Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

12.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1815 16 17 18 > Следующая >>>

ДДдо —	i ^ f -Д W+	525cf f '■w =	0;	(25.26)
	с44Л2	СцЛ4
	45с>	Ю5с^
ДД© —	45с>	со =	О,
ДД© —	'<МДсо -f-	со =	О,

<W*a

эквивалентные системе (25.16) при р = const.

§ 26. ФОРМУЛИРОВКА ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ

Поскольку действие нормальных к поверхности пластины внешних нагрузок в основном связано с задачами изгиба пластин, то рассмотрим лишь эти задачи. Наиболее часто встречаются задачи изгиба пластин с жестко защемленным, шарнирно опертым и свободным краями. Рас смотрим их подробнее.

1. Случай приближения N =	1. Пусть	— частное решение урав
нения (25.5). Тогда
« =	мБ + н0,	(26.1)

где «Б — решение бигармонического уравнения, которое в соответст вии с результатами § 18 примем равным

иБ = Ф (г) + Щ Г)-----\IF (г) + гЩ ] .

Здесь Ф (z), F (2) — произвольные голоморфные функции.

Из формул (25.3) определим

2h	(/	да	^	cn„h2	9Аи	3(ь да> ^,	c14/i„	др
и+ _	\	Л?	1	Зс44	дг	^ дг	Зс44	дг
3
	\ д*

(26.2)

(26.3)

Подставляя в (26.3) значения функции и из (26.1), получаем

ий) = h	(г) -f- zF' (г) +		v\h2F"(z) —		Ф' (г) + i -^=-J -b huff,			(26.4)
_	4cn
где vt =	Зс« ’
	цИ) — ___ L J b .			2clf/ta	9Ац0	2ct4ft	X9/7 .	(26.5)
	“+	3	aJ	9c44	Лг	9C44	дг
По данному решению моменты напряжений определяются равен
ствами
off + off = 4 (Од* + Ов.) A2					(2) + Р' (2)] +		ч+ off:
off -	off -	2<> =	4 c„ft2 f i P (г ) + v ^ F * ( 2) -				-§- Ф ” ( 2) -
		- f			o f f - 2off;			(26.6)

o ? = 3cu h [vI/i’F M + i - |p ] + 5

$ .

< + og = - + С«ЛД«„);

Ss? - Sg- 2W‘>---- -5^ - -5- (“« + - 3^-^ + - i : ") •• (26.7)

»? = — % г - r <p + 3c‘*/l4“”)-

Согласно формулам (22.8) и (26.6), (26.7) находим

Мта + Ш	„ =2с0/13		(г)IF '+ F(55i -
- [IK W + Л		v - W •— f V	(г)
^	± ^	( ^ + ^ i r ) +	- f S - [“• +
	6с<
+	4 - v ^ (A u 0 + 1 5 - ) ] ( § ) ’};			(26.8)

Qv« = - - ^ - ^ - { < o + iv;ASi f ' w - f 7(55]) -

2ciiA3

r ^ o + i f r ) -

Рассмотрим значения главного вектора и главного момента всех сил, приложенных к контуру пластины. Согласно формулам (22.28) получаем следующие условия:

v*F (х) — v+xF' (т) + v'-xF' (т) — vlh*F' (т) + -|~Ф ' (т).—

-	^	+	^ x 4 c o = /<» +		^	+	Ci;		(26.9)
	и +		[F (т) -	Р Щ	= № +		С,
где С и Сх — произвольные постоянные;
			о
Р + Ч ¥ - ^ - & [ ь ь + - & ) * +
I		5	cia + св«	(а ,	р	\	dx	,
I	J^L С/_		cia + св«	(а ,	р	\	dx	,
+	з	л	4с„	l4"» +		Ц Т +
+-&■ [“ • + - Гv‘h‘ К				+ - 6 - )] -гг-}					(26.10)
+-&■ [“ • + - Гv‘h‘ К				+ - 6 - )] -гг-}

( к + - & ) * .

Рассмотрим упомянутые ранее граничные условия.

Жестко защемленный край. В этом случае

и ^ - О ;

и? = 0,

d 0, = 0

(26.11)

и, следовательно,

—т , ■; . . да

(26.12)

F (X) + т^ТГ) + V .W J 3 - - § - ® 7F> + '-ff- =

Г-,

тF (T)J = — и0.

Ф (т) + Ф (т)-----[тF (т) +

Шарнирно опертый

край. Имеем

и^ — 0;

Alvs “}■iMvv =* О,

(26.13)

Отсюда

следуют

условия

v*F (т) — v+xf' (т) +

v lx F' (т) — \*h2F" (т) -f

Ф' (т) —

— F

4- -тй- ™ = f\l) +

+ const;

(26.14)

4h*

Ф (т)----- -- тF (т)

—

2 М0*

Свободный край. Для свободного края имеем

Mvs -f iMw — 0,

Qva =

(26.15)

Условия (26.15) эквивалентны условиям (26.9).

2. Приближение N = 2. Обозначим через

w общее решение одно

родного,

а через

w0 — частное решение

неоднородного уравнения

(25.13).

Тогда

W = W+

WQ,

(26.16)

и из уравнения (25.11) следует,

что

и = иь -f

-У ^ 4 ■w +

и,

(26.17)

где ыБ — бигармоническая

функция,

н =

н0 +

С1ВС<4

О»о,

(26.18)

осцс83

причем

и0 — частное решение

уравнения

ДЛип =

3Р

1 —

с ^

(Cfa+ 5a?fi)

Др.

(26.19)

ccu №

cu h

5c2c‘f ,4

Принимая мБ в виде (26.2), найдем значения функций а+

и ai2,j

< ’ = / i [ f ( 2) + г П г ) +

‘F lz ) -

-f - ® 4 i)] -

З^ц^зз

J * L

j L i h ^ L +

' ,

(26.20)

' ■1

t i f =

v 2’/i2 (F' (2) + F 4 z )\ +

W +

u f ,

где vj =

v* =

2cj.

3C44

5c,

u[J! =

| - - | - ( ио+ ^ - Д

и 0 +

-й й 1 -

1 ^

CC11C33

®0 "b

3c:AA

(26.21)

ц М - ю

eH * ‘ / л ц

4 g - V

T I . - I

“3 - ^

I5c„

c„h )

’ 11

c c „c „

По данному решению определяем моменты напряжений и соответ

ствующие

граничные условия.

Приближение

N — 3.

Пусть

w =

w -Ь до0,

где

w — общее

решение однородного, a w0 — частное решение неоднородного уравне

ния (25.22). Тогда		из уравнения				(25.23)	имеем
		c.Cj./i2		А		Зс^^Саз	гу
п	I	c.Cj./i2		А		Зс^^Саз	17с^4	л	(26.22)
“ = “	+	i ^	T	A“’--------- ^ ------- »+«Р .					(26.22)
						7^4
где
Л7(Л		I	СоСп Да		.	ЗСгС^Сзз —		7 ^ 4	(26.23)
< =	“0 +				Д^о----------- ~ ---------щ о»				(26.23)
							к

причем и0— частное решение неоднородного бигармонического урав

нения

	З р			6с2с п сЭз — ci3c44 д р					CjCn a ah
л д“« =	«..*•				5сс„СаЛ*'1			1	35с,2, ЛЛ/5'		(26.24)
Согласно формулам			(26.22), (26.23) и (26.20) моменты компонент век
тора перемещений (25.18) в комплексной форме примут вид
«? =	Ф		«	+	з Р Й	+ v I^ F Iij -			4 - $ 4 5 -
_2су__аш_ ,					2Cj3ft8	ЗДда
	7с„
и? =		— v^*F"(z) +				2 (Зсе^сяя— 7с \|4) Л				а©
и? =		— v^*F"(z) +					49^4			дг
							49^4			дг
2c„fa3			адш		зш	аш	,		ад©	+	(26.25)
245с,			dz			F- +		7с,44	дг	+	(26.25)
	44		dz			дг		7с,44	дг
, ( 0)		Ф (z) +			Ф (г) — - \|- [zf (г) + zF (z)] +
“aJ=		Ф (z) +			Ф (г) — - \|- [zf (г) + zF (z)] +
	_j_	ci cxiha			д да__	Зс2сп сяа 7г^4			^ +	из0>;
		35сс,					7с2		^ +	из0>;
			•44				7с2
							,с44
« f		=	_	v2h> [F* (г) +			F' (г)] +		Ш+	й 2’,

_2	ейр	о ,,	зда<°>	2KJ ^	+ 2asA « -^ L +
и ¥	дг	2ah2	3	2KJ ^	+ 2asA « -^ L +
3	дг		дг	dz			dz
Kip						+	«э
А(3)
- * ( ■		dz		d2	dz		CK dz
- * ( ■

u f = dtf&uf* + d^o — dJFAw0 +

2oLjh dp .

CU dz

J).’

(26.26)

По данному решению определяем моменты напряжений и соответ

ствующие граничные

условия.

Примеры. В качестве примера рассмотрим задачу изгиба круг

лой жестко защемленной пластины, находящейся

под действием рав

номерно

распределенной

поверхностной

нагрузки

интенсивности

q(q =

— Р33 =

const).

Вводя полярную систему

координат г,

ср, за

пишем частное

решение

уравнения

(25.5)

таким

образом:

«о

(26.27)

64сиМ Z2Z2.

Тогда

имеем

Й°>

Л<1)

16cuh* •Z2Z

6c44h 2

(26.28)

и+’ =

Представим

голоморфные функции F (z), Ф (z) в виде

F (z)=

атгт,

Ф(г) =

bmi■т

(26.29)

т = 1

т«=0

а вещественное решение уравнения (25.6) — следующим образом:

ш =

Cm/m (|хр)

(26.30)

m = —оо

где /т (до) — модифицированная

функция

Бесселя;

р = -^ -и ; р **

х=

; R — радиус пластины.

Если

внести (26.28)

и (26.29),

(26.30) в граничные условия (26.12),

то получим относительно неизвестных коэффициентов алгебраическую систему уравнений. Отличные от нуля коэффициенты определяются из равенств

ai + ai "Ь ~2^г Л (р) Оо == —		и+ (R) е ,ф;
		(26.31)
^о + ^о-----2~	“Ь ai) =	— ^ (^)*

По данным функциям находим компоненты вектора перемещений.

Так, прогиб к3 - ' - 7г кз0) и радиальное перемещение кг =

Рг (С) и¥

пластины определяются формулами

« з =

—

3<7

128(4,Л*

(26.32)

В случае приближения # = 2 частное решение имеет вид

S P -

Зс88?

z*z2;

(1)________С33<? «25__

г;

64ccu c33/i3

и+'

16£C„Cgg

6Сц/(

(2) _

gfs?

, 5сс11свз

(С,д-f- С41) -J- ^3^44

(26.33)

и у =

^OcCjjCjg/i3

^ Н-----------, е . ".2- .-----------Я-

75сс^с^си

Присоединяя

к (26.29),

(26.30) функцию

W =

c j m(Yip) eim* ,

(26.34)

m =—oo

относительно

неизвестных

коэффициентов получаем

где Yi =

следующую систему уравнений:

« . + i - -

'« (* ) с . • - - ж

/г м

с » - —

“ ¥

<*> е_ "ф;

*0 + ь„ -

(а. + а,) + ^ 4 - '• (Vi)с. = -

Sp (Л);

“

(26.35)

i£ft* (% +

о,) + С0/ 0 (Tl) =

- a? (R).

Определив искомые функции, находим компоненты напряженно-дефор мированного состояния пластины. Аналогичным способом получаем решения задачи для последующих приближений. Результаты вычисле ний представлены в таблице.

Теория Трехмерная

<}R -4,543

И.	Н. Векуа	Классическая
ЛГ =	I—4,004	—2,747
N =	2—4,309
N =	3—4,420

Там же приведены значения прогибов срединной плоскости пла стины при R/h = 5, Е/Е' = 1, ЕЮ' = 2,5, v = v' = 0,25, где Е, v — соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона в пло скости изотропии, а v ', G — соответственно модуль упругости,

коэффициент Пуассона и модуль сдвига в нормальной плоскости. Для сравнения в таблице приведены значения прогибов, полученных на основе трехмерной теории упругости 173] и классической теории пла стин.

1. Нелинейные уравнения пластин. Рассмотрим нелинейные урав нения равновесия пластин. При этом ограничимся случаем, когда в уравнениях равновесия учитываются нелинейные члены, возникаю щие лишь от прогибов срединной плоскости пластины. Для прибли жения N — 1 указанные уравнения запишем таким образом:

ддП

dq(i2

дхг

дх0

д°1з

бо23

(0)

2о®

дх± +

дх,

0 ц

дх\

д°п

**18

-------г1-

013

0 ;

0Й =

дхх

дх0

д°1э

д°23

_L ag + J_

3Ч°'

о)

I Л(Ч

дх^

Ох,

0 п)- т 4г- +

20112)-----—

022

dx\

33 ^

0J^

дхгдх2

)

4-<7 =

где p =

— a33;

9 =

о3з

0.» ; 0.7 — моменты напряжении, вы

ражающиеся

через моменты деформаций ef} равенствами

0и

h (сп еи14 - с1аб22

с13езз);

0 1 2

сввНе\

022

/х(с12е(п

с1хе22 4* с13езз);

0if

^ 7 2)

0зз =

h [с13 (ап

4~ £22) +

с33бзз];

023 =

ciJie<23

{k = 0,

1),

в которых

7°) _

аир

т !

duf

_(0>_

+ 4 1

ч 01

£ц =

Ох,

дх.

622

—

дхй

ах„

efi

<ч°>

Sup

04°>

ди(?

U).

аде,

0*о

+ 4 -

0*,

0*2

£33

«з

- £

+ 4 - М";

£23 =

ад(0)

5лп +

(27.3)

0« < 1 >

JD — ад1»

£зз =

дх{

’

£22

0*3

’

JD __

dxi

аир

0*1

i(., _

№

612 =

4- ' дх*

£23=

0*9

Если внести значения (27.2), (27.3) в (27.1), то получим систему уравнений равновесия в моментах вектора напряжений

	duf>	dv№	Ц)
с*ДаР + (с1а4-свв) - ^	dxt	Р \ ,	i£ й- i ?	+
с*ДаР + (с1а4-свв) - ^	dxt	+ i 4 j +	.h Oxf	+

,,)

«»•«'(., a ^

- 0 ;

c j

(

duf>

duf

cMAi&}+ (cia +

~ ш г ) +

a*40>

duf

a^p

aa40) N

duf]

- 0 ;

(C12 +

с«^~д^х~~дхГ

Caa~dP

^ Cl1

dxl

dx„

Л « . ,

3cu ( 0 u f >

d 4 > \ , _ l j ( c

i £ .

:« л“3 +

i r \ ~ l ^

“ +

" a ^ r j+

|^ Cl1

a*2

a*40) \ / aup>

\22

a24 0,

а и р

сЦ 0)

—J 4- 4c«o а^аХг

ал,

а^Г +

аг40)

\c 12 I

‘ »

)

( ^

)

а] +

(27-4>

A О)

/г

О .Л

ац(|1>

d“2>

c44

a“30)

3c44

fl)

С„„ДИ|

(C1I + CM)

dXi

у gXi

dxt

)

а*,

л2

u[l) = 0;

a«(,1}

a 4 ‘

_a«p

^C44

.,(1) _ A*

CC»A^2

fj* #

a^o

4* (^ц “f-Ceg) ■dor.

d*i

-^ “ «2 = U ,

.(0,

3иЛ

Зс33.

(i)

I __

СлаДИз

dxx

+ “ a*7~(

Ла

—

aff*

,(0)

C 1 3

£ 4

4Л

a*i

Wa*..

- °

‘

2. Граничные условия. Обозначим через va (a = 1, 2) направля ющие косинусы внешней нормали к границе L области Q, занимаемой срединной плоскостью пластины. Тогда граничные условия на L имеют

вид

„(ft)., ]	_<*).,		_	п№.		_(*),, I		_(*)„	_	п№
ffll V, +	021 V2 =			Г\ ,		Ol2 Vj ■+■022V2 =				Г2
„(ft)	,	J_	<к)		а«р	I „(ft)	£«P		vi +
<Jl3	*Т	2	1 ^ 1 1		dxt	-i~ <J\|2		ах2	vi +
							v2 =		?P	(Л = 0.	1), (27.5)
где Р[к) г - моменты	заданных				внешних		усилий.
3. Система эквивалентных					уравнений.			Следуя методу,			изложен

ному в §§ 24, 25, уравнениям (27.4) можно придать иной вид. Для этого воспользуемся функцией напряжений F ( JCx, х 2). Тогда первые два

уравнения (27.1) удовлетворяются тождественно, а шестое уравнение

после внесения в него значений

из

(24.6)

примет

из (27.2) и озз

вид

3 Цс12 +

св0).сЯз — С|3]

С13^66ля^1

A F =

Д о ------------ :-----;-----"То----V----

2 с„ (с1а +

свя) Л2

С41 (с 1г +

с ов) Л2

(!) а2«30)

(I)

52« f

- f

.(И

5Ч 0> ^

2с*44Л

ail1(1) —

+ 2 o g - r - 1 —

dig

—

c*4.h

(27.6)

dxj

dxjdx2

дх*

Обратимся к условию совместности деформаций. Следуя [27J, из

первых трех равенств (27.3) определяем

«М*

Д*2(0)

Д2л(°)

o2u f

а2ы^

да4°>

*22

о е,2

(27.7)

“ а Г +

0дс^

a*xa*2

<3*10*2

)

а*(

б*1

Подставляя в (27.7) значения деформаций (24.5), получаем

AAF — 6с<3

Ли = ^ (c<g ~Ь с"в) ^

ауч0) V

аЦ0'

а2^ 1.

(27.8)

С11

-и

дхудх2

6*?

Переходя

к рассмотрению второй группы уравнений (27.1), введем

две вещественные функции и и

ю по формулам

— и;

О»

ftЛ

fг ди .

' c,.h2

ади .

0 © .

—

1 7 Г +

Зс»

дх,

—2

—дх,

+ -	ci i c6th			а	IF , и]
				a*i		wc44
	б^4
,0)	А	(		ди	сц№	ади
	3	\		- +	Зс44	а*а
			дхг1
+ ■	с11смк			а	[F , и]	сп Л
				а*а		+ « ь
	& &

(27.9)

з а©

~2~~dXf +

где обозначено

[F, и] =

д*Р

dzu

d*F

а*и

dzF

(27.10)

дх*

а*1

дхгдх2

ajc^jcj

1 5 ~

э ,;

Согласно равенствам (27.9) моменты напряжений

(а = 1,2) из (27.2)

примут вид

g W --------h

i - " *

аД“

CiiCoth

fР

ц] 4 - ■Зс“

—

4 -

ai3

\ 3

и г

бс44

а*х

а*2

_£!1Л__др_) .

зс44 а*,

„(0) _

fiift2

ади

[Л U } -

023 —

дх,

6С44

IM.дх,J

—

Зс44

а©

cn h

др

(27

1,1)

дх, +

Зс44

~дх,

}•

Если подставить значения (27.11) совместно с (24.5) в третье уравнение (27.1), то получим

( 2 7 1 2 )

Учитывая равенство (27.12) и формулы (27.9), представим моменты

напряжений

о $

(а, р = 1,

следующим образом:

_<!)

J o

i^ 2 (

3Ci'ac 44 \ / A f .

\ |

0 ,‘ ---------- Г

Г - * Г +

^ * 3 ? ) У

^ 1

Cjih /

Зс1

3°44 у d xf

2с*

-(1)

2 _^ы_ ^

2cith*

) ( А « Н

022

—ЧЧ д&

Зс,

| -

с44Л

•)

<27ЛЗ>

* =

| 2

(А“ + ~ё^г) +

clt/i

д3

ff,

дъа

6»о>

Зс44

дх?

Здг,

- ц

Подставив соотношения (27.11) и (27.13) в оставшиеся два уравнения

(27.1), получим		относительно			функции ю уравнение			вида
				Д о	зе,44	(о = 0.		(27.14)
Объединив	уравнения			(27.6),	(27.8),	(27.12),	(27.14),	получаем
		АДF — -Л&а- До = — J£ii±.cJ*)..h. [ц, ц];
				С11		си
	До					^18^66
	До	С44 (Ct2 Н" С4в) Л2				2с<4 (с12 +	св0) Л2 Д/7 Н
“	2с„Л [		я1',> ^ - +		2 < т Й ^ - + а 8 - 2 \|			c44ft ; (27.15)
“	2с„Л [			а*?	адгхад;2		•)	c44ft ; (27.15)
ДД« = ~ -^ 5 Ь _ (д						М] _ _ ^ Д		Зс.
ДД« = ~ -^ 5 Ь _ (д						М] _ _ ^ Д

В случае, когда обжатием по толщине пластины можно пренебречь (положить » = 0 и исключить из рассмотрения второе уравнение

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1815 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20237.79 Mб3Обеспечение надежности стабилизаторов напряжения при проектировании и производстве..pdf
#
12.11.20239.14 Mб1Обжиг в кипящем слое в производстве строительных материалов..pdf
#
13.11.202322.72 Mб0Обнаружение и исправление ошибок в дискретных устройствах..pdf
#
12.11.202312.6 Mб16Обнаружение, распознавание и пеленгация объектов в ближней локации..pdf
#
19.11.202329.24 Mб0Обобщенная нелинейная модель учета рассеяния энергии при колебаниях..pdf
#
12.11.202312.55 Mб0Обобщенная теория анизотропных оболочек..pdf
#
12.11.202317.06 Mб13Обогащение полезных ископаемых..pdf
#
19.11.202371.66 Mб16Оболочки и пластины..pdf
#
12.11.202321.81 Mб5Оборотное водоснабжение химических предприятий..pdf
#
12.11.202316.36 Mб4Оборудование для добычи нефти и газа. Т. 1.pdf
#
19.11.202328.38 Mб8Оборудование для добычи нефти и газа..pdf