яХл

U= (M01,4м4”....... «Г, «Г. «Ту;

F = (F f,

F f , F!,®...........Fl"'. F1,"’, F fV ;

штрих

обозначает транспонированную матрицу.

Предположим, что на части dSu границы dS заданы моменты ком­

понент вектора перемещений

4 * V «

= 0

( / - 1 , 2 , 3 ;

ft 610,

ЛГ»,

(6.13)

а на части dSp — моменты компонент тензора напряжений

offiva К

= Л!*'

и =

1, 2, 3;

к g (О, /У|),

(6.14)

причем

имеют место условия

dSuU dSp =

dS\

dSuП dSp — 0 .

r (!i> 1а)

осуществляет гомеоморфное отображение Я на область 5 сре­

динной

поверхности оболочки

( i , . y € ^ - > r ( | l t | 2) € 5 c / ? 3.

(6.15)

При

исследовании сформулированных

выше граничных задач бу­

дем пользоваться свойствами пространств

С. Л. Соболева

[691:

= {u\u £ L p(Q),

Dau £ L p(Q),

| c t | < / ) ,

Г6.16)

рде / ^

1; 1 ^ p <

со;

D<g“ =

' la l =

a i + « * «о

a 2> ° ;

(617)

U> (Я) — пространство

вещественных

функций

абсолютно

интегри­

руемых с р-й степенью по области Я.

Если

положить

/ =

1, р — 2,

что

W\ (Я) становится гильберто­

ределяются

равенствами

[72J:

(“■v)w,(a =

у

(6.18)

0.

ИUWlF^(D) =

"V (U- UV ‘(0) *

(6.19)

Пусть

всех

вещественных бесконечно диф­

С°° (Я) — пространство

ференцируемых функций

с компактным носителем в Я. Замыкание

функций

из

о

норме

(6.19)

обозначается через

о

СГ (Я) в

(Я),

W~~1 (Я) — двойственное к

о *.

пространство.

(Я)

L- (Q), U?2 (й)

будем пользоваться

пространствами

L2 (S),

W\ (S).

Нормы в них определяются

равенствами [67]

s

(6.20)

f f a u l '

+ lgrad su n d S .

2

s

Для вектор-функций и =

(uiC), u?\

u z\ ..., u\N\

и2N), u[N)),

компо­

ненты которых

принадлежат к одному из пространств L2 (Й),

W\ (й),

нормы будем выражать формулами

N

а

IU ||L*(U>

=

L

\

I «Iм||Ь(0>‘*

*=0 i=l

I

(6.21)

N

л

11 0 < н )

=

^

£

X

1 D au[>!) | . (Q),

w2<iw

Л=0 t=l а=0

произвольную систему функций

v\k) (i == 1, 2,

3; k £ [0,

N]), непре­

рывно дифференцируемых на 5

и непрерывных на S [JdS. Умножим

уравнения (6.8)

на

[k +

просуммируемих по индексу k от

0 до N и возьмем интеграл по области S. После интегрирования по

частям получим

выражение

(i£u,

v) =

a (u, v) -

2

U +

4 - ) f

v fr f'd s .

(7.1)

k=0\

1 I ds0

a (u, v) =

(k + -Х-) У hcuueis (и) efj (v) dS

(7.2)

a(u, v) = / (v),

(7.3)

зз

I (у) =

2 2 (* + 4 - ) ( И » № < * s + |

» W « f c j .

(7.4)

Замечание 7Л. К равенству (7.3) можно прийти иным путем, ис­

ходя из уравнений (6.1) с учетом соотношений (6.4) — (6 .6),

Допустим,

что Ги и Гр части границы Г области Q, которые

при

отображении г

переходят в dSu и dSp соответственно. Пусть / - > £ « =

= ха (0 (а =

1» 2) — параметрическое уравнение кривой Г. Тогда

элемент длины дуги dl границы dS определяется

равенством

* -

] / А>( P - f + А‘ (P - J di■

р -5>

и линейная форма f (v) примет вид

/(v>= 2

2 (* + -г) (И

Va абА +

(7.6)

,г р

/

где V а = АгЛ2,

задачи,

эквивалентной

Перейдем к формулировке вариационной

вем вектор

v =

(EJJ0>,

и?0), 0з°\

.... v[N), v{2N\

v(3 ]) кинематически допус­

тимым, если он

удовлетворяет условиям

v£H^(Q),

v f] =

0

(L =

1, 2,

3;

JfeGlO.W])

на

Г,

(7.7)

Введем

пространство функций

f v | v

=

(ol0), o p , o f ........... « Г . « Г

« D .

(7.8)

V =

v?]£W \ (Й),

v\k) = 0

на

Гц

с нормой,

определяемой равенством

IV ||v =

3

N

I

dt)W

2

2

6 *(G) +

2

(7.9)

3^a

{=1 k=0

a^l II

Предполагая F\k)^ L 2(Q),

Pt0 £ L2 (Гр) и

Cijts £ L°° (Q),

продолжим

равенство (7.3) по непрерывности

на

u,

v f V. Тогда

приходим к

следующей

задаче: найти

вектор-функцию u £ V такую,

что

а (и,

v) = /(v),

V v £ V.

(7.10)

J (u) = inf J (v),

(7.11)

vey

где

J{v) = -|-а (и , v) — /(v).

(7.12)

Вводя обозначения

т

, е?\

если

I =

/;

(8.1)

I (А)

если

•

•

eb-t-i,

i Ф

/,

а (и, и) — £

(* + 4 ")

И { ~ - fcutf* (и) +

с12е(к) (и) + си е[к) (и) +

-1- cu e\ki

jfi)

с*>

1

(и) + с1ЬеТ

(и) + с10еГ (и)]2+

<?цД22 1Л,Аи (U) +

"Ь

(и) +

(и) + A26e5f,(u) (и) + A2ee6ft>(и)]2 +

1

[A44e f)(и) +

( к )

+

Д33Д44

Д45е5г' (и) + Л46ебК>(и)]2 +

+ -А -

(и) +

(U)]* +

A

lep (и)1!1 ds,

(8.2)

^44^55

Дб5

J

где

С\5

*2s

С11

С 21

,

S €

1 2 , 6 1:

С2$

с и

С12

Си

^3s

С21

С22

C2s

»

[ 3 ,

6 1;

С 3]

С32

C3s

•

(8.3)

С11

С12

С10

Аоя —

&21

С22

с 2е

♦

« 4

СВ1

СВ2

^66

При этом предполагается, что выполняются неравенства

C

i s 0, AfS> 3

(/,

s —

1, 2,

, , , ,

6).

нородной системы уравнений. (6.8), (F f] =

0) и

предположим, что мо­

менты

внешних усилий

заданные на границе dSp,

равны нулю.

Тогда

имеем / (и) = 0

и, следовательно,

а (и,

и) = 0.

Принимая во

e[f (и)- 0 (i. / = 1, 2 , 3; кс (0. N]).

(8.5)

и(0) =

и0 + © А

г;

(8.7)

u<« =

0

(k =

1,

2,

. . . ,

N).

(8.8)

Из (8.8)

следует* что

и\к) =

u f =

u f =

0

(k =

1,

2, . . . , АО.

(8.9)

Пусть

и?,

«20), иТ — составляющие вектора

и<°) по

ортонорми-

рованному

базису elt

е2,

еа поверхности S. Тогда

+ и Ъ \ +

«з0)е3 =

и0 +

© А г.

(8.10)

Дифференцируя (8.10) по координатам £а (а =

1» 2) и считая при этом,

что и0, © постоянные векторы, будем иметь

боа^а “Н

ж

Ж

—

(а» Р — 1» 0&^Р),

(8.1 1)

-j- 6язв3 — ® А

где

">) _

1

ч

0>

+

I

дАа

„(О)

ьаа — ^

а

а

А<хА&

д%а

'

/П,

I

ди№

1

дА„

(П,

1

ди{®

.

,т

ва6==“

Ж

A ^A ^~ d ^~ Ua;

Ш =

(8.12)

(а,

Р = 1,

2;

ct

Р).

Отсюда получаем условия

ё£2с =

0;

— 0;

е{? = ©3;

Й? =

~ © 3.

(8.13)

Складывая

два

последних

равенства

(8.13),

приходим к

тождеству

ер

(и)

=

0, VJfeelO.JV].

(8.15)

Наоборот, если ер (и) =

0

(/,

j = 1, 2, 3) V k£ [О, Л/'] и

= О,

из равенств

е& (и) = 0 ,

Vfc£[0,

N],

согласно формулам

(6.5), (6.6)

находим

= u{3N) =

0.

(8.16)

Условия e{al (и) =

0 (а =

1, 2, k =

N, N — 1,..., 0)

с учетом значе­

ний (8.16)

приводят при ka Ф 0 к выполнению равенств

u&'=t4 ? =

= и Т =

0;

(8.17)

Й

=

0.

(8.18)

Наконец, из условий 4 $

(и) =

0, V Аг GЮ, N ] получаем равенства

;{°>=;<°2>=

0;

— 0.

(8.19)

Введем

вектор

© =

© ^

+

©2е2 -+* о)3е3 с

компонентами

ди{0}

7e2M2°4

©в =

—

0)1 “

а2

■+

(8.20)

а40)

1

дА

duf

-—

дА* ««”

“ з “

2 I

/I,

<?£,

________L „<Щ____!_

+

а ха 2

ag2

и'

а 3

А,А3

постоянная функция. Продифференцировав

ю

по

координатам £а,

получим два вектора, компоненты которых

можно

выразить через

ka©з, и составляющие тензора деформаций

eai

С учетом принятого

v\f —

as,

к Л и 0У>.

«!*> _

^

и дЛ

'<».

тЬ “

п as,

•

1 »

- T g -

ЛЖ

аг •

dop

+

<э|а

<8-22>

,<»>=

1 f

а»<А>

,

./(ft)

ь

dh

ot,r

Уз

( « = 1,

2);

Ta3

* a

+ v r - h

T& =

*?*,

в которыл

[■ *?= ч

u?A) =

s

(2fe -f

4s +

3) /I2sy}ft+2i+";

s = 0

o?e =

£

(2ft + 4s +

1)ft%S*+2!\

(8.23)

S=1

,№)

квадратичная форма, очевидно, отличает­

Построенная при помощи y\f

ную теорему.

Теорема 8.2. Следующие

два условия эквивалентны:

1 ) Y$’ (v) = 0, Vft<=[0,

Л/];

(8.24)

где v*0-' и v<l) — векторы из R* с компонентами вида

vi0) =

—

+

ах;

v f =

+ а2;

v(30>=

— b2Bt -f bx\ 2 -f b3\

%1) =

± Ь 2;

---------4-*ж;

Й’>= 0;

(8.25)

a, alt

а2 и

Ьи

Ь2,

Ь3 — произвольные вещественные

постоянные.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Определяя из второго

равенства (8.24)

моменты векторов

перемещений

v(0>=

Зре, +

tp e a +

Зре3;

v(l> =

v [ \ +

Й1)е2 +

v^e,;

(8.26)

v<*> =

О,

V& £[2, ЛГ],

Пусть vlf (v) — 0,

[О, N\, Тогда аналогично описанному выше

способу

получаем равенства

v f

= Ot

V k £ [ l,N ] ;

о^ = 0

( а *

1 ,2 ),

V k g [2,

N]\ (8.27)

<

-

0,

<°>

+г

= 0;

^

+

3 ,S>= 0;

dla

ft#

ft#

ft#

(8.28)

= 0 ;

0

(а,

0 = 1 ,

2;

а=£0).

а

-Щ— + - ^ |— =

Из (8.27) следует,

что

v(k) = 0, V

£

[2,

N],

Равенства

(8.28) вы­

полняются, если составляющие векторов v(0) и v(l) по

координатному

базису е, имеют вид (8.25). Таким образом, v =

v(0)

(£) у<1К

л.

г *

ратичной формы а (и,

и). Для ее оценки сделаем несколько предпо­

ложений относительно

областей Q,

5

и геометрических параметров

оболочки.

ограниченная область из R2

Допустим,

что

1)

Q — открытая

с кусочно-гладкой границей Г; 2) координатная поверхность S опре­

деляется при

помощи

отображения

г £ (С3 (Q))3; 3) параметры Аа, ka

вместе со своими частными производными по

являются непрерыв­

ными функциями на множестве Q, причем существуют две положи­

тельные постоянные

р., > 0 и р2 >

0

такие,

что

(Alt As, V а

=

/V l2) > | i 2.

Кроме того, выделим отдельно

неравенство

h I;

dkP

| < е 0

(< * ,0 = 1 .2 ),

(9.2)

3L

где 0 < е 0^ - н1—,

R0 = const > 0 ;

4)

полутолщина

оболочки h =

max /

1

dh

(9.3)

f

- я

Ei,S.en \

г | ) - * -

Рассмотрим случай,

когда

Ги =

Г

и,

следовательно,

V — V0 ~

о

= [W2 (Q)]n. Имеет вместо

Ги

Теорема 9.1. Если выполнены условия

1) — 4) и

имеет поло­

жительную меру,

то существует постоянная с0 > 0 такая,

что

а(u,

u )> /7 0||u|v..

(9.4)

Д о к а з а т е л ь с т в о ;

На

основе

неравенства

(6.7)

квадратич­

ную

форму а (и,

и) можно

оценить

таким

образом:

^ (u .-tO ^ C jE sM ,

(9.5)

где

Cj = -g- h0jx;

Е\ (и) — функционал

вида

Й (0 )

=

И

( 2

S

I«!/’(«) |2)d S .

(9.6)

S

\ * = 0 i . j = l

/

Разложим вектор-функцию

и

на

прямую

сумму

и =

и ©

и,

(9.7)

где и и и представим прямыми суммами

~~

N

N

(9.8)

U =

£

Ф и(Л);

u

=

S

® U<*>.

—

к=0

~

-

k=0

Здесь и(А) и и(А> — вектор-функции

вида

и<°> =

(up, аР ,

0...........О,

0,

0);

(9.9)

и

!!<"> = (0,

О,

О,

Л

0)

и<°> =

(О,

О,

u

f ,

О,

О,

0);

(9.10)

u<w>=

(0,

0,

0

0, 0, i i f )

Очевидно,

1 и |L*(S) — 1 u ||L«(S) +

|| u ||L*(S);

(9.11)

Иu Hw|(S) “

II H-Hw^sj "I" II “ HwJ(S)»

Iu 1L«(S)

2 I u(Al) ||L*(5);

IIu I|L*(.?> = 2

IIц(Л> IIL«(S);

A=0' -

-

-

^J?llwJ(Sj

A=0