книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях

Г л а в а 4

Кинематические методы расчета на приспособляемость. Приспособляемость толстостенных сосудов

Проблема определения параметров предельного цикла может быть сформулирована как неклассическая вариационная задача и на основании кинематической теоремы о неприспособляемости — аналогично тому, как это было сделано при использовании стати­ ческой теоремы (см. гл. 3). Пусть по-прежнему неизвестен один из параметров, определяющих внешние воздействия (постоянные или изменяющиеся во времени), обозначим его через р. Осталь­ ные параметры внешних воздействий в условиях предельного цикла будем считать заданными.

Тогда в соответствии с преобразованной формулировкой кине­ матической теоремы (§ 6) задача состоит в отыскании такого распределения приращений пластической деформации за цикл Де"/о (механизма разрушения), которое доставляет минимум искомому

Напомним, что напряжения на фиктивной поверхности теку­ чести а(£у*, входящие в условия (4.2) и (4.4), являются функциями «упругих» напряжений от переменных внешних воздействий. Неравенство (4.2) предусматривает возможность разрывов поля перемещений [см. (1.69), (1.70)], которые учитываются суммой интегралов в его правой части. Ассоциированный закон, связы­ вающий вектор приращения пластической деформации за цикл

82

ная поверхность текучести или (и) объемлющий годограф пере­ менных напряжений кусочно-линейны. В общем случае, когда эти условия не выполняются, справедливо менее удобное соотно­ шение (1.58).

Соотношения (4.3), являющиеся дифференциальными уравне­ ниями относительно приращений остаточных перемещений, до­ пускают бесчисленное множество решений и могут рассматри­ ваться как описание «управляемого процесса». Фазовыми коорди­ натами и управлениями в этом «процессе» являются соответственно компоненты приращений остаточных смещений Aui0 и прираще­ ний пластических деформаций Ае'//0 (допускающие разрывы). Условия (4.2) и (4.4) формулируют ограничения, накладываемые на фазовые координаты и управления. Качество «процесса» оп­ ределяется критерием оптимальности (4.1).

Таким образом, задача (4.1)— (4.4) может трактоваться как проблема математической теории оптимальных процессов. Отсюда

вобщем следует, что в простейших (одномерных) случаях она относится к области применения принципа максимума Понтрягина [31 ]. Однако получить решение задачи (4.1) — (4.4), сформу­ лированной на основании кинематической теоремы, этим путем оказывается существенно более сложно, чем при решении задачи

всоответствующей статической формулировке (§ 12). Затрудне­ ние вызывает использование интегрального неравенства (4.2), связывающего между собой совокупности значений фазовых ко­ ординат и управлений (при статической формулировке такие связи были локальными). Экстремальные задачи такого типа (в континтуальной постановке) требуют еще разработки рациональных методов решения.

Дискретная форма задачи (4.1)—(4.4), получающаяся в ре­ зультате замены дифференциальных уравнений (4.3) системой ал­ гебраических уравнений, наложения ограничений (4.4) в конеч­ ном числе точек и алгебраического представления основного не­ равенства (4.2) путем замены интегралов конечными суммами, образует задачу математического программирования. При кусочно­ линейных условиях текучести и предположении о малости де­ формаций и смещений получаем задачу линейного программиро­

вания.

Определение условий приспособляемости с помощью симплекс-

.метода, как известно, довольно трудоемко (требует в общем слу­ чае использования ЭВМ). Оно оправдано, поэтому применительно к условиям прогрессирующего разрушения лишь тогда, когда не имеется возможности (без помощи расчета) сделать достаточно обоснованное предположение о характере ожидаемого механизма разрушения. Если такого рода предположения (хотя бы с точ­ ностью до одного или небольшого числа параметров) возможны, исходя из особенностей конструкции и имеющегося уже инженер-

83

ного опыта, весьма эффективны приближенные методы. Нагляд­ ность геометрических представлений, с которыми связаны кине­ матические методы, обеспечивает в этом случае большие возмож­ ности по сравнению со статическими методами, требующими за­ дания статически допустимых полей напряжений.

К приближенным кинематическим методам примыкает также метод догрузки, поскольку он основывается на кинематических представлениях и также, в общем случае, определяет оценки «сверху» для параметров предельного цикла.

§ 16. Применение методов математического программирования к задачам приспособляемости в кинематической формулировке

Методы линейного программирования в задачах приспособляе­ мости, сформулированные на основе кинематической теоремы, были применены впервые, по-видимому, А. А. Чирасом [62, 63]. При этом рассматривались лишь одномерные (стержневые) си­ стемы, подверженные действию переменных механических на­ грузок. Было показано, что задачи линейного программирования, сформулированные на основе обеих фундаментальных теорем, образуют двойственную пару, что позволяет с помощью одних лишь формальных математических правил (без использования терминов механики) получать одну дискретную формулировку из другой.

Заметим, что последнее обстоятельство было использовано авто­ рами работы [76], которые, применяя преобразованное выраже­ ние теоремы Мелана (приближающееся по форме к варианту этой теоремы, данному в § 4), на основании двойственности задач ли­ нейного программирования получили дискретную формулировку кинематической теоремы, не содержащую (аналогично рассмо­ тренной в § 6 формулировке) текущего времени.

Применительно к изотермическим и неизотермическим зада­ чам приспособляемости сплошных тел, сформулированным на основе кинематической теоремы, методы линейного программиро­ вания (в частности, симплекс-метод) использовались, по-видимому впервые, в работах [7, 13]. Ранее эти методы нашли приме­ нение при анализе предельного равновесия оболочек и пластинок

Свойства материала всех стержней будем считать одинаковыми и не зави­ сящими от температуры, а балки, соединяющие стержни, — абсолютно жест-

84

Наибольшие и наименьшие допустимые значения не зависящих от времени нормальных сил, определенные в соответствии с выражением (1.44), приведены в третьем столбце табл. 4.1, а соответствующие им знаки приращений пластиче­

ских деформаций Де;, удовлетворяющие соотношению (4.4), указаны в последнем столбце этой таблицы.

Предполагая, что в общем случае за время цикла в каждом стержне могут иметь место различные режимы течения, представим Де* как суммы приращении деформаций растяжения ( Де/ ) н сжатия ( —Дет“):

85

Приращения деформации Де/ и приращение перемещения б связаны усло­

Таким образом, задача об определении параметров предельного цикла фор­ мулируется следующим образом: при условиях (4.7)—(4.9) и (4.11) требуется

отыскать такие значения переменных Де+, Дв~, которые обеспечивают минималь­

ное значение параметра'/? при заданном параметре q (либо наоборот, min q как функцию р).

Особенностью данной задачи является наличие в системе ограничении [в ус­ ловии (4.9)] произведения неизвестных — перемещения б и параметра р. Однако в условиях прогрессирующего формоизменения, когда приращения перемещений б отличны от нуля (а лишь в этом случае, как отмечалось, оправдано применение аппарата математического программирования), нетрудно преобразовать задачу к виду, позволяющему использовать алгоритм, приведенный в § 13. Поскольку система ограничений задачи определяет приращения деформаций и смещений лишь с точностью до неизвестного множителя, а работа внешней нагрузки на приращениях смещений положительна, можно принять, что

Подставим это значение в неравенство (4.9) и одновременно упростим систему ограничений, исключая из нее условия-равенства. Для этого уравнения (4.11) с учетом соотношений (4.7) и (4.12) решим относительно каких-либо двух не­

известных, например, Де^- и Де^\ После соответствующих преобразований система ограничений принимает вид

Р — 2(1 — ? * ) A ef — (1,8 — 3<7*) Д е^ — 1,8 АвТГ — (4 — <7* ) Де^ — 3 ^ 0 ;

чтобы воспользоваться изложенным в § 13 алгоритмом решения задачи макси­ мизации. Условия задачи (4.13)—(4.15), (4.17) представлены в форме табл. 4.2. Переменные в верхней строке этой таблицы неотрицательны [условие (4.15)], поэтому расчет начинается с поиска опорного решения. Оно получается после двух шагов модифицированных жордановых исключений, иллюстрируемых табл. 4.3 и 4.4. Разрешающие элементы выделены в табл. 4.2 и 4.3 полужир­ ным шрифтом. В табл. 4.5 приведены результаты первого шага отыскания опти­ мального решения (соответствующий элемент выделен в табл. 4.4 полужирным

86

87

88

рядом. Прямая D C отвечает условию знакопеременного течения (в первом стержне) <7* = 1. Его нетрудно получить, используя данные табл. 4.1: при <7* = 1 область допустимых значений усилий для первого стержня выро­

ждается.

§ 17. Расчет условий прогрессирующего разрушения плоского диска с помощью симплекс-метода

На этом примере рассмотрим основные особенности примене­ ния методов линейного программирования к решению задач приспособляемости в кинематической формулировке для сплош­ ных тел.

Пусть условия задачи остаются такими же, как в примере 2 § 14, где параметры предельного цикла были определены с по­ мощью статического метода.

Задача об определении границы области приспособляемости плоского диска формулируется на основании кинематической тео­ ремы следующим образом. Требуется отыскать минимальное зн а­ чение параметра центробежных сил

ДеГ» ^Сф

при выполнении условия (4.2), которое принимает в данной задаче вид

1 1

и соотношений типа (4.4) для фиктивной (кусочно-линейной) поверхности текучести

В (4.25) а?*, (1ф* — соответственно радиальные и окружные напряжения на фиктивной поверхности текучести, которые для удобства будем считать отнесенными к пределу текучести os; Де", Дбф — приращения радиальных и окружных пластических деформаций за цикл; Ли — приращения радиальных перемеще­ ний, отнесенные к наружному радиусу диска R; pv — относитель­ ный радиус, на котором имеет место разрыв радиальных переме-

89

щений на величину AuVt также отнесенную к наружному радиусу диска.

Фиктивные поверхности текучести для точек рассматриваемого диска описываются уравнением (см. § 14)

Вид фиктивных поверхностей текучести, полученных для раз­ личных точек диска при изменении значений параметра <7*, пока­ зан на рис. 4.3. Нетрудно убедиться, исходя из условия (4.27), что при

фиктивная поверхность текучести представляет собой шестиуголь­ ник для всех точек диска. При

равны нулю и фиктивные поверхности определяются только ра­ диальными напряжениями; при <7* > 1 они представляют собой параллелограмм (рис. 4.3, а).

Преобразуем теперь неравенство (4.23) к виду, более удоб­ ному при применении аппарата линейного программирования. Примем (аналогично тому, как это было сделано в примере, рас­ смотренном в § 16) множитель при параметре р в левой части неравенства, с точностью до которого определяется механизм разрушения, равным единице:

Напомним, что условие (4.30) выполняется только при прогрес­ сирующем формоизменении, когда приращения перемещений за цикл Аи отличны от нуля хотя бы в некоторых точках диска.

Приращения деформаций за цикл Аг"г и Де'ф представим в виде сумм составляющих, отвечающих реализации каждого из шести возможных режимов течения (см. рис. 4.4, а):

90

С учетом условия (4.25), связывающего приращения дефор­ маций в (4.31) с напряжениями на фиктивной поверхности теку­ чести, работа напряжений о*?*» аФ*> входящая в подынтегральное выражение правой части неравенства (4.23), может быть представ­

лена следующим образом:

<4* Де, + <4* Двф = [1 — р)1 (Ав+ + ДеГ) +

91