книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях

3.Независимо от того, является действительная поверхность текучести регулярной или сингулярной, на фиктивной поверх­ ности появляются ребра (угловые точки), если в результате изме­ нения одних лишь переменных напряжений в данном элементар­ ном объеме может быть реализовано более одного режима течения.

4.Исчезновение граней (участков) на фиктивной поверхности текучести, соответствующих граням или участкам на действитель­ ной поверхности текучести, означает, что соответствующие нм

режимы течения не могут быть реализованы в предельном цикле. Однако вследствие реализации режимов течения, соответ­ ствующих соседним граням, вектор (1.27) может получить напра­ вление, нормальное по отношению к исчезнувшей грани (участку) фиктивном поверхности.

§ 6. Дальнейшее преобразование кинематической теоремы. Условия возникновения основных предельных состояний, вытекающие из преобразованных формулировок фундаментальных теорем

Воспользуемся принятым выше разделением напряжений на изменяющиеся во времени и постоянные составляющие (1.42). Последние могут быть выделены из условия (1.34) и с помощью принципа виртуальных работ (1.18) выражены через соответству­ ющие нагрузки. Тогда условие непрнспособляемостн (1.34) примет следующий вид: ' *

Учитывая, что интегрирование по времени и по объему тела (или по его поверхности) взаимно независимы, преобразуем левую часть неравенства, используя выражение (1.29):

Для выполнения условия непрнспособляемостн, в соответствии с приведенной выше теоремой, необходимо и достаточно, чтобы

32

неравенство (1.59) выполнялось при таком допустимом цикле

скоростей пластической деформации sly0, который минимизирует его правую часть. Отсюда, в частности, следует, что абсолютный минимум последней отвечает строгому решению задачи об опреде­ лении условий нарушения приспособляемости (параметров предель­ ного цикла). Действительно, в предельном цикле скорости пласти­

ческой деформации VijQ могут быть отличны [от нуля только в те моменты времени, когда изменяющиеся в течение цикла упругие напряжения наиболее близки к соответствующей точке поверх­ ности текучести (определяемой, согласно ассоциированному за­

кону течения, вектором е^0). В противном случае после того, как

достигнуто значение б^о =h 0, всегда можно было бы найти такую программу дальнейшего нагружения, при которой в некоторой области тела началось бы пластическое течение (т. е. цикл не был бы предельным). Таким образом, правую часть неравенства (1.59) можно записать в виде

Поскольку последнее выражение определяет некоторые стацио­

нарные значения разностей a t;- — o\fXyстановится возможным даль­ нейшее преобразование, при котором должна учитываться мини­ мизация по режимам течения.

Предположим, что в каждой точке тела в условиях прогресси­ рующего разрушения реализуется лишь какой-то один (единствен­ ный) режим течения, которому отвечает соответствующее (ста­

Если напряжение на поверхности текучести at7 в течение цикла не изменяется (его изменение может быть связано с температурной зависимостью предела текучести), то

X

где определяющие значения переменных напряжений находятся из условия

причем соответственно смыслу теоремы действительному меха­ низму разрушения отвечает минимум правой части неравенства (по возможным распределениям приращений деформаций за цикл). Заметим, что для действительного механизма условие (1.65) не­ посредственно следует из соотношения (1.10) постулата Друккера.

В более общем случае в течение цикла, по крайней мере в не­ которых точках или областях тела, возможна реализация не од­ ного, а нескольких режимов течения благодаря изменению дей­ ствующих переменных напряжений (см. § 5). Каждому из режимов

где ti — число фактически реализуемых в течение цикла режимов течения в точке тела; (Де'^оЬ — приращение пластической дефор­ мации в одном из режимов при соответствующей [определяемой

для этого режима аналогично (1.64)] разности — о$х. Общее приращение пластической деформации за цикл, связанное с при­ ращениями остаточных смещений Aui0 соотношением (1.28), равно геометрической сумме (Де'^о)^.

Разности напряжений определяются в правой, части неравен­ ства (1.67) таким образом, чтобы их проекции на некоторое напра­

вление при изменяющихся во времени напряжениях o\fx были минимальны. Если эту операцию проделать для всех возможных направлений вектора приращений пластической деформации, ко­ нец вектора (а/;- — ai;T) опишет в пространстве напряжений зам­ кнутую поверхность, определяющую, согласно (1.42), такие ми­ нимальные значения постоянных напряжений

при которых их сумма с напряжениями о ^ , изменяющимися во времени, достигает поверхности текучести. Очевидно, что эта по­ верхность совпадает с фиктивной поверхностью текучести, которая согласно (1.44) определяет максимальные значения векторов по­ стоянных напряжений в точке тела при условии, что их сумма с вектором напряжений, изменяющихся во времени, не выходит за пределы поверхности текучести ни в один момент времени.

34

Используя представление о фиктивной поверхности текучести и учитывая свойства этой поверхности, рассмотренные в § 5, можно записать условие неприспособляемости в более компактной форме:

Если поле приращений перемещений имеет разрывы A'ui0 на некоторых поверхностях внутри тела, то правую часть нера­ венства (1.69) нужно дополнить членом, учитывающим соответ­ ствующую работу напряжений на фиктивной поверхности теку­ чести [аналогично подобному условию предельного равновесия],

с приращениями А'и10разрыв следует представить в виде быстрого, но непрерывного изменения перемещений Aui0 и найти соответ­

ствующие деформации. Последние связаны с напряжениями а?/* ассоциированным законом течения в форме (1.57) или (1.58).

Кинематическая теорема о приспособляемости может быть те­ перь сформулирована следующим образом. Приспособляемость невозможна, если существует поле кинематически возможных [удо­ влетворяющих условию (1.28)] приращений пластической дефор­ мации за цикл Де^о, при котором работа напряжений на фиктив­

ной поверхности текучести ср (а?/*) = 0 для всего тела, включая поверхности разрыва перемещений, меньше, чем работа не зави­ сящих от времени составляющих внешних нагрузок на соответ­ ствующих приращениях перемещений Aui0. При этом принима­ ется, что вектор приращения деформаций Де^-о связан с напря­

жениями сг?у* на фиктивной поверхности текучести соотношениями (1.57) или (1.58), вытекающими из ассоциированного закона те­ чения.

Таким образом, преобразованные формулировки фундаменталь­ ных статической и кинематической теорем позволяют расчленить решение задачи о приспособляемости на два этапа, которые должны выполняться последовательно: 1) построение для каждой точки тела фиктивной поверхности текучести; 2) решение экстремальной задачи, уже не содержащей текущего времени. Вторая часть задачи отличается от обычной задачи предельного равновесия формально лишь тем, что вместо действительной поверхности текучести здесь приходится иметь дело с фиктивными поверхностями, индивидуаль­ ными для каждой точки тела, в зависимости от действующих в ней переменных (изменяющихся во времени) напряжений. Последнее можно проиллюстрировать на примере кинематической теоремы,

сопоставляя соотношение (1.69) с соответствующим соотношением теории предельного равновесия [26]

где 8?/ = 8i/0 (в обоих случаях, для простоты, возможность разрыва поля перемещений не принимается во внимание).

Из сопоставления неравенств (1.69) и (1.71). однако, вытекает не только их аналогия, но и существенная особенность задачи о приспособляемости, состоящая в том, что у фиктивно неоднород­ ного тела возможны два принципиально различающихся типа пре­ дельных состояний, одно из которых является невозможным для. тела, не воспринимающего переменных воздействий, с которыми связана фиктивная неоднородность.

Предельное состояние первого типа будет достигнуто, если хотя бы для одной из точек тела область, ограниченная фиктив­ ной поверхностью текучести, выродится в линию или точку. В этом случае очевидно, что не существует никаких остаточных напря­ жений, которые в сумме с напряжениями от внешних воздействий дали бы безопасное напряженное состояние в соответствующей

.точке (или точках) тела.

Заметим, что роль остаточных напряжений сводится здесь лишь к изменению характеристики цикла напряжений в объемах тела, оказывающихся в опасном состоянии; их распределение во всех остальных точках тела не является единственным *. Требу­ емые остаточные напряжения согласно теореме Мелана обязательно возникнут, если только они не противоречат статическим крае­ вым условиям.

Согласно кинематической интерпретации вырождению фиктив­ ной поверхности текучести в линию (или точку) отвечает такое пластическое течение, при котором приращения пластической де­ формации за цикл повсюду в теле равны нулю ( Д е = dail = 0), хотя в течение цикла скорости пластической деформации в некото­ рых точках тела отличны от нуля. Предельное состояние этого типа получило название знакопеременного пластического течения.

Отметим, что при определении предельных значений параме­ тров нагрузки в этих условиях достаточно ограничиться анализом изменения переменных упругих напряжений в каждой отдельно взятой точке тела. Непосредственное использование теорем теории приспособляемости в конкретных задачах не является необхо­ димым. В общем виде доказывается [для этого может быть исполь­ зована форма (1.69) кинематической теоремы], что знакоперемен­ ное течение обязательно возникнет, если наибольшее изменение напряжений за цикл в какой-либо точке тела превышает удвоен­

* Вопрос о единственности напряжений в предельном цикле рассматрива­ ется в работе 17].

36

ный предел текучести. Соответствующее предельное условие можно представить в векторной форме

в одном из полуциклов, которая определяет возможные направле­ ния нормалей к поверхности текучести.

различными авторами с использованием разнообразных анали­ тических и численных методов, когда опасным состоянием явля­ ется знакопеременное течение. При многопараметрической нагрузке знакопеременная пластичность возможна и при несколько мень­ ших абсолютных значениях амплитуд напряжений. Необходи­ мые условия обычно нетрудно определить в каждом конкретном случае.

В другой ситуации, когда фиктивные поверхности текучести повсюду в теле являются невырожденными, приспособляемость обеспечивается лишь при условии, что можно найти распределе­ ние допустимых (внутри фиктивных поверхностей текучести) постоянных напряжений, уравновешенное согласно уравнениям (1.1), (1.3) заданными постоянными составляющими нагрузок. Опасным состоянием, с которым граничит приспособляемость в этом случае, является накопление в каждом цикле пластической деформации одного знака (прогрессирующее разрушение) *. Именно в этом случае проблема приспособляемости требует реше­ ния нетривиальной задачи предельного равновесия согласно не­ равенству (1.69), которое отличается от (1.71) лишь использо­ ванием уравнений фиктивных поверхностей текучести вместо дей­ ствительных.

Задача определения условий прогрессирующего разрушения (формоизменения) является, таким образом, основной в теории при­ способляемости. Именно этой задачей, ее актуальностью для ряда областей техники может быть оправдано развитие методов данной теории, использование современного математического аппарата.

Нетрудно показать, что если распределения определяющих зна­ чений переменных напряжений [которое в наиболее простом слу­ чае находится из условия (1.65) ] во всех точках тела, где прираще­ ния пластической деформации в рассматриваемом механизме раз­

* Иногда при сложном напряженном состоянии в некоторых областях тела накопление односторонней деформации в одном направлении сопровождается знакопеременным пластическим течением в другом направлении (при невыро­ жденной фиктивной поверхности текучести). Эта ситуация иллюстрируется т примере диска в гл. 5.

37

Г л а в а 2

Обобщенные переменные в задачах приспособляемости

Включение в сферу теории приспособляемости объектов типа оболочек и пластинок в значительной мере связано с вопросом о воз­ можности использования обобщенных переменных и соответствую­ щих поверхностей текучести (часто называемых поверхностями взаимодействия в отличие от поверхностей текучести для локаль­ ных напряжений). Использование обобщенных переменных в со­ противлении материалов, прикладной теории упругости и при анализе предельного равновесия конструкций позволяет умень­ шать число неизвестных в задаче, исключая из основных уравне­ ний один из аргументов — координату в направлении толщины (оболочка, пластина) или высоты сечения (брус).

В качестве основы для введения обобщенных деформаций (или скоростей деформаций) используются обычно некоторые гипотезы о законе распределения, деформаций (их скоростей), носящие ярко выраженный кинематический характер (гипотеза плоских сечений для бруса, гипотеза прямых нормалей для оболочки или пластинки). Обобщенные напряжения (усилия) определяются из условия ра­ венства их работы на обобщенных деформациях (скоростях) работе соответствующих напряжений на физических деформациях (ско­ ростях).

Когда повторные нагружения приводят к локальному знако­ переменному течению, для предположений о распределении пла­ стических деформаций по толщине объекта, как правило (если исключить тривиальный случай однородного растяжения—ежа-' тия), отсутствуют какие-либо основания. Вместе с тем в данной ситуации нет необходимости в использовании обобщенных пере­ менных, поскольку задача определения параметров соответствую­ щего предельного цикла решается естественным образом в напря­ жениях, так как именно их максимальными значениями (ампли­ тудами) определяется предельное условие. В частности, здесь удобно использовать критерий вырождения фиктивной поверх­ ности текучести (см. § 4) или непосредственно достаточные усло­ вия (1.72), (1.73).

Таким образом, применение обобщенных переменных приоб­ ретает смысл лишь в связи с определением условий прогресси­ рующего разрушения. При этом традиционное, характерное для

39

Рис. 2.1

задач предельного равновесия, определение обобщенных усилий и соответствующих поверхностей взаимодействия по «мгновенным» значениям напряжений при повторно-переменном нагружении допустимо лишь при выполнении определенного условия (которое ниже будет сформулировано). По-видимому, впервые это обстоя­ тельство было отмечено Койтером [82] при обсуждении теоремы Нила о приспособляемости стержневых систем в обобщенных пере­ менных (изгибающих моментах, углах поворота сечений). Койтер заметил, что эта теорема несправедлива в случае поперечных се­ чений, не симметричных относительно нейтральной оси.

Пример (рис. 2.1) показывает, что в этих условиях в части се­ чения, расположенной между начальным (упругое состояние) и конечным (упругопластический изгиб) положениями нейтраль­ ной оси, напряжения при уменьшении внешнего момента увели­ чиваются. Отсюда следует, что в предельном цикле напряжения в точках, принадлежащих одному поперечному сечению бруса, достигают предела текучести неодновременно. Этого не может, ко­ нечно, отразить анализ, использующий обычное представление об изгибающем моменте. Заметим, что данный пример иллюстри­ рует возможность накопления деформаций при циклическом

«упругих» напряжений, уравновешенных моментом М = Л4тах, представлено на рис. 2.1, б.

Неизохронное достижение поверхности текучести (в предель­ ном цикле) напряжениями в точках, принадлежащих одной нор­ мали к срединной поверхности, весьма характерно для пластин и оболочек, подверженных повторно-переменному чисто механи­ ческому и тем более тепловому нагружению. Только в тех случаях, когда взаимное влияние растяжения, изгиба и кручения отсутст­ вует или в связи с принятыми допущениями может не учиты­ ваться, традиционное определение обобщенных усилий допу­ стимо 198].

40

§ 7. Общий метод определения поверхностей взаимодействия

Напомним метод, используемый для введения обобщенных пе­ ременных в задачах предельного равновесия [23].

На основании гипотезы Кирхгофа распределение скоростей пластических деформаций по толщине z оболочки (пластинки) записывается в виде

по толщине оболочки устанавливается для каждого возможного

соотношения компонент хар, еа$ с использованием выражения (2.1) и ассоциированного закона течения (1.11). Таким образом, обоб­ щенные усилия (2.3) вычисляются с точностью до некоторого па­ раметра, его исключение позволяет связать их между собой непос­ редственно (т. е. получить «конечное соотношение» [23]). Совокуп­ ность значений Мар, Na$ для всех возможных отношений компо­

нент хар, еар образует поверхность текучести (или взаимодействия) в пространстве обобщенных усилий, уравнение которой следующее:

Г Построению поверхностей взаимодействия в связи с задачей определения несущей способности оболочек при однократном на­ гружении посвящена обширная литература.

Перейдем к определению обобщенных усилий в задачах при­ способляемости [12]. Поскольку при прогрессирующем разруше­ нии распределение по толщине пластинки (или оболочки) суммар­ ных (за цикл) приращений пластических деформаций Деар должно быть кинематически возможным, оно может быть описано соотно­ шением, вполне аналогичным (2.1):

41