книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях
..pdfВыражение (4.32), записанное для случая, когда фиктивная поверхность текучести представляет собой шестиугольник, ос тается справедливым и тогда, когда реализация отдельных ре жимов течения (в предельном цикле) становится невозможной, и соответствующие грани фиктивной поверхности исчезают (см. например, рис. 4.4, б). Причиной является то, что требование минимизации параметра р по приращениям деформации (4.22), т. е. по возможному механизму разрушения, при ограничении (4.23) с условием (4.30) ведет к минимизации работы на фиктив ной поверхности текучести, и следовательно, к сохранению в выражении (4.32) лишь тех членов, которые отвечают режимам течения, фактически реализуемым в действительном цикле. Не трудно убедиться, в частности, что выражение (4.32) дает точное
значение работы напряжений |
а?*, а ф* и в случае, изображенном |
на рис. 4.4, б, если положить |
равными нулю некоторые из слага |
емых.
Аналогичный прием используем для преобразования суммы в правой части неравенства (4.23). Если рассматривать разрывы радиальных смещений как предельный случай быстрого, но не прерывного их изменения, для определения с помощью выраже ний (4.25) напряжений ст?*, отвечающих заданному разрыву смещений Auv, следует воспользоваться вытекающими из ус
ловий (4.24) соотношениями: |
|
|
при Auv > 0 |
|
|
Аег> |
0, Двг » |А е ф|; |
(4.34) |
при Д*4 < 0 |
|
|
Д8Г< 0 , |
| Аег | » | Деф |. |
(4.35) |
Естественно, что в диске вследствие осевой симметрии воз можны лишь разрывы радиальных перемещений. В условиях плоского напряженного состояния такие разрывы считаются допустимыми. Их можно интерпретировать как деформацию пластического слоя, толщина которого стремится к нулю, по
добно тому, |
как |
это делается в общепринятом |
представлении |
||
об идеальном пластическом шарнире *. |
|
||||
|
Если фиктивная поверхность текучести является шестиуголь |
||||
ником (рис. |
4.4., |
б) или прямоугольником (рис. 4.3, а, б), то |
|||
в |
соответствии с |
выражением (4.25) разрывам смещений (4.34) |
|||
и |
(4.35) отвечают |
напряжения |
|
|
|
|
|
<7?* = [1 — < 7 |
*0 — Pv)] sign Ди^. |
(4.36) |
|
При фиктивной |
поверхности |
текучести типа параллелограмма |
|||
на рис. 4.4, б этим разрывам отвечают соответственно угловые точки А и В , т. е. напряжения
_________ = [2 — q*pv— Я* 11 — 2pv |] sign Диу- (4.37)
* Разрыв нормальной составляющей скорости (или приращения переме щения) при плоском напряженном состоянии в монографии [24] интерпрети руется в связи с образованием «шейки» или выступа.
92
Рис. 4.4
Представляя работу напряжений сг?* на разрыве Au'v как со ответствующую линейную комбинацию, получим
Or:\: |
= [ 1 -- (1 ------ pV) ] A#v ^"Ь |
|
+ |
[2 — <7*Pv— 9* | 1 — 2pv |] A«v *. |
(4.38) |
где |
|
|
|
Ди(,и > 0 и Дг42) > 0. |
(4.39) |
Эти величины связаны с разрывом приращений радиальных пере мещений Au'v соотношением
+ |
(4.40) |
Фактически, конечно, в каждом разрыве имеет место какойлибо один (из двух предполагаемых) режим течения. Он опреде ляется при минимизации параметра р. Требование (4.22), как и в случае работы, характеризуемой выражением (4.32), при ведет к тому, что неравными нулю окажутся лишь некоторые из
значений АUy\ Аи^\ причем в каждом сечении не более одного из них.
Подставляя теперь выражения (4.32) и (4.38) в неравенство
(4.23), с учетом |
условия |
(4:30) |
получим |
|
|
1 |
|
|
|
3р > \ {[1 — <7* ( 1 — р)](Де^ + ДеГ) + |
|
|||
|
о |
|
|
|
~Ь (1 — Я*р) (Двг"(<р) + |
Двг (ф>) + [1 — <7* 11 — 2р |] х |
|
||
х(Д 4"-|- Двф)) pdp -|- £ |
([1 — <7*(l— Pv) ДиУ’ + |
|
||
|
|
VJ |
|
|
+ |
[2 — <7*Pv— |
11 — 2pv|] Au^i Pv |
(4.41) |
|
93
Учитывая (4.31), преобразуем уравнения (4.24) и (4.30) к сле дующему виду:
(Дбг"— Дег -|-Дег~(Ф) — ДеГ(ф)) =
= "ф |
[р (Дбф |
Деф |
Де^"(ф) -f- Дег (ф>)]> |
(4.42) |
1 |
|
|
|
|
j* (Дбф^ |
Д&ф |
Дбг"(ф) -(- Двг (ф)) р dp = 1. |
(4.43) |
|
о |
|
|
|
|
Первое после^интегрирования может~быть представлено в форме
|
Р (Дв^Г |
Д^ф |
Д^г”(ф) ~1~ Двг (ф)) == |
|
|
= Jр(Де^* — Дег |
-j- Де^~(ф) — Дег (ф)) dp -\- Со, |
(4.44) |
|
причем |
очевидно, что |
постоянная интегрирования С0 = |
0. |
|
Для |
алгебраизации дифференциальных и интегральных |
соот |
||
ношений (4.41)—(4.44) воспользуемся такой кусочной аппрокси мацией неизвестных функций текущего радиуса (Де^, ДеГ и
т. д.), при которой экстремальные значения этих функций могут |
|
достигаться лишь на границах интервалов, т. е. в узловых точ |
|
ках. |
При этом наложение ограничений-неравенств (4.33), (4.39) |
в конечном числе узловых точек гарантирует их выполнение во |
|
всех точках тела. Простейшей аппроксимацией, удовлетворяю |
|
щей данным условиям, является кусочно-линейная. Ее исполь |
|
зование приводит к некоторому завышению параметров предель |
|
ного цикла, поскольку оно ограничивает класс возможных ме |
|
ханизмов разрушения (соответствующие рассуждения аналогичны |
|
тем, |
которые приведены в связи с применением статического |
метода). |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть на некотором интервале |
рассматриваемого |
диска pt < |
|||||
р <з р/+1 составляющие |
приращений деформаций |
изменяются |
|||||
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
р Де+ = |
А+ + |
В+ р; |
р Де+(ф) = |
С+ + |
D+ р; |
|
|
р Дбф = |
А~ + |
В ~р; |
р ДеГ(ф) = |
СГ + |
D~p; |
(4.45) |
|
|
р Дег = |
Е |
+ F~ р |
|
|
|
|
[последняя составляющая Де^ определяется уравнением (4.42) ]. Коэффициенты Л, Б, С, Д Е , F считаются постоянными для данного интервала. Поскольку 0 < р < 1 , для выполнения ус ловий (4.33) необходимо и достаточно, чтобы правые части ра венства (4.45) были неотрицательны. Очевидно, что последнее условие~выполняется во всем интервале (р*, р|+1), если оно вы
полняется на его границах.
94
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 4.7 |
||
|
|
- л - |
- c + |
- c - |
- E - |
- я - |
||
l/l |
|
—1 |
0 |
|
0 |
0 |
—1 |
|
Уч |
|
0 |
—l |
|
0 |
0 |
0 |
|
lh |
|
0 |
0 |
|
—1 |
0 |
0 |
|
Ул |
|
0 |
0 |
|
0 |
—1 |
0 |
|
Уь |
|
—1 |
—1 |
+1 |
0 |
|
3 |
|
|
|
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/c |
|
—1 |
—1 |
+1 |
0 |
|
3 |
|
|
|
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уп |
|
0 |
+1 |
—1 |
—1 |
+ |
r |
|
У» |
| |
0 |
+1 |
—1 |
—1 |
+ |
1 |
|
3z |
|
. |
i |
. |
1 |
K |
' - i 9*) |
|
|
2( '- < W |
— 4, |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
-D+ |
—D- |
—F~ |
—B+ |
1 |
||
Hi |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
1/2 |
|
—1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
1/3 |
|
0 |
—1 |
|
0 |
0 |
Л |
|
1/4 |
|
0 |
0 |
—1 |
0 |
0 |
|
|
l/б |
|
3 |
|
|
0 |
3 |
3 |
|
|
4 |
H" T |
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
1/0 |
|
3 |
+ 4 |
|
0 |
1 |
3 |
|
|
4 |
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
1/7 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
1/8 |
|
2 |
—2 |
—1 |
— 1 |
0 |
|
|
3z |
|
K |
' 4 « . ) |
, |
7 |
|
|
|
|
1— |
3 |
<7* |
|
|
|||
95
На границе смежных участков диска приращения деформа ций Аг"г и Абф [и, следовательно, их компоненты (4.31) и ко эффициенты в (4.45)] могут иметь разрывы, поскольку допуска ется возможность разрывов функции приращений радиальных перемещений. Поэтому коэффициенты А, В, С, D, £ , F, соответст вующие каждому из интервалов р,- < р с pt+1, образуют не зависимую систему параметров. Из полного набора этих пара метров для всего дискц условия задачи позволяют исключить лишь один с помощью уравнения (4.43).
Учитывая, что число разрывов перемещений в действитель ном механизме разрушения обычно невелико (для дисков, в част ности, не больше одного), можно уменьшить размерность ма трицы систем ограничений, накладывая дополнительные требо вания непрерывности компонент приращений деформации во всем диске или отдельных его частях (включающих ряд участков). Очевидно, что в этом случае внутри таких частей разрывы сме щений заменяются зонами более или менее быстрого (в зависи
мости |
от |
величины |
pt+1 — pt-, |
но непрерывного их изменения. |
||||
Пусть, |
например, |
pt- = |
0, |
р/+1 = 1, т. |
е. |
принимается |
наи |
|
более |
грубая — линейная |
аппроксимация |
для |
всего диска. |
Под |
|||
ставляя значения приращений деформаций (4.45) последовательно
в выражения |
(4.42) |
и (4.43), |
получим |
р Де+ = Е ~ + |
F ~ р — С+ — 2D+p + |
С~ + 2D“ p + В+р— В“ р; (4.46) |
|
Л+ = |
3 + Л ' + |
С+— С~ — - |( б +— В ' — D * + D~), (4.47) |
|
что позволяет исключить из симплекс-таблицы один из элементов. Подставляя выражения (4.45)—(4.47) в неравенства (4.33)
и (4.41), после несложных операций представим полученную
задачу линейного программирования в виде |
табл. 4.7. Перемен |
||
ные А~, С+, |
С“, Е~ — неотрицательные (т. |
е. |
несвободные), |
а переменные |
В +, /Г, Z)+, D~ и F~ — свободные. |
Не останавли |
|
ваясь на известной уже процедуре симплекс-метода, приведем решение сформулированной задачи;
Р Деф = А+ = 3. |
(4.48) |
Полученный результат следует рассматривать как верхнюю оценку для параметров предельного цикла. Сопоставление с реше
нием (3.63) показывает, что при значениях параметра q* |
< 0,85 |
он совпадает с нижней оценкой, т. е. дает точное решение |
задачи. |
Для уточнения «кинематического» решения при больших зна чениях параметра q* [см. (3.65)] необходимо разбить диск на несколько участков. При этом должна учитываться возможность
разрывов поля |
смещений |
на границах |
участков в соответствии |
с неравенством |
(4.41) при |
ограничениях |
(4.39). |
96
§ 18. Приближенный кинематический метод определения параметров предельного цикла
В отличие от строгих методов, в которых задача состоит в оты скании действительного механизма разрушения исходя из условия минимизации неизвестного параметра внешних воздействий при выполнении определенных ограничений, приближенные кинема тические методы основаны на задании некоторого «подходящего» кинематически возможного распределения приращений пласти ческой деформации (имеется в виду преобразованная формули ровка теоремы в § 6). Такой подход позволяет определить искомые параметры внешних воздействий с некоторым завышением (оценка «сверху»), поскольку действительный механизм разрушения отве чает их минимальным значениям.
Существуют довольно широкие классы задач, важных для инженерных приложений, в которых имеются возможности для достаточно обоснованного суждения о характере ожидаемого механизма разрушения. К ним относятся, в частности, осесим метричные (и центрально-симметричные) задачи расчета пластин, оболочек, толстостенных сосудов и т. п., в которых механизм разрушения определяется характерным перемещением — функ цией одного аргумента. Сравнительная простота реализации при ближенного кинематического метода, достигаемая при использо вании преобразованной формулировки кинематической теоремы, позволяет путем приближения к действительному механизму раз рушения, осуществляемого различными способами, достигать уменьшения погрешности в оценке параметров предельного цикла. Таким образом, при параллельном применении кинематического и статического приближенных методов часто удается достаточно близко подойти к точному решению задачи, используя довольно элементарные средства анализа.
При реализации кинематической формулировки задачи (4.2)— (4.4) последовательность решения может быть следующей. По заданному (принятому в соответствии с имеющимися соображе ниями о характере вероятного механизма разрушения) распре делению перемещений Дui0 с помощью соотношений (4.3) опре деляют приращения пластических деформаций. Затем, используя ассоциированный закон течения в форме (5.4), находят отвеча ющие этим приращениям деформаций напряжения на фиктивной поверхности текучести а?/*. Полученные результаты подставляют в основное соотношение (4.2). В последнем можно сохранить лишь знак равенства, что будет отвечать задаче определения лучшей верхней оценки для искомого параметра внешних воздействий.
С точки зрения трудоемкости расчета весьма существенным является то обстоятельство, что при использовании данного метода нет необходимости в предварительном построении фиктив ных поверхностей текучести для каждой точки тела. Можно ограничиться построением участков этих поверхностей, соответ-
4 Д. Л. Гохфельд, О. Ф. Чернявский |
97 |
ствующих заданным направлениям вектора приращения пласти ческой деформации, для того, чтобы выяснить, за счет каких ре жимов течения реализуется этот вектор. Решение еще более упро щается, если не принимать во внимание возможную нереализуемость отдельных режимов течения (см., например, рис. 1.2, 1.3). Тогда заданному направлению вектора приращений пластической деформации отвечают единственная грань поверхности текучести Треска, описываемой уравнением (1.16), либо две смежные грани, образующие ребро. Последнее допущение, как уже было отмечено в гл. 1, может в некоторых случаях привести к завышению пара метров предельного цикла, как правило, незначительному. Поэтому оно является вполне приемлемым в рамках приближенного метода.
Отсюда приходим к использованию более простой формы кине матической теоремы (1.66), в которой определяющие значения переменных напряжений находятся из условия (1.65). При изме няющемся в течение цикла пределе текучести материала (вслед ствие его температурной зависимости) определяющие значения
разности Oij — а [ух находятся из выражения
(а ,7 — а $ ) * Ае'уо = min [(ст.-у — а $ ) Дву0]; |
(4.49) |
затем они подставляются в неравенство (1.66).
Соответственно при расчете пластин и оболочек с помощью приближенного кинематического метода нет необходимости в спе циальном введении обобщенных переменных. Гипотеза прямых нормалей в форме (2.5) используется для перехода от приращений перемещений к приращениям деформаций, а работа изменяющихся во времени напряжений на возможных приращениях деформации вычисляется непосредственно по ходу решения. Это обстоятель ство, как и отсутствие необходимости в полном построении поверх ности текучести для каждой точки тела, существенно упрощает ре ализацию метода и усиливает его преимущества по сравнению с дру гими известными процедурами решения задач приспособляемости.
Применение приближенного кинематического метода иллюстри руется в монографии [7 ] на примерах простейших стержневых си стем, испытывающих повторно-переменное механическое нагру жение.
Здесь в качестве примера рассмотрим задачу, имеющую при кладное значение: определение условий прогрессирующего раз рушения толстостенной трубы.
§ 19. Прогрессирующая деформация толстостенной трубы при циклических изменениях давления и температурного поля
Данная задача актуальна для ряда областей техники. Напря жения от внутреннего давления ра в длинном полом цилиндре с днищами равны [44]
°rp = Р ( l |
"j^") ; а ФР == Р ( l + |
= р. |
(4.50) |
98
Здесь Р = |
а — параметр |
нагрузки (при |
переменном да |
влении р = |
р(т)); р = у ; £ = ■ |
£ ; O c p flc p J ; |
л, Ъ, г — соот |
ветственно внутренний, наружный и текущий радиусы Предполагая, для определенности, что режим нагрева и охла
ждения квазистационарный, примем следующее распределение
температуры: |
|
|
* = ^ + |
* ! = * « - < » • |
( « D |
Индексами отмечены значения температуры на соответствующих радиусах. Возникающие тепловые напряжения [44] могут быть представлены в виде
ап }----- q ^1 |
|
+ |
26 lnp) ; |
|
||
aw = |
—Я [ 1 |
+ |
+ |
26 (1 + |
In p) J ; |
(4.52) |
o*zq = |
—2q[\ + |
6(1 + 2 In p)]; |
|
|||
aEti |
k* . |
* |
|
l — k* . |
Л ^ |
^ |
Я 2<JS (1 — p) |
1 — 62 ’ |
° |
2&2 In /5 ’ |
|
|
|
Допустим, что пластическая деформация реализуется в трубе при следующем соотношении между главными напряжениями:
° ф |
п'г. |
(4.53) |
Тогда согласно закону течения, ассоциированному с условием текучести Треска (1.16), можно записать,, что
Ае'фО = —Де"0; Ае'го = 0. |
(4.54) |
Учитывая, что соотношения (4.3) в данном случае имеют вид
Др" _ д“о . |
До" |
— d (&1,о) |
’ |
(4.55) |
А®ф° — 6р > |
* 8г0 |
Ьйр |
|
получим дифференциальное уравнение
d (Ди0) |
| |
|
(4.56) |
|
dp |
1— = |
0. |
||
|
из которого определим, что
А«о== "г- » АбфО
г
II |
> *■»5 о II |
|
1 со |
(4.57)
Если предположить, что при циклических воздействиях диа метр трубы увеличивается, то С > 0. В этом случае согласно усло вию (4.49) определяющие значения напряжений (4.50) во всех точках трубы отвечают наибольшему значению давления (р = = р*), поскольку всюду
o]jXд е;:.0= |
- о<У) д е; 0 ] > 0 . |
(4.58) |
4* |
99 |
Отсюда следует, что программа нагружения, при которой ра — = р*а = const, в условиях прогрессирующего разрушения яв ляется наиболее неблагоприятной. В связи с этим давление должно учитываться левой частью неравенства (4.2).
Для упрощения не будем принимать во внимание температур ную зависимость предела текучести; тогда согласно условию
(4.49), совпадающему в этом случае с (1.65), получим |
|
шах [(о ^ — сг^) Абф0] = 0 при к < р < у; |
(4.59) |
т |
|
ТПах [(0$ — afq) Дбфо] = (0ф,— ст*,) Ле'фО при у с р « 1. |
(4.60) |
Т |
|
Здесь звездочкой отмечены термоупругие напряжения, отве чающие q = q*. Границей между зоной догрузки, в которой на ложение тепловых напряжений приближает состояние текучести (у < р < 1), и зоной, где последние производят разгрузку, яв ляется окружность радиуса р = у, на которой разность окружных
ирадиальных напряжений равна нулю.
Спомощью выражении (4.52) находим, что
/ = — 1/6. |
(4.61) |
Уравнение, вытекающее из (4.2), с учетом соотношений (4.57)— |
|
(4.60) после очевидных сокращений принимает вид |
|
|
|
|
pa = |
Gs £ | ~ |
\Qrq\P=Y j |
• |
(4.62) |
Здесь |
использовано |
тождественное соотношение, вытекающее |
|||||
из условий |
равновесия |
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
J Офд dp = у | оГд|р=^. |
|
(4.63) |
||
|
|
|
V |
|
|
|
|
Учитывая (4.61), из первого выражения (4.50) получим |
|||||||
K |
9|P=v = |
? . ( l - ^ - + 2 8 1 nY) |
= < 7 .[ 1 + « (1 - 1 п |6 |)] , |
(4.64) |
|||
после чего уравнение (4.62) приведем к виду |
|
|
|||||
|
|
|
|
% + |
|
|
(4-65) |
где |
р0 = |
—0S In k — предельное |
давление; |
1,2 |
— наи |
||
<?° = |
|||||||
большее значение параметра д%, при котором согласно известному критерию (1.72) теплосмены при р„ = const не будут приводить к знакопеременному течению;
п _ |
[1 + 6(1 — In 16 |)lfeg |
(4.66) |
|
|
(fta6 + |
1) In k |
|
|
|
||
100
Проверка показывает, что полученному решению от вечают статически допусти мые распределения напряже ний на всех этапах цикла [7 ]. Таким образом, условия статической теоремы также выполняются, и решение яв ляется полным (точным).
На рис. 4.5 показано опре деление границы между зо нами догрузки и разгрузки в наиболее простом случае однопараметрического темпе ратурного поля. При много параметрическом нагруже
нии построение включало бы серию кривых, отвечающих раз личным моментам времени, а определяющие значения напря жений согласно (1.65) отвечали бы в зоне догрузки огибающей этих кривых.
§ 20. Метод догрузки. Определение условий прогрессирующего разрушения сферического сосуда при теплосменах
Характерной особенностью прогрессирующего разрушения яв ляется поочередное возникновение зон пластического течения, охватывающих за время цикла все тело или некоторую его часть таким образом, что при совмещении во времени всех областей,
вкоторых напряжения последовательно достигали предела теку чести, состояние тела соответствовало бы предельному равновесию («мгновенному» пластическому разрушению). В связи с этим при определении условий прогрессирующего разрушения в ряде слу чаев может оказаться удобным непосредственный анализ условий равновесия на различных этапах цикла с использованием обычных уравнений равновесия (вместо обобщенного уравнения равновесия
вформе принципа виртуальных работ). Такой подход, как будет показано, делает рассмотрение более наглядным.
Поля напряжений в предельном цикле, с одной стороны, с уче том ассоциированного закона течения должны отвечать некото
рому кинематически возможному механизму разрушения, реали зуемому за цикл; с другой стороны, они должны быть статически допустимыми. Если удается согласовать оба требования, получен ное решение является точным; если основным считается требование статической допустимости, приходим к приближенному стати ческому методу, позволяющему получить оценку «снизу» для
101