книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек

Г + Г =

I

(23.6)

Г' =

(7 1 ? > _ г |,Г,+

2iTi?);

D' = 16слпЬР

(23.7)

(Ми1- M ir1-

2Ш}?5).

D + D -----4 2 ^ 3 -

+ ^ Й ’).

(23.8)

2с,ОЙ

Спир.

/71=—00

(23.9)

-!_< т<?+" =

S

=

J 8 P \

unn

Введем

обозначения

ф' (z) =

Ф (z), я|/ (z) = Y

(z) и

представим го­

ломорфные

функции Ф (z), Ч* (z)

в виде

Ф М =

Б а д - " ;

Т ( г ) -

т=0

т

(23.10)

/п=0

Очевидно,

что

ао +

«о =

(23.11)

*0 =

4сввЛ (Г ^ ) - 7 '\Т Ч 2 /Г (12)).

+ £,==().

(23.12)

v , =

Б

СУКЛт.р)*'"*,

[1. «,];

(23.13)

т= —оо

Vp =

т=S—ооС тВ Д (Ypp) ешФ, Р £ [rtj + 1, пг +

Л2],

/?

,

л

Г

где Ъ = ~ Т 1»

Р =

i f •

Х ,= S Й 5)/СгоК р )е <тф, s^ Il, л],

(23.14)

V

^г).(23->5>

г дер / ’

-----+

(ур;

СГ) =

/1? — i f S ---------- ----

( Т ^ +

7 lf);

4

К -

W +

L-< (v .

с Г ) - $> _

i/s?;

"Ж" +

Л* (Tpl dT1) — /и —

(7 я ,) — Г|"’ +

2Я1?1);

бб

'

+ ^ - 2 (У'р>

— t/й ,

m > 3;

(23.16)

+ * » < v . « И - / Г т) + i f i u

m > I;

(Ур\

Cm ) — ^m-2 (vsJ C^’) =

/Ц? — f/gj»,

m > 0,

а на «бесконечности»

пластина растягивается

постоянным усилием

Т\Т = р {р = const).

На рис. 12 представлены кривые изменения ок­

ружных

усилий Гфф

на

контуре

отверстия (г — R)

в точке £ = О,

Ф = -j-

от параметра

Rlh

при g =

2,6 и е — 1, 2, 3,

а на рис. 13 —

кривые изменения расщеплений силы S<pз от тех

же

параметров Rlh

напряжений а33. Эта

зависи­

2hff

мость представлена на рис. 15

П Voi

при значениях g =

10; Rlh =

__ $0

=

1.

Всестороннее

растяже­

4 4

- F

~

б)

—J-------

ние

пластины. Пусть Г||°’ =

=

Гм1=

р (р — const). В этом

случае офф =

2р.

Коэффици­

1

ент концентрации

не

зависит

o,2

OA

06

6,в

<

от

материала

и

геометриче­

Рис.

14.

ских размеров

пластины. Это

;

n

подтверждается

результатами

5

[661,

полученными асимптоти­

'33\r*#;ip*

11

У

ческим

методом и 189],

где

рассмотрено лишь первое при­

ближение.

3.

Исследование распреде­

ления

напряжений около кру­

гового

отверстия

в

пластине

при изгибе — кручении. Пусть

«бесконечная» пластина, ослаб­

0,5

10

■1,5

2,0

ZJ5

ленная

круговым

отверстием

Рис.

15.

радиуса

Rt

центр

которого

в

поле

изгибающих

совпадает с началом координат, находится

Ми03, Mi1?' и

крутящего

М \”]

моментов. Кроме того, будем считать,

17

гJ

(2/c+l)

(2&+1)

(2ft)

что к контуру отверстия приложены моменты огг

,

оГ(р

и ог^з »

которые относительно угловой координаты

можно представить в виде

разложений

4 - (о£*+1) -

iaT") =

Е

№ +,) -

i№+")*m<f>

*^6fl

m= —00

J - a g 4l=

S

- / £ ? ) .

(23.23)

'Cfl

mass— 00

Введем обозначения F' (z) =

f (z),

Ф" (z) = g (z) и

представим го­

ломорфные функции f (z), g (z)

в виде

f{z) = S

anz m;

g{z) =

£ bmz

m.

(23.24)

m=0

m=0

ао + Яо “

Л4Г + Л4ЙГ»

4Clcnh*

Ь° ~ 8слл№ (М & -

M ir' -

(23.25)

2iM[?X

flj Н— г — 0: 1ш &2 — 0*

(23.26)

w. =

S

СЙ’^ „ (Y,P)e,m».

p e n .

"ill

(23.27)

со

00

1. я, + я21

и>, -

2 СЙВД (YPP)elm ,

р 6 [я, +

/71=—oo

я

CO. =

2

C £ ,7 U v Jp )e 'm't .

« е п . я

+ I ] ,

(23.28)

/7 1 = — OO

где Yp — ^ kp\

Vj — д

-J- 2ла 2я.

Необходимо при этом отметить, что

используемые здесь

числа

л® (ос = 1, 2) могут не соответствовать аналогичным числам,

исполь­

Внося разложения (23.23), (23.24) и (23.27),

(23.28)

в граничные

условия (22.24), получаем следующую систему

уравнений:

/?а

+

L% ( t „ ;

Со'1) -

й Л

(v s; С П =

=

/1? - </8 -

-зт5—

+

M 'S’)-,

Т Г ( ^ Г “‘ —

г

+ L'" (1W С1'"’) -

(v>

с? 11) - Л ’ - ‘751’;

5, + Li,'1 (T„; 4

M)

- «Li'1' (v,; & ')

=

=

№ -

ifIS +

(M S ' - M r ’ -

2 / M

? ) ;

- ^ - ^ + MU(Y,; C{„w) -

iX™., (v,; Cj”) = /I" -

i/й,

m >3:

h1

(23.29)

C|Pfi

■nt -f

v?j-

Л*

-

Ш

h

Л.

[■

R*

m

a,m

3^+2

Om+2 T*

R

C ? )

= /Й + 'Ч

^

+l>, m > 0 ; k £ U ,n };

m lm 4-1)Л4

л(2*+1>-

—----- r-0

u* um

mh35l2k) „

__f — /л, . p<P>^__

^ € [I, n];

-f+(2fc>

(Vs*

,(s)

(2A)

■ 2ууЛ+Г~ fln*

>

l ,n

Cm) = /W.

m ^ O ;

A ^ |0, л].

Определив функции / (z),

g (z)

и i0 „,

cos и

моменты напряжений

(22.23) или (23.20) при k' =

2k +

1, k

— 2k,

согласно формулам

о,. + « - = ж

Z

<4<е +

3> р“ +' (о

+ в»*+11);

о„ _ а „ _ т ы = ж

£ ,« *

+ 3) Р*Ы (0 ( ^

+,) -

0«5+1’- 2to}“ +‘H

0,3 — *'Офз — “2^* ^

( 4 й + 1) P ik (£) ( а ^

— (ОфЗ1);

/Й+1’ = /£5+1' =

S

= о,

ft е №. я],

(23.31)

а на бесконечности задан один

изгибающий момент Ml“ ’ = М (Л1 =

= const)

Результаты вычислений

представлены на

рис. 16— 19. Из­

менение

окружных

напряжений о ^ от

отношения

R/h изображено

на рис 16 при ц =

2,6; 10; 20;

40.

На рис. 17, 18 дано сравнение с ре­

а„ =

где А =

k — коэффициент пропорциональности, Это

равенство

равносильно такому:

2А

®

+ - W P*ю

(23.33)

где огг —

4Л

g k%t

Opr = -gjp k%.